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1、第四章 级数,1 复数项级数 2 幂级数（复数项级数中最简单的级数） 3 泰勒级数 4 洛朗级数,1 复数项级数,一、复数项数列 1、定义、2、定理（数列收敛的充要条件） 3、例1 二、复数项级数 1、基本概念 2、基本定理 三、例题 例2,返回,一、复数项数列,称为复数项数列。,都存在。即,1、定义：设,返回,1、复数项级数的基本概念：,（1）定义1：设,是一个复数项数列，则,称为复数项级数。,此复数项级数收敛，否则称发散。,（3）定义3：若,（2）定义2：,下一页,二、复数项级数,绝对收敛。,收敛，则称,条件收敛。,返回,上一页,(注意: 此处的绝对值符号表示模),2、复数项级数的基本定理
2、：,（2）定理2：,下一页,(通项收敛于0),（4）定理4：若 绝对收敛，则收敛，反之不一定成立。,Proof:,返回,上一页,绝对收敛与收敛的关系,例2 判断下列级数的敛散性： （1） （2） （3）,解：,（1）原级数,由比值判别法：,所以原级数绝对收敛。,收敛，,（2）,下一页,（3）,发散，,因为：,所以：原级数条件收敛。,解：,收敛，,返回,上一页,2 幂级数（复变函数项级数中最简单的级数）,一、幂级数的概念 1、定义 2、收敛性 3、定理1（Abel定理） 二、收敛圆和收敛半径 1、定义 2、幂级数的三种收敛情况 3、收敛半径的求法 4、例1 三、幂级数的运算： 1、加减法、乘法
3、2、逐项求导，逐项积分 3、例题：例2，例3，例4,返回,1、定义,的级数称为复数项幂级数。,是复变量。,形如,令,，则：,故：只须讨论形如 的幂级数。,返回,一、幂级数的概念,2、幂级数在一点 的收敛性,收敛，,（2） 收敛域收敛点的全体。,和函数在收敛域中幂级数收敛于一个函数，,该函数称为和函数。,返回,故: 0 必为 的收敛点。,特别：,3、定理（Abel定理）,如果级数,那么对满足,那么对满足,如果级数,返回,1、收敛圆和收敛半径的定义：,由Abel定理必存在一个正实数R，,时绝对收敛，,则称：（1）R为收敛半径,当,返回,二、收敛域与收敛半径,2、幂级数的三种收敛情况：,（3）在复平
4、面上有时收敛，有时发散，则R为一个,（2）在整个复平面上处处收敛，,确定的正实数。,返回,3、 幂级数 收敛半径的求法：,1 比值法：,（常用）,2 根值法：,返回,例1求下列幂级数的收敛半径及收敛圆： （1） （2） （3）,收敛圆域为点圆；,收敛圆域为整个复平面；,收敛圆为,（1）,解：,（2）,（3）,下一页,（4）（5）,收敛圆域,收敛圆域,解：,（4）,返回,上一页,作 业,、加减法、乘法,设：,，收敛半径为,，收敛半径为,则：在 内有：,返回,三、幂级数的运算,、幂级数的和函数在收敛圆域内是解析的，且在收敛圆域内有如下运算,（1）逐项求导：,（2）逐项积分：,返回,例2 讨论等比(几何)级数 的收敛性，并在收敛圆内求和函数。,解：,返回,部分和为,例 3,例3 将函数 展开成 的幂级数 。,收敛圆域为：,。,解：,返回,例4,例4 将函数 展开成 的幂级数,解：,收敛圆域为：,返回,作业,P142 1（1，3，5） 3（2，3） 6（1，3，4） 11(1，3，6（写出前三项）),返回,
