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1、第九章 环与域,9.1 环：两个二元运算的代数结构 1.环的概念 定义9.1：是代数系统，+，是二元运算，若满足： (1):是阿贝尔群；(2):是半群； (3):对+可分配；则称为环(Ring)，+称为加法，称为乘法(未必是数加和数乘)；同时加法幺元记为0，加法逆元-x，n次幂为nx，若存在的话，乘法幺元记为1，逆元为 n次幂为,9.1 环,例9-1：(1):， ， ， 均为环；(2):实数分量的nn方阵集合 ，构成环： ；(3):,(5):(0为加法幺元，乘法零元)为环， 称为零环；(6):(1为乘法幺元)为环,9.1 环,2.环的性质 定理9.1：设是环，则对任意的a,b,c有: (1):
2、加法幺元必为乘法零元；(2):(-a)b=a(-b)=-(ab)；(3):a(b-c)=ab-ac, (b-c) a=ba-ca；(4):,9.1 环,中不一定满足交换律，也不一定有幺元，但一定有零元。 3.子环与环同态 定义9.2：子环：环，若 构成环，则为R的子环。 子环判定： 定义9.3：环同态：,9.2 整环和域,(2): 定理9.2：设R是环，则R中无零因子当且仅当R中乘法运算满足消去律，即： 有：,9.2 整环和域,定义9.5：R是环，令 ，若 为阿贝尔群，则称为域(field)。 由于 为群，满足消去律，无零因子，域必定是整环；域也可定义为：非零元素都有乘法逆元的整环。 例9-2：(1):, , 均为域， 不是域，无乘法逆元；,9.2 整环和域,定理9.3：有限整环都是域。 定理9.4： 为域的充要条件是p是素数。,9.2 整环和域,定理9.5：设为域，则F中非零元素在中有相同的阶。,9.2 整环和域,定义9.6：设为域， 为F的子环，且为域，则称S为F的子域。,9.2 整环和域,定理9.6：设为域， ，且 中至少有2个元素，那么 为的子域当且仅当 满足： 例：是和的子域。,
