《(完整版)概率论与数理统计答案(3)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(完整版)概率论与数理统计答案(3)（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出 X 和 Y 的联合分布律. 【解】 X 和 Y 的联合分布律如表： 0 1 2 3 1 0 1 3 1113 C 2228 g 2 3 111 C3/ 8 222 g 0 3 1 8 0 0 1111 2228 2.盒子里装有3 只黑球、 2 只红球、 2 只白球，在其中任取4 只球，以 X 表示取到黑球的只 数，以 Y 表示取到红球的只数.求 X 和 Y 的联合分布律 . 【解】 X 和 Y 的联合分布律如表： 0 1 2 3 0 0 0 22 32 4
2、7 C C3 C35 g 31 32 4 7 C C2 C35 g 1 0 112 322 4 7 C C C6 C35 gg 211 322 4 7 C C C12 C35 gg 31 32 4 7 C C2 C35 g 2 P(0 黑,2 红,2 白)= 224 227 1 CC /C 35 g 121 322 4 7 C C C6 C35 gg 22 32 4 7 C C3 C35 g 0 3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 F（x，y）= .,0 2 0, 2 0,sinsin 其他 yxyx 求二维随机变量（X，Y）在长方形域 36 , 4 0 yx内的概率 . 【解】 如
3、图 0,(3.2) 4 63 PXY公式 (,)(,)(0,)(0,) 4 34 636 FFFF X Y X Y 2 sinsinsinsinsin 0 sinsin0 sin 434636 2 ( 31). 4 gggg 题 3 图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ., 0 , 0,0, )43( 其他 yxA yx e 求： （1） 常数 A； （2） 随机变量（ X，Y）的分布函数； （3） P0 X1，0 Y2. 【解】 （1） 由 -(34 ) 00 ( , )d ded d1 12 xyA f x yx yAx y 得A=
4、12 （2） 由定义，有 ( , )( , )d d yx F x yf u vu v (34 )34 00 12ed d(1 e)(1 e)0,0, 0, 0, yy uvxy u vyx 其他 (3) 01,02PXY 12 (34)38 00 01,02 12ed d(1 e )(1 e )0.9499. xy PXY x y 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y） = ., 0 , 42, 20),6( 其他 yxyxk （ 1） 确定常数k； （ 2） 求 P X1，Y3 ； （ 3） 求 P X1.5 ； （ 4） 求 P X+Y4. 【解】 （1） 由性质有 3 24
5、 02 ( ,)d d(6)d d81,f x yx ykxyy xk 故 1 8 R （2） 13 1,3( , )d dP XYf x yy x 13 02 13 (6)d d 88 kxyy x (3) 1 1.5 1.5( , )d da( ,)d d xD P Xf x yx yf x yx y 如图 1.54 02 127 d(6)d. 832 xxyy (4) 2 4 4( , )d d( ,)d d XYD P XYf x yx yf x yx y 如图 b 24 02 12 d(6)d. 83 x xxyy 题 5 图 6.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（
6、0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为 fY（ y）= ., 0 ,0,5 5 其他 y y e 求： （1） X 与 Y 的联合分布密度； （2） PY X. 题 6 图 【解】 （1） 因 X 在（ 0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为 1 ,00.2, ( )0.2 0,. X x fx 其他 而 4 5 5e,0, ( ) 0,. y Y y fy 其他 所以 ( , ),( )( ) XY f x y X Yfxfyg独立 55 1 5e25e,00.20, 0.2 0, 0, yy xy且 其他. (2) 5 ()( , )d d25ed d y yxD P YXf
7、 x yx yx y 如图 0.20.2 -55 000 -1 d25ed( 5e5)d =e0.3679. x yx xyx 7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 F（x， y）= ., 0 , 0,0),1)(1( 24 其他 yx yx ee 求（ X，Y）的联合分布密度. 【解】 (42 )2 8e,0,0,( , ) ( , ) 0, xy xyF x y f x y x y其他. 8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（ x，y）= 4.8 (2),01,0, 0,. yxxyx 其他 求边缘概率密度. 【解】( )( ,)d X fxfx yy x 2 0 4.8
8、(2)d2.4(2),01, = 0,. 0, yxyxxx 其他 ( )( ,)d Y fyf x yx 1 2 y 4.8 (2)d2.4 (34),01, = 0,. 0, yxxyyyy 其他 5 题 8 图题 9 图 9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= .,0 ,0, 其他 eyx y 求边缘概率密度. 【解】( )( ,)d X fxfx yy e de ,0, = 0,. 0, yx x yx 其他 ( )( , )d Y fyf x yx 0 e de,0, = 0,. 0, y yx xyy 其他 题 10 图 10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
9、 f（ x，y）= ., 0 , 1, 22 其他 yxycx （1） 试确定常数c； （2） 求边缘概率密度. 【解】 （1）( , )d d( , )d d D f x yx yf x yx y 如图 2 11 2 -1 4 =dd1. 21 x xcx y yc 得 21 4 c. (2) ( )( , )d X fxfx yy 6 2 1 2422121 (1),11,d 84 0,0,. x xxxx y y 其他 ( )( ,)d Y fyf x yx 5 2 2 21 7 d,01, 42 0,0,. y y x y xyy 其他 11.设随机变量（ X，Y）的概率密度为 f（x
10、，y）= .,0 , 10, 1 其他 xxy 求条件概率密度fYX（y x） ，fXY（xy）. 题 11 图 【解】( )( ,)d X fxfx yy 1d2 ,01, 0,. x x yxx 其他 1 1 1d1,10, ( )( , )d1d1,01, 0,. y Y y xyy fyf x yxxyy 其他 所以 | 1 ,|1,( , ) (| )2 ( ) 0,. Y X X yxf x y fy xx fx 其他 7 | 1 ,1, 1 ( ,)1 ( |),1, ( )1 0,. X Y Y yx y f x y fx yyx fyy 其他 12.袋中有五个号码1，2，3，
11、4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大 的号码为 Y. （ 1） 求 X 与 Y的联合概率分布； （ 2） X 与 Y 是否相互独立？ 【解】 （1） X 与 Y的联合分布律如下表 3 4 5 i P Xx 1 3 5 11 C10 3 5 22 C10 3 5 33 C10 6 10 2 0 3 5 11 C10 3 5 22 C10 3 10 3 0 0 2 5 11 C10 1 10 i P Yy 1 10 3 10 6 10 (2) 因 6161 1 31,3, 101010010 P XP YP XYg 故 X 与 Y 不独立 13.设二维随机变量（X，Y）的联合分
12、布律为 2 5 8 0.4 0.8 0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03 （1）求关于X 和关于 Y 的边缘分布； （2） X 与 Y 是否相互独立？ 【解】 （1）X 和 Y的边缘分布如下表 2 5 8 P Y=yi 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.8 0.05 0.12 0.03 0.2 i P Xx 0.2 0.42 0.38 Y X X Y X Y 8 (2) 因20.40.20.8P XP Yg0.160.15(2,0.4),P XY 故 X 与 Y 不独立 . 14.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（ 0，1）上服从均匀分布，
13、Y 的概率密度为 fY（y）= ., 0 , 0, 2 12/ 其他 y y e （1）求 X 和 Y 的联合概率密度； （2） 设含有 a 的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求 a 有实根的概率 . 【解】 （1） 因 1,01, ( ) 0, X x fx 其他; 2 1 e,1, ( ) 2 0, y Y y fy 其他. 故 / 2 1 e01,0, ( , ),( )( ) 2 0,. y XY xy f x y X Yfxfyg独立 其他 题 14 图 (2) 方程 2 20aXaY有实根的条件是 2 (2)40XY 故X2 Y， 从而方程有实根的概率为： 2 2 ( , )d
14、d xy P XYf x yx y 2 1 / 2 00 1 ded 2 12 (1)(0) 0.1445. x y xy 15.设 X 和 Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设 X 和 Y 相互独立，且服 从同一分布，其概率密度为 f（ x）= .,0 ,1000, 1000 2 其他 x x 9 求 Z=X/Y 的概率密度 . 【解】 如图 ,Z 的分布函数( ) Z X FzP ZzPz Y (1) 当 z0 时，( )0 Z Fz （2） 当 0z0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率 为 p（0p1） ，且中途下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数，求：（1）
15、在发 车时有 n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率； （2）二维随机变量（X， Y）的概 率分布 . 【解】 (1) |C(1),0,0,1,2, mmn m nP Ym Xnppmn nL. (2) ,|P Xn YmP XnP Ym Xng Y X 15 e C(1),0,1,2,. ! mmn mn n ppnmn n n gL 24.设随机变量X 和 Y 独立，其中X 的概率分布为X 7 .03.0 21 ，而 Y 的概率密度为f(y)， 求随机变量U=X+Y的概率密度g(u). 【解】 设 F（y）是 Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y 的分布函数为 ( )0.3 |1
16、0.7 |2G uP XYuP XYu XP XYu X 0.3 1|10.7 2 |2P YuXP YuX 由于 X 和 Y独立，可见 ( )0.3 10.7 2G uP YuP Yu 0.3(1)0.7(2).F uF u 由此，得U 的概率密度为 ( )( )0.3(1)0.7(2)g uG uF uFu 0.3 (1)0.7(2).f uf u 25. 25. 设随机变量X 与 Y 相互独立， 且均服从区间0,3上的均匀分布，求Pmax X,Y 1. 解：因为随即变量服从0，3上的均匀分布，于是有 1 , 03, ( )3 0,0,3; x f x xx 1 , 03, ( )3 0,0,3. y f y yy 因为 X，Y 相互独立，所以 1 , 03,03, ( , )9 0,0,0,3,3. xy f x y xyxy 推得 1 max, 1 9 PX Y. 26. 设二维随机变量（X， Y
