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1、第十三章 曲线积分与曲面积分 定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分.第一节 对弧长的曲线积分一、 对弧长的曲线积分的概念与性质在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的
2、质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为，其上每一点的密度为图13-1如图13-1我们可以将物体分为段，分点为, 每一小弧段的长度分别是取其中的一小段弧来分析在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点的密度来近似整个小段的密度这样就可以得到这一小段的质量近似于将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值即用表示个小弧段的最大长度. 为了计算的精确值, 取上式右端之和当时的极限，从而得到即这个极限就是该物体的质量这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 上述结果是
3、经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义：定义13.1 设是面内的一条光滑曲线，函数在上有界，用上任意插入一点列将曲线分为个小段. 设第段的长度为()，又为第个小段上任意取定的一点，作乘积，并作和，若当各小段的长度的最大值趋于零时，此和式的极限存在，称此极限为函数在曲线上对弧长的曲线积分, 也称为第一类曲线积分, 记作, 即,其中叫做被积函数，称为积分弧段当是光滑封闭曲线时，记为类似地，对于三元函数在空间的曲线上光滑，也可以定义在曲线上对弧长的曲线积分这样，本节一开始所要求的构件
4、质量就可表示为由对弧长的曲线积分的定义可以知道，第一类曲线积分具有下面的性质：性质1（线性性）若在曲线上第一类曲线积分存在，是常数, 则在曲线上第一类曲线积分也存在，且；性质（对路径的可加性）设曲线分成两段. 如果函数在上的第一类曲线积分存在，则函数分别在和上的第一类曲线积分也存在. 反之，如果函数在和上的第一类曲线积分存在，则函数在上的第一类曲线积分也存在. 并且下面等式成立(表示)对于三元函数也有类似的性质，这里不再一一列出二、 第一类曲线积分的计算定理13.1 设有光滑曲线即,连续. 若函数在上连续，则它在上的第一类曲线积分存在，且证明 如前面定义一样，对依次插入，并设，. 注意到 记小
5、弧段的长度为，那么由的连续性与微分中值定理，有所以, 当,时,这里 设则有令 要证明的是因为复合函数关于连续，所以在闭区间上有界，即存在，对一切有再由在上连续，所以它在上一致连续. 即当任给，必存在，当时有从而所以再从定积分定义得所以当两边取极限后，即得所要证的结果. 特别地，如果平面上的光滑曲线的方程为则例13.1计算曲线积分，其中是抛物线上的点与点之间的一段弧（如图13.1-2）图13-2解：积分曲线由方程给出，所以 =.例13.2 计算积分，其中为圆周:.解：由于为圆周：，所以对于三元函数的对弧长的曲线积分，可以类似地计算例如：若曲线由参数方程，确定，则有，从而例13.计算曲线积分，其中
6、是螺旋线 上相应于从到的一段弧解：由上面的结论有例14.4 计算, 其中为球面被平面所截得的圆周. 解：由对称性可知所以 习题13.11. 计算半径为、中心角为的圆弧对于它的对称轴的转动惯量（设线密度）.2. 计算曲线积分，其中为螺旋线，上相应于从到的一段弧.3. 计算其中为曲线由到间的一段弧.4. 求，其中是椭圆周位于第一象限中的那部分。5. 计算，其中为曲线6. 求，其中为双曲线从点到点的一段弧。7. 计算其中为连接及两点的直线段.8. 计算其中为圆周,直线及轴在第一象限内所扇形的整个边界.9. 计算其中为折线这里、依次为点、。10. 计算，其中为曲线, .11. 设为双纽线, 计算积分.
7、12. 设为椭圆, 其周长为, 求.参考答案12.3.4.5. 6. 7. 8. 9. 910. 11. 12. 第二节 对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质在实际中还碰到另一种类型的曲线积分问题. 例如一质点在空间中沿着一条光滑曲线运动，当时，对应曲线上的一个端点，当时，对应曲线的另一个端点，在外力的作用下质点从移动到，现在求力所作的功由物理学的知识知道：若力与位移都是常量，则有现在的是一个变量，位移也是变量为了求这个力所作的功我们可以将曲线分为若干段，即插入个分点这些点对应的分别是在每一小段弧上，可以认为位移就是，在小弧段上任意一点的力来近似质点在这一小弧段上移动所受到的力于是
8、当质点从移到时，力所作的功近似为，将力在每一小段上所作的功相加，就得到了在力的作用下质点从移动到所作的功的一个近似值即注意，而，所以再对上面的式子在所有小弧段的长度的最大值趋于零时取极限，若此极限存在，则它就是变力所作的功即从上面的分析可以看出，这个极限和前面讲的定积分、重积分、第一类曲线积分有很多的相似之处，它们都是一个乘积和式的极限这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二类曲线积分. 定义13.2 (对坐标的曲线积分或第二类曲线积分)设是空间中的一条有向光滑的曲线，两个端点分别为和. 为定义在曲线上的函数在内依次插入点，并令, .并且这些点是从到排列的. 这样就将曲线分为个小的弧段()设，
9、记各弧段长为, . 在小弧段上任意取一点，若存在，则称之为函数在有向曲线上对坐标的曲线积分(或称第二类曲线积分)记为即类似地，有；分别称为函数在有向曲线上对坐标和对坐标的曲线积分这些积分统称为第二类曲线积分若为封闭有向曲线,则记为、或由对坐标的曲线积分的定义可以知道，第二类曲线积分具有下面的性质：；（线性性）：若两个向量值函数 ()存在, 则其中为常数（路径可加性）：设定向分段光滑曲线分成了两段和，它们与的取向相同（记），则向量函数在上的第二类曲线积分的存在性等价于在和上的第二类曲线积分的存在性且有；（方向性）：如用表示与方向相反的曲线则有二、对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)的计算设的参数方
10、程为,，起点为 ，终点为，函数都具有连续导数在曲线弧上插入若干个点，相应于的取值分别是， ，而，于是由积分中值定理有此时取分别为,，则类似地可以求和最后得到在这里的积分的上限下限分别对应的是终点和起点求曲线积分的一般步骤是： 将用各自的参数方程代替； 将曲线的终点和起点所对应的参数的值作为定积分的上下限； 将曲线积分化为定积分，计算定积分，即得曲线积分的值特别地，当是平面上的光滑曲线时，设曲线方程为，起点和终点对应的的值分别是，则有例13.5 计算曲线积分，其中为抛物线从点到点的一段弧，如右图图13-3解：将要计算的积分化为对的定积分，即以为积分变量，曲线段的起点和终点对应的的值分别是和，将曲
11、线积分中的用代替，所以例13.6计算曲线积分，其中为椭圆沿逆时针方向解：椭圆的参数方程为，所以可以将曲线积分化为对参数的积分，起点和终点所对应的的值分别为和，分别用参数方程代替，由此得到注意，这个积分刚好是椭圆面积的两倍 例13-4图 例13-5图例13.7计算曲线积分其中分别是下面的曲线段(1) 抛物线上从点到点的一段弧；(2) 直线上从点到点的一段弧；(3) 从点到沿轴点，再由竖直向上至解：(1) 将积分化为对的定积分，起点和终点对应的的值分别是，用代替，得到(2) 将积分化为对的定积分，起点和终点对应的的值分别是，用代替，得到(3) 曲线可以分为两段，其中一段的曲线方程为，另一段的曲线方
12、程为，所以从上面的例子可以看出，尽管积分的路径不同，但是积分的值仍然有可能相同例13.8 计算,其中为(1) 半径为、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周；（2）从点沿轴到点的直线段解 （1）因为，. 那么 (2) 积分路径为 从变到, 因此 从这个例子可以看出: 被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.三、 两类曲线积分的联系设有向光滑曲线段的参数方程为，起点和终所对应的分别是和，且，函数在曲线段上连续，则对坐标的曲线积分又有向曲线的切向量为，它的方向余弦为，注意到，所以由对弧长的曲线积分公式，得到由此得到两类曲线积分之间的联系：类似地，可以得到两类空间曲线积分之间的联系：这种联系还可以用向量表示：其中，为在曲线上点处的单位切向量，称为有向曲线元习题13.21. 求. 其中曲线为圆周, 积分方向为顺时针方向, .2. 求, 其中是由球面与平面, , 的交线,和组成.3. 求. 其中曲线由折线及曲线两段组成, 起点为, 其中, 4. 求. 其中是由直线, , 及
