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1、基础送分提速狂刷练 一、选择题 1(2017 豫北名校联考 )圆(x2)2y24 关于直线 y 3 3 x 对称 的圆的方程是 () A(x3) 2(y1)24 B(x2)2(y2)24 Cx2(y2)24 D(x1)2(y3)24 答案D 解析设圆(x2)2y24的圆心(2,0)关于直线 y 3 3 x对称的点 的坐标为 (a，b)，则有 b a2 3 3 1， b 2 3 3 a2 2 ， 解得 a1，b 3，从而 所求圆的方程为 (x1) 2(y 3) 24.故选 D. 2(2017 湖南长沙二模 )圆 x 2y22x2y10 上的点到直线 xy2 距离的最大值是 () A12 B2 C
2、1 2 2 D22 2 答案A 解析将圆的方程化为 (x1)2(y1)21，圆心坐标为 (1,1)， 半径为 1，则圆心到直线xy2 的距离 d |112| 2 2，故圆上 的点到直线 xy2 距离的最大值为d121，故选 A. 3已知点 P 在圆 x2y25 上，点 Q(0，1)，则线段 PQ 的中 点的轨迹方程是 () Ax 2y2x0 Bx2y2y10 Cx2y 2y20 Dx2y2xy0 答案B 解析设 P(x0，y0)，PQ 中点的坐标为 (x，y)，则 x02x，y02y 1，代入圆的方程即得所求的方程是4x2(2y1) 25，化简得 x 2 y2y10.故选 B. 4(2018
3、山西运城模拟 )已知圆 (x2)2(y1)216 的一条直径 通过直线 x2y30 被圆所截弦的中点， 则该直径所在的直线方程 为() A3xy50 Bx2y0 Cx2y40 D2xy30 答案D 解析直线 x2y30 的斜率为 1 2，已知圆的圆心坐标为 (2， 1)，该直径所在直线的斜率为2，所以该直径所在的直线方程为y 12(x2)，即 2xy30，故选 D. 5(2018 唐山期末 )若当方程 x2y 2kx2yk20 所表示的圆 取得最大面积时，则直线y(k1)x2 的倾斜角 () A. 3 4 B. 4 C.3 2 D.5 4 答案A 解析将圆 x2y2kx2yk 20 化成标准方
4、程，得 xk 2 2(y1)213k 2 4 ， 半径 r 满足 r 213k 2 4 ， 当圆取得最大面积时，k0，半径 r1. 因此直线 y(k1)x2即 yx2.得直线的倾斜角 满足 tan 1， 直线的倾斜角 0，)， 3 4 .故选 A. 6若方程16x2xm0 有实数解，则实数m的取值范围 () A4 2m4 2 B4m4 2 C4m4 D4m4 2 答案B 解析由题意知方程16x 2xm 有实数解，分别作出 y 16x 2与 yxm 的图象，如图，若两图象有交点，需4m4 2. 故选 B. 7(2017 广东七校联考 )圆 x2y22x6y10 关于直线 ax by30(a0，b
5、0)对称，则 1 a 3 b的最小值是 ( ) A2 3 B.20 3 C4 D.16 3 答案D 解析由圆 x2y22x6y10 知其标准方程为 (x1)2(y 3) 29， 圆 x2y22x6y10 关于直线 axby30(a0， b0) 对称，该直线经过圆心 (1,3)， 即a3b30， a3b3(a0， b0) 1 a 3 b 1 3 (a3b) 1 a 3 b 1 3 1 3a b 3b a 9 1 3 102 3a b 3b a 16 3 ，当且仅当 3b a 3a b ，即 ab 时取等号，故选D. 8由直线 yx1 上的一点向圆 C：x 26xy280 引切线， 则切线长的最小
6、值为 () A1 B2 2 C. 7 D3 答案C 解析解法一：切线长的最小值在直线yx1 上的点与圆心距 离最小时取得，圆心 (3,0)到直线的距离为d |301| 2 2 2，圆的 半径长为 r1，故切线长的最小值为d2r 2 817. 解法二：易知 P(m， m1)在直线 yx1 上， 由切线长公式得 |PC| m 26m m128 2 m1 27，由 mR 可得|PC| min 7. 9(2017 山东菏泽一模 )已知在圆 M：x 2y24x2y0 内，过 点 E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面 积为() A3 5 B6 5 C4 15 D2 1
7、5 答案D 解析圆 x 2y24x2y0 可化为 (x2)2(y1)25，圆心 M(2，1)，半径 r5，最长弦为圆的直径， AC2 5.BD 为最 短弦， AC 与 BD 垂直，易求得 ME2，BD2BE252 2 3. S四边形 ABCDSABDSBDC 1 2BD EA 1 2BD EC 1 2BD (EAEC) 1 2BD AC 1 22 32 52 15.故选 D. 10已知点 P(x，y)在圆 C：x2y26x6y140 上，则 xy 的最大值与最小值是 () A62 2，62 2 B6 2，62 C42 2，42 2 D42，4 2 答案A 解析设 xyb， 则 b 表示动直线
8、yxb 在 y 轴上的截距， 显然当动直线yxb 与圆(x3)2(y3)24 相切时， b 取得最 大值或最小值，如图所示 由圆心C(3,3)到切线xyb 的距离等于圆的半径2，可得 |33b| 1212 2，即|b6|2 2，解得 b6 2 2，所以 xy 的最大值 为 62 2，最小值为 62 2.故选 A. 二、填空题 11 (2016 天津高考 )已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2xy0 的距离为 4 5 5 ，则圆 C 的方程 为_ 答案(x2)2y29 解析因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设C(a,0)，且 a0， 所以
9、圆心到直线 2xy0 的距离 d 2a 5 4 5 5 ，解得 a2，所以圆 C 的半径 r|CM|453，所以圆 C 的方程为 (x2)2y29. 12(2017 广东七校联考 )一个圆与 y 轴相切，圆心在直线x3y 0 上，且在直线yx 上截得的弦长为2 7，则该圆的方程为 _ 答案(x3)2(y1)29 或(x3)2(y1) 29 解析所求圆的圆心在直线x3y0 上， 设所求圆的圆心为 (3a，a)， 又所求圆与 y 轴相切，半径r3|a| 又所求圆在直线yx 上截得的弦长为2 7，圆心(3a，a)到直线 yx 的距离 d |2a| 2 ， d2( 7) 2r2，即 2a279a2，a
10、 1. 故所求圆的方程为 (x3)2(y1) 29 或(x3)2(y1)29. 13(2017 金牛期末 )已知 aR，若方程 a 2x2(a2)y24x8y 5a0 表示圆，则此圆心坐标是_ 答案(2，4) 解析方程 a2x2(a2)y24x8y5a0 表示圆， a2a20，解得 a1 或 a2， 当 a1 时，方程化为 x2y24x8y50， 配方得 (x2)2(y4)225， 所得圆的圆心坐标为 (2，4)，半径为 5； 当 a2 时，方程化为 x2y2x2y2.50， 此时 D2E24F0，方程不表示圆， 所以圆心坐标为 (2，4) 14(2018 河北邯郸模拟 )已知圆 O：x 2y
11、28，点 A(2,0)，动点 M 在圆上，则 OMA 的最大值为 _ 答案 4 解析设|MA|a，因为|OM|2 2，|OA|2，由余弦定理知 cos OMA |OM|2|MA|2|OA| 2 2|OM|MA| 2 2 2a222 22 2a 1 4 2 4 aa 1 4 2 2 4 a a 2 2 ， 当且仅当 a2时等号成立，OMA 4， 即OMA 的最大值为 4. 三、解答题 15已知过原点的动直线l 与圆 C1：x 2y26x50 相交于不 同的两点 A，B. (1)求圆 C1的圆心坐标； (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程 解(1)把圆 C1的方程化为标准方程得 (x
12、3)2y24，圆 C1 的圆心坐标为 C1(3,0) (2)设 M(x，y)，A，B 为过原点的直线l 与圆 C1的交点，且 M 为 AB 的中点， 由圆的性质知： MC1MO，MC1 MO 0. 又MC1 (3x，y)，MO (x，y)， 由向量的数量积公式得x 23xy20. 易知直线 l 的斜率存在，设直线l 的方程为 ymx， 当直线 l 与圆 C1相切时， d |3m0| m 212， 解得 m 2 5 5 . 把相切时直线 l 的方程代入圆 C1的方程化简得 9x230 x250， 解得 x 5 3. 当直线 l 经过圆 C1的圆心时， M 的坐标为 (3,0) 又直线 l 与圆
13、C1交于 A，B 两点，M 为 AB 的中点， 5 3 x3. 点 M 的轨迹 C 的方程为 x23xy20，其中 5 3x3，其轨迹 为一段圆弧 16已知圆 C 经过 P(4，2)，Q(1,3)两点，且 y 轴被圆截得 的弦长为 4 3，半径小于 5. (1)求直线 PQ 与圆 C 的方程； (2)若直线 lPQ，且 l 与圆 C 交于点 A，B 且以线段 AB 为直径 的圆经过坐标原点，求直线l 的方程 解(1)由题意知直线 PQ的方程为 xy20. 设圆心 C(a，b)，半径为 r， 由于线段 PQ 的垂直平分线的方程是y 1 2x 3 2，即 yx1， 所以 ba1. 由圆 C 在 y
14、 轴上截得的线段的长为4 3， 知 r 212a2， 可得(a1) 2(b3)212a2， 由得 a1，b0 或 a5，b4. 当 a1，b0 时，r 213，满足题意， 当 a5，b4 时，r 237，不满足题意 故圆 C 的方程为 (x1)2y213. (2)设直线 l 的方程为 yxm(m2)， A(x1，mx1)，B(x2，mx2) 由题意可知 OAOB，即OA OB 0， x1x2(mx1)(mx2)0， 化简得 2x1x2m(x1x2)m20. 由 yxm， x1 2y213， 得 2x22(m1)xm 2120， x1x2m1，x1x2 m 212 2 ， 代入，得 m 212m (1m)m20， m4 或 m3，经检验都满足题意， 直线 l 的方程为 xy40 或 xy30.
