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1、,高等院校非数学类本科数学课程, 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第五讲 二阶常系数线性微分方程,脚本编写：彭亚新,教案制作：彭亚新,欧拉方程,第七章 常微分方程,本章学习要求：,了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. 了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程。 熟练掌 握分离变量法和一阶线性方程的解法. 会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. 知道下列高阶方程的降阶法：,了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法. 熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. 掌握自由项（右端）为多项式、
2、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法.,第五节 二阶常系数线性微分方程,二、二阶常系数齐次线性微分方程,三、n 阶常系数齐线性微分方程,四、二阶常系数非齐线性微分方程,五、欧拉方程,一、二阶常系数线性微分方程解的关系,二、二阶常系数齐次线性微分方程,形如,的方程，称为二阶常系数线性齐微分方程，,即,二阶常系数线性齐微分方程,的特征方程为,是方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程 (1) 的通解为,二阶常系数线性齐微分方程,的特征方程为,由求根公式,由刘维尔公式求另一个解：,于是，当特征方程有重实根时，方程 ( 1 ) 的通解为,二阶常系数齐线性
3、微分方程,的特征方程为,3) 特征方程有一对共轭复根：,是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解，其通解为,由线性方程解的性质：,均为方程 ( 1 ) 的解，且它们是线性无关的：,故当特征方程有一对共轭复根,时，原方程的通解可表示为,二阶常系数线性齐微分方程,特征方程,特 征 根,通 解 形 式,解,解,解,故所求特解为,解,解,取 x 轴如如图所示。,由力学的虎克定理，有,（ 恢复力与运动方向相反 ）,由牛顿第二定律，得,记拉长后，突然放手的时刻为,我们要找的规律是下列初值问题的解：,从而，所求运动规律为,三、n 阶常系数线性齐微分方程,形如,的方程，称为 n 阶常系数线性齐微分方程，,n 阶
4、常系数线性齐微分方程的特征方程为,解,解,在研究弹性地基梁时，遇到一个微分方程,试求此方程的通解。,四、二阶常系数非齐线性微分方程,形如,的方程，称为二阶常系数线性非齐微分方程，,它对应的齐方程为,我们只讨论函数 f ( x ) 的几种简单情形下，(2) 的特解。,常系数线性非齐微分方程算子解法,方程 (2) 对应的齐方程 (1) 的特征方程及特征根为,单根,二重根,一对共轭复根,假设方程,有下列形式的特解：,则,代入方程 (2) ，得,即,由方程 (3) 及多项式求导的特点可知，应有,方程 (2) 有下列形式的特解:,由多项式求导的特点可知，应有,方程 (2) 有下列形式的特解:,由多项式求
5、导的特点可知，应有,方程 (2) 有下列形式的特解:,当二阶常系数线性非齐方程,它有下列形式的特解：,其中：,解,对应的齐方程的特征方程为,特征根为,对应的齐方程的通解为,将它代入原方程，得,比较两边同类项的系数，得,故原方程有一特解为,综上所述，原方程的通解为,解,对应的齐方程的特征方程为,特征根为,对应的齐方程的通解为,将它代入原方程，得,上式即,故原方程有一特解为,综上所述，原方程的通解为,解,综上所述，原方程的通解为,其中：,解,代入上述方程，得,从而，原方程有一特解为,解,代入上述方程，得,比较系数，得,从而，原方程有一特解为,故,解,由上面两个例题立即可得,解,综上所述，原方程的通解为,故原方程的通解为,五、欧拉方程,形如,的方程，称为 n 阶欧拉方程，其中,关于变量 t 的常系数线性微分方程 。,引入算子记号：,由数学归纳法可以证明：,解,这是三阶欧拉方程，,作代数运算后，得,即,这是一个三阶常系数线性非齐微分方程，且,方程 (1) 对应的齐方程的通解为,为方程 (1) 特解形式，代入方程 (1) 中，得,从而,故原欧拉方程的通解为,
