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,一阶线性微分方程,第四节,第七章,一、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x) 0,称为非齐次方程 .,1. 解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程 ;,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2. 解非齐次方程,假设方程解的,则,故原方程的通解,即,即,形式为,两端积分得,例1. 解方程,解: 先解,即,积分得,即,用常数变易法,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,令,内容小结,1. 一阶线性方程,方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.,方法2 用通解公式,2. 注意用变量代换将方程化为已知类型的方程,例如, 解方程,法1. 取 y 作自变量:,线性方程,法2. 作变换,则,代入原方程得,可分离变量方程,思考与练习,判别下列方程类型:,提示:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,例3. 求方程,的通解 .,解: 注意 x, y 同号,由一阶线性方程通解公式 , 得,故方程可变形为,所求通解为,
