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1、习题 2- 2 1. 设 A 为任一随机事件 , 且 P(A)=p(0p1). 定义随机变量 1, 0, A X A 发生 不发生 . 写出随机变量X 的分布律 . 解PX=1= p, PX=0=1 - p. 或者 X 0 1 P 1- pp 2. 已 知 随 机 变 量 X 只 能 取 - 1,0,1,2 四 个 值 , 且 取 这 四 个 值 的 相 应 概 率 依 次 为 cccc16 7 , 8 5 , 4 3 , 2 1 . 试确定常数c, 并计算条件概率0|1XXP. 解 由离散型随机变量的分布律的性质知， 1357 1, 24816cccc 所以 37 16 c . 所求概率为P
2、 X1| X 0= 25 8 16 7 8 5 2 1 2 1 0 1 ccc c XP XP . 3. 设随机变量X 服从参数为 2, p 的二项分布 , 随机变量 Y服从参数为3, p 的二项分布 , 若 P X 5 1 9 , 求P Y1 . 解注意 px=k= kkn k n C p q,由题设 5 9 P X 2 1101,P Xq 故 2 1 3 qp. 从而 P Y 3 219 1101(). 327 P Y 4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为 19 27 , 求每次试验成功的概率. 解设每次试验成功的概率为p, 由题意知至少成功一
3、次的概率是 27 19 ，那么一次都 没有成功的概率是 27 8 . 即 27 8 )1( 3 p, 故p= 3 1 . 5. 若 X 服从参数为的泊松分布 , 且13P XP X, 求参数. 解由泊松分布的分布律可知6. 6. 一袋中装有5 只球 , 编号为 1,2,3,4,5. 在袋中同时取3 只球 , 以 X 表示取出的3 只球 中的最大号码 , 写出随机变量X的分布律 . 解从 1，2，3，4，5 中随机取 3 个，以 X 表示 3 个数中的最大值，X 的可能取值是 3，4，5，在 5 个数中取 3 个共有10 3 5 C种取法 . X=3 表示取出的3 个数以 3 为最大值， PX=
4、3= 2 2 3 5 C C = 10 1 ; X=4 表示取出的3 个数以 4 为最大值， PX=4= 10 3 3 5 2 3 C C ; X=5 表示取出的3 个数以 5 为最大值， PX=5= 5 3 3 5 2 4 C C . X 的分布律是 X 3 4 5 P 1 10 3 10 3 5 习题 2-3 1. 设 X 的分布律为 X- 1 0 1 P 0.15 0.20 0.65 求分布函数F(x), 并计算概率P X0, P X2, P - 2X1. 解(1) F(x)= 0,1, 0.15,10, 0.35,01, 1,1. x x x x (2) P X0= P X=-1=0.
5、15; (3) P X2= P X=- 1+ P X=0+ P X=1=1; (4) P - 2x1= P X=- 1+ P X =0=0.35. 2. 设随机变量X的分布函数为 F(x) = A+Barctanx- x+. 试求 : (1) 常数 A 与 B; (2) X 落在(- 1, 1内的概率 . 解(1) 由于 F(- ) = 0, F(+) = 1, 可知 ()0 11 2 ,. 2 ()1 2 AB AB AB 于是 11 ( )arctan ,. 2 F xxx (2) 11(1)( 1)PXFF 1111 (arctan1)(arctan( 1) 22 11111 (). 2
6、4242 3. 设随机变量X 的分布函数为 F(x)= 0,0, 01, 2 1,1, , x x x x 求 P X-1, P0.3 X0.7, P0 X2. 解P X1( 1)0F, P0.3 X0.7=F(0.7)- F0.3 - P X=0.7=0.2, P0 X2= F(2)- F(0)=1. 5. 假设随机变量X 的绝对值不大于1; 11 1,1 84 P XP X; 在事件 11X出现的条件下 , X 在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成 正比 . (1) 求X的分布函数( )F xP Xx; (2) 求 X 取负值的概率p. 解(1) 由条件可知 , 当
7、1x 时, ( )0F x ; 当 1x 时, 1 ( 1) 8 F; 当1x时, F(1)=P X1=P(S)=1. 所以 115 11(1)( 1)11. 848 PXFFP X 易见 , 在 X 的值属于 ( 1,1)的条件下 , 事件1Xx 的条件概率为 1PX| 11( 1)xXk x, 取 x=1 得到 1=k(1+1), 所以 k= 1 2 . 因此 1PX |11 1 2 xX x . 于是 , 对于 11x , 有 1PX 1xPX, 11xX 11 1|11PXPXxX 5155 . 8216 xx 对于x1, 有( )1.F x从而 0,1, 57 ( ),11, 16
8、1,1. x x F xx x (2) X 取负值的概率 7 0(0)0(0)(0)(0 )(0 ). 16 pP XFP XFFFF 习题 2- 4 1. 选择题 (1) 设 2 ,0, , ( ) 0,0, . xxc f x xc 如果 c=( ), 则( )f x是某一随机变量的概率密 度函数 . (A) 1 3 . (B) 1 2 . (C) 1. (D) 3 2 . 解由概率密度函数的性质( )d1f xx可得 0 2 d1 c x x, 于是1c, 故本题 应选 (C ). (2) 设(0,1),XN又常数 c 满足P XcP Xc, 则 c 等于 ( ). (A) 1. (B)
9、 0. (C) 1 2 . (D) - 1. 解因为 P XcP Xc , 所以1 P XcP Xc ,即 2 1P Xc, 从而0.5P Xc,即( )0.5c, 得 c=0. 因此本题应选 (B). (3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ). (A) cos ,0, ( ) 0, xx f x 其它. (B) 1, 2, ( )2 0, x f x 其它 . (C) 2 2 () 2 1 e,0, ( ) 2 0,0. x x f x x (D) e,0, ( ) 0,0. x x f x x 解由概率密度函数的性质( )1f x dx可知本题应选 (D). (4) 设随
10、机变量 2 ( , 4 )XN, 2 ( ,5 )YN, 1 XPP4, 2 PP Y5, 则( ). (A) 对任意的实数 12 , PP. (B) 对任意的实数 12 , PP. (C) 只对实数的个别值 , 有 12 PP. (D) 对任意的实数 12 , PP. 解由正态分布函数的性质可知对任意的实数, 有 12 ( 1)1(1)PP. 因此本题应选 (A). (5) 设随机变量X 的概率密度为fx, 且( )()f xfx, 又 F(x)为分布函数 , 则对 任意实数a, 有 ( ). (A) 0 ()1d( ) a Faxf x. (B) 0 1 ()d 2 ( ) a Faxf
11、x. (C) ()( )FaF a. (D) 2( )1FaF a. 解由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B). (6) 设随机变量 X 服从正态分布 2 11 (,)N,Y服从正态分布 2 22 (,)N,且 12 11,P XP Y则下式中成立的是( ). (A) 1 2. (C) 1 2. 解答案是 (A). (7) 设随机变量X 服从正态分布N(0,1), 对给定的正数) 10(, 数u满足 P Xu, 若P Xx, 则x等于 ( ). (A) 2 u. (B) 2 1 u. (C) 1- 2 u. (D) 1 u. 解答案是 (C). 2. 设连续型随机变量X 服从参数为
12、的指数分布 , 要使 1 2 4 P kXk成立 , 应当怎样选择数k? 解因为随机变量X 服从参数为的指数分布 , 其分布函数为 1e,0, ( ) 0,0. x x F x x 由题意可知 22 1 2 (2 )( )(1 e)(1 e)ee 4 kkkk P kXkFkF k. 于是 ln 2 k. 3. 设随机变量X 有概率密度 3 4,01, ( ) 0, xx f x 其它, 要使P XaP Xa(其中 a0)成立 , 应当怎样选择数a? 解由 条 件 变 形 ,得 到1 P XaP Xa ,可 知 0.5P Xa , 于 是 3 0 4d0.5 a xx, 因此 4 1 2 a.
13、 4. 设连续型随机变量X 的分布函数为 2 0,0, ( )01, 1,1, , x F xxx x 求: (1) X 的概率密度 ; (2)0.30.7PX. 解(1) 根据分布函数与概率密度的关系( )( )Fxf x , 可得 2 ,01, ( ) 0,其它. xx f x (2) 22 0.30.7(0.7)(0.3)0.70.30.4PXFF. 5. 设随机变量X 的概率密度为 f(x) 2 ,01, 0, xx 其它 , 求 P X 1 2 与 P 1 4 X2. 解P X 1 2 2 0 1 11 2 d2 24 0 x xx; 1 4 PX 1 2 1 4 1 15 22 d
14、 1 16 4 x xx. 6. 设连续型随机变量X 具有概率密度函数 ,01, ( ),12, 0, xx f xAxx 其它. 求: (1) 常数 A；(2) X 的分布函数F(x). 解(1) 由概率密度的性质可得 12 22 01 12 01 11 1d()d1 22 x xAxxxAxxA, 于是 2A ； (2) 由公式( )( )d x F xf xx可得 当 x0 时, ( )0F x ; 当0 x1 时, 2 0 1 ( )d 2 x F xx xx; 当1 x2 时, 2 1 01 ( )d(2)d21 2 x x F xx xxxx; 当 x2 时, ( )1F x .
15、所以 2 2 0,0, 1 ( ) 22 1,2. 1 ,0 2 1,1 2 x F x x x xx x x , , 7. 设随机变量X 的概率密度为 1 (1),02, ( ) 4 0, xx f x 其它 , 对 X 独立观察 3 次, 求至少有 2 次的结果大于1 的概率 . 解根据概率密度与分布函数的关系式 P aX( )( )( )d b a bF bF af xx, 可得 2 1 15 1(1)d 48 P Xxx. 所以 , 3 次观察中至少有2 次的结果大于1 的概率为 2233 33 535175 ( ) ( )( ) 888256 CC. 8. 设(0,5)XU, 求关于
16、 x 的方程 2 4420 xXx有实根的概率 . 解随机变量 X 的概率密度为 1 05, ( ) 5 0, ,x f x 其它 , 若方程有实根 , 则 2 1632X0, 于是 2 X2. 故方程有实根的概率为 P 2 X2= 2 12P X 122PX 2 0 1 1d 5 x 2 1 5 . 9. 设随机变量 )2 ,3( 2 NX . (1) 计算 25PX , 410PX , | 2PX , 3 XP ； (2) 确定 c 使得 ;P XcP Xc (3) 设 d 满足0.9P Xd , 问 d 至多为多少？ 解(1) 由 P axb= P 33333 ()() 22222 aXbba 公式 , 得 到 P2 X5=(1)( 0.5
