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1、奇数表达式： 2n-1 从 1 开始的连续奇数之和等于奇数个数的平方。 偶数表达式： 2n n为正整数高斯算法：首项加末项的和乘以项数除以二。 项数末项 - 首项的差公差+1 奇数 +奇数奇数 +偶数奇 奇数 - 奇数偶奇数 -偶数数 偶数 +偶数数可以用来解决：数线段、角、 偶数 - 偶数 (1) 2 n n 握手、单循环比赛、车票等问题 平面、立体图形分割（不论大小、形状） 平面1 刀2 刀3 刀4 刀5 刀6 刀n 刀 切成的 块数 2 4 7 11 16 22 2+2+3+4 +.+n 为什么 是这么 多块 2 2+2 2+2+3 2+2+3+4 2+2+3+4 +5 2+2+3+4
2、+5+6 2+2+3+4 +.+n 立体1 刀2 刀3 刀4 刀5 刀6 刀 切成的 块数 2 4 8 15 26 42 为什么 是这么 多块 4 4+4 8+7 立体图 形块数 结论 前一次切的块数加平面图形的前一刀得到的块数。 和一定时，两数相等（越接近）积最（越）大。 n 边形（ n3） ，减去一刀，该多边形可变为：n边形、 n-1 边形、 n+1 边形。 中心对称图形（正方形、长方形、圆等）过对称中心的任意一条直线，都可以将它的面积两 等分 2.1正数与负数 0（正数）0（a0） a 0（中性数） -a 0（a0） 0（负数）0（a0 按照概念分： 正整数自然数（非负数） 整数 0 负
3、整数非正数 有 理正分数 数分数负分数 小数 有限小数 小 数无限小数无限循环小数 无限不循环小数无理数 按性质分： 正整数 正有理数非负有理数 有正分数 理 0 负整数 数负有理数非正有理数 负分数 2.2 相反数 0（a0）非负数（非正数的相反数） -a 0（a0） 0（a0）非正数（非负数的相反数） 非负数与非正数互为相反数。 若 a、b 互为相反数，则a+b0 若 a、b 互为负倒数，则乘积为-1 或 a-b 或 b-a 2.3 绝对值 a（a0） 三分法： |a| 0 （a0） -a（a0） a（ 0） 两分法： |a| -a（ 0） 绝对值的性质： |a| 0（非负数） |a| 0
4、（绝对值一定是非负数）绝对值最小的数是0 互为相反数的两个数绝对值相等：|a| |-a| 若|a| b，则 a b；几个非负数的和为0，则这几个非负数分别为0. 若|a| |b| ，则 a b 如： |a|+|b|0，|a| 0、|b| 0 2.4 有理数的大小比较： 1. 正数大于0， 负数小于 0 2.正数大于一切负数 3. 两个正数比较大小， 绝对值大的数较大。 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 5.求差法比大小 . 6.求商法比大小 . 4. 一组数比较大小，要分类5. 分数比较大小，可以按情况通分，可统一分母，也可统一分子。 数串的表达（ 1奇数位为正，偶数位为负表达为： 数串的
5、表达（ 2奇数位为负，偶数位为正表达为： （n 是第几个数，等式中的“（ -1）? 1”和“（-1）? ”表达这个数的符号） 在数轴上，求2 点间的距离共3钟方法： 1. 大数 - 小数 . 2.|小数 - 大数 | 3.同侧：绝对值相减（大- 小） ；异侧：绝对值相加。 2.6 有理数加法： 注意：运算符号和性质符号要用括号隔开。 两数相加： 0和正数至少 0和负至少两数为 0 两数 和为正一正一负一个和为负一正一负一个和为 0 互为 两正是正数两负是负数一正一负相反数 a0，b0， ab |a+b| |a|+|b| a0，b0，|a| |b| ， a+b|a+b| |a|+|b| a 0，
6、b0，a+b|a+b| a+b |a|+|b| a0， b0， |a| |b| ， a+b|a+b| |a|+|b|. 简算方法： 1. 同号结合2. 同分母结合法 3.凑整法 4.相反数结合法 5.转化法：如 1 2 0.5 6. 整分结合法 1 ()n na 1 a （ 1 n 1 na ） 特殊值法：就是设定一个或几个符合条件的数。 2.7 有理数的减法 互为相反数的两个数相减，差为被减数的2 倍。 求差比大小：如a、b 比较大小： 若 a-b 0，则 a b 若 a-b 0，则 a b 若 a-b 0，则 a b 2.8 有理数的加减混合运算 只含加法运算的式子 . 代数 几个正负数的
7、和. 和 读读法一：按性质读，如：负8、正 10、负 6、负 4 的和一号一读 法读法二：按运算意义都，如：负8 加 10 减 6 减 4 一号一用 方法： 省略加号和括号时，按照：同号为正，异号为负，如： 8-（-10 ）- （+10）+（ -10）+（+10） 解：原式 8 + 10 - 10 - 10 + 10 2.9 ，有理数的乘法 两数相乘，若把一个因数换成它的相反数，则所得的积是原来的积的相反数. 有理数乘法法则： 两数相乘，同号的正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与0 相乘，都得0. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或
8、者先把后两个数相乘，积不变。 乘法分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。 几个不等于0 的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定： 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数有偶数个时，积为正。 几个不等于0 的数相乘，首先确定积的正负号，然后把绝对值相乘。 几个数相乘，有一个因数为0，积就为0. 2.10 有理数的除法 乘积是 1 的两个数互为倒数。 除以一个数，等于乘以这个数的倒数。 注意： 0 不能作除数。 有理数除法法则： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0 除以任何一个不等于0 的数，都得0. 求倒数： 1原数 0 没有倒数。 当 A0
9、，A0任意数（ 0任意数 =0） A0 当 A0，因为没有数与0 相乘等于除0 以外的数所以无解。 即：无数个解：A0 无解： A 0 倒数等于本身的数是1， 0 没有倒数 . 0 a1 a 1/a A 1 a1/a A 1 a1/a -1a0 a1/a A -1 a1/a A 1- a1/a 若 a、b 同号或其中之一为0 ab=|ab|=|a|b| 若 a、b 异号 ab|ab|=|a|b| 或 ab-|ab|-|a|b| 即 ab|ab| |a| |b| 当 a、b 同号时（ a、b0 或 a（b） 0）a/b=|a/b|=|a|/|b| 当 a、b 异号时 a/b=-|a/b|= -
10、|a|/|b| 除 0 外，互为倒数，积是1，相等商是1， 即 ab1（a、b 互为倒数） a b1（a、b 相等） ab-1（a-b） 讨论： 1.|a|/a+|b|/b+|c|/c的结果 2.a 1/a a1/a 的结果 3.（-1/36 ）（ 1/4+1/12-7/18-1/36）怎样运用乘法分配律。 2.11 有理数的乘方 aaa2（读作 a 的平方或 a 的 2 次方或 a 的 2 次幂） 定义：求几个相同因数的积的简便运算称作乘方运算。 注意：乘方是一种运算，乘方运算没有符号，由位置确定运算关系。 比较 a+a=2a=a2 与 aa=a2 和 a+a+a=3a=a3 aaa=a a
11、 aa.aaa （N个 a）记作： a? n是指数 a 是底数整体叫做幂 任何一个数都可以看做这个数本身的1 次方。 写出 a、 1的指数 写出 23、 （-2 3） 、-23、 - （-2 3）的底数、指数、结果。 比较 1. 21、22、 23、 2? 与 2. （-2 ）1、 （-2 ）2、 （-2 ）3、 （-2 ）? 得到结论：正数的次幂都是正数； 负数的次幂是负数，负数的次幂都是正数。 了解： 0o无意义 0? 0（n 0） A o1（ A0） 1 的任何次幂都是1 （-1 ）的偶次幂都是1，奇次幂都是-1 ，即： 分数乘方 1. 分数的乘方等于把分子分母分别乘方。 2. 带分数的
12、乘方要先把带分数化成假分数。 3. 分数的乘方要把分数加括号。 讨论： 32（ -3 ）2 得出结论：互为相反数的两个数的偶次幂相等。讨论23与（ -2 ）3的关系 得出结论：如果互为相反数的两个数，它们的奇次幂也互为相反数。 注意：任何一个数的偶次幂都是非负数！即 a2? 0， 所以 a2最小值是 1-a2有最（）值，a （） 那么（a-2）2最小值是 （） a2+2 最小值是（） 加减是 1 级运算乘除是 2 级运算乘方开方是3 级运算 错位相加法： 设 S（和） 则 2S 则 2S-S *2 是底数。 2.12 科学记数法 一个大于10 的数可表示为：a 10? 其中： 1|a| 10
13、n 是正整数（比原数整数位数少1） ， 像这样的记数法就叫做科学记数法。 科学记数法比较大小： 先比较 10 的指数，指数大的数较大；指数相等，就比较第一个因数（a） ，第一个因数大的 数较大。 有实际意义的数改写成科学记数法，要带单位。 2.13 有理数的混合运算 定义：一个算式里，含有有理数的加、减、乘、除、乘方、开方等多种运算，称为有理数的 混合运算。 顺序： 1. 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减 2. 同级运算，按照从左至右的顺序进行 3. 若有括号，就先算小括号里的，再算中括号的，之后算大括号里的，最后算括号外面的。 2.14 近似数和有效数字。 定义：与实际完全符合的数叫做准
14、确数 与实际数据非常接近的数称作近似数 一般的，一个近似数，四舍五入到某一位，就说这个数精确到那一位。 这时， 从左边第一个不是0 的数字起， 到末尾数字为止，所有的数字都叫做这个数的 有效数字。 表现符号：表示约等于： 精确度的说法： 1. 保留到某一位 2.保留几位小数 3.保留 1 或 0.1 或 0.01 等等。 4. 保留几个有效数字 特别的：科学记数法和以万亿为单位的数： 近视度围：求近视度的围： 用 a0.0.5 小数部分0的个数：若a 为整数，就没有0； 若 a 为小数，就有小数位数+1 个 0 第三章 知识结构 概念 字母表示数 整代数式规书写 列代数式 式求代数式的值 的单
15、项式 整式多项式 加升降幂排列 同类项 减整数的加减合并同类项 去、添括号 数学思想 1.整体思想 2.枚举法 3.转化思想 4.从特殊到一般5.设 K 法 4.1 圆柱 柱体棱柱 椎体圆锥 几 规则的棱锥多面体 何 体圆台 台体棱台 球体 不规则的 柱体：上下底全等且互相平 椎体：一端是尖的（交于一点） 棱锥底是多边形侧面是三角形（n 棱锥有 n 个） 圆锥底面是圆侧面是曲面 底面是 n 边形，则它是n 棱柱（锥） 共有几个面，就是几面体 欧拉公式：顶点数面数棱数=2 4.5 点、线段、射线、直线 名称点线段射线直线 图例 棱柱侧面是矩形（底面是n 边形就有几个矩形）有顶点上下底是多边形 圆柱侧面是曲线没顶点上下底是圆形 定义无无线段一段无限延 伸 线段两端无限延 伸 表示方法大写字母，如A 点（点 A） 线段 AB 或线段 b 射线AB （射线 上任意两点） 直线 AB 或直线 b 端点无2 1 0 延伸（长）性无不能延伸可延长一端延伸，另一 端反向
