(完整版)第三章直线与方程知识点总结与题型

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1、1 第三章：直线与方程的知识点 倾斜角与斜率 1.当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的 角叫做直线l的倾斜角 . 当直线l与x轴平行或重合时 , 我们规定它的倾斜角为 0. 则直线l的倾斜角的范围是0. 2. 倾斜角不是 90的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值， 即tank. 如 果知道直线上两点 1122 (,),(,)P xyP xy，则有斜率公式 21 21 yy k xx . 特别地是，当 12 xx， 12 yy时，直线与x轴垂直，斜率k不存在；当 12 xx， 12 yy时，直线与y轴垂直， 斜率k=0. 注意：直线的倾斜角 =90时，斜率不存在，

2、即直线与y轴平行或者重合 . 当=90时，斜率k=0；当090时，斜率0k，随着的增大，斜率k也 增大；当90180时，斜率0k，随着的增大，斜率k也增大 . 这样，可以 求解倾斜角的范围与斜率k取值范围的一些对应问题 . 两条直线平行与垂直的判定 1. 对于两条不重合的直线 1 l、 2 l，其斜率分别为 1 k、 2 k，有： （1） 12 /ll 12 kk； （2） 12 ll 12 1kk. 2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时， 则它们平行， 都垂直于x轴； . 直线的点斜式方程 1. 点斜式：直线l过点 000 (,)P xy, 且斜率为k，其方程为 00

3、 ()yyk xx. 2. 斜截式：直线l的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为ykxb. 3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线 . 若直线l过点 000 (,)P xy且与x轴垂直 , 此时它的倾斜角为90，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直 线方程为 0 0 xx，或 0 xx. 4.注意： 0 0 yy k xx 与 00 ()yyk xx是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点 000 (,)P xy，后者才是整条直线 . 直线的两点式方程 1. 两点式：直线l经过两点 111222 (,),(,)P xyP xy，其方程为 11 2121 yyxx yyxx ， 2.

4、截距式：直线l在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为1 xy ab . 3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的 直线. 4. 线段 12 PP中点坐标公式 1212 (,) 22 xxyy . 2 直线的一般式方程 1.一 般 式 ：0AxByC， 注 意A、 B不 同 时 为0. 直 线 一 般 式 方 程 0 (0)AxByCB化为斜截式方程 AC yx BB ，表示斜率为 A B ，y轴上截距为 C B 的直线 . 2. 与直线:0lAxByC平行的直线，可设所求方程为 1 0AxByC；与直线 0AxByC垂直的直线，可设所求方程为 1 0BxAy

5、C. 3. 已 知 直 线 12 ,l l的 方 程 分 别 是 ： 1111 :0lA xB yC（ 11 ,A B不 同 时 为0） ， 2222 :0lA xB yC（ 22 ,A B不同时为 0） ，则两条直线的位置关系可以如下判别： （1） 121212 0llA AB B；（2） 1212211221 /0,0llABA BACA B； （3） 1 l与 2 l重合 12211221 0,0A BA BACA B； （4） 1 l与 2 l相交 1221 0A BA B. 如果 222 0A B C时，则 111 12 222 / ABC ll ABC ；1 l与 2 l重合 11

6、1 222 ABC ABC ；1 l与 2 l相交 11 22 AB AB . 两条直线的交点坐标 1. 一般地，将两条直线的方程联立， 得到二元一次方程组 111 222 0 0 AxB yC A xB yC . 若方 程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两 条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数 个公共点，此时两条直线重合. 2. 方程 111222 ()()0AxB yCA xB yC为直线系，所有的直线恒过一个定点， 其定 点就是 111 0AxB yC与 222 0A xB yC的交点 . 两点间的距离 1. 平面内两点 1

7、11 (,)P xy， 222 (,)P xy，则两点间的距离为： 22 121212 |()()PPxxyy. 特别地，当 12 ,P P所在直线与x轴平行时， 1212 | |PPxx；当 12 ,P P所在直线与y轴 平行时， 1212 | |PPyy； 点到直线的距离及两平行线距离 1. 点 00 (,)P xy到直线:0lAxByC的距离公式为 00 22 |AxByC d AB . 2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线 11 :0lAxByC， 22 :0lAxByC之间的距离公式 12 22 |CC d AB ，推导过程为：在直线 2 l上任取一点 00 (,)P

8、 xy， 则 002 0AxByC， 即 002 AxByC. 这时点 00 (,)P xy到直线 11 :0lAxByC的 距离为 001 12 2222 |AxByCCC d ABAB 3 对应练习 一. 选择题 1.( 安徽高考 ) 过点(1,0) 且与直线 x-2y=0 平行的直线方程是（） A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=0 2. 过点( 1,3)P且垂直于直线032yx的直线方程为（） A. 012yx B. 052yx C. 052yx D. 072yx 3. 已知过点( 2,)Am和(,4)B m的直线与直线012yx平

9、行， 则m的值为 （） A. 0 B. 8 C. 2 D. 10 4.( 安徽高考 ) 直线过点（ -1 ，2） ，且与直线2x-3y+4=0 垂直，则直线的方程是 （ ） A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=0 5. 设直线 ax+by+c=0的倾斜角为，且sincos0则 a,b 满足（） A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=0 6. 如果直线 ax+2y+2=0与直线 3x-y-2=0 平行，则系数 a= A、 -3 B、-6 C、 2 3 D、 3 2 7. 点 P（-1 ，2）到直线 8

10、x-6y+15=0 的距离为（） A 2 B 2 1 C 1 D 2 7 8. 直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点，则该点的坐标是 A（-2 ，1） B （2，1） C （1，-2 ） D （1，2） 9. （上海文， 15）已知直线 12 :(3)(4)10,: 2(3)230,lkxk ylkxy与平行， 则k得值是（） A. 1或 3 B.1或 5 C.3或 5 D.1或 2 4 10、若图中的直线 L1、L2、L3的斜率分别为 K1、K2、K3则（） A、K1K2K3 B、K2K1K3 C、K3K2K1 D、K1K3K2 11.（05 北京卷） “m= 2 1 ”是“直线(m+2

11、)x+3my+1=0与直线 (m2)x+(m+2)y3=0 相互垂直”的 ( ) （A）充分必要条件（B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件 12、与直线 2x+3y-6=0 关于点 (1,-1)对称的直线是（） A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0 13. 若直线 ax + by + c = 0 在第一、二、三象限，则() A. ab0，bc0 B. ab0，bc0 C. ab0，bc0D. ab0，bc0 14. （2005 北京文） “m= 2 1 ”是“直线 (m+2)x+3my+1=0与直

12、线(m2)x+(m+2)y 3=0相互垂直”的 ( ) A. 充分必要条件 B.充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 15. 如果直线l 经过两直线 2x - 3y + 1 = 0和 3x - y - 2 = 0的交点，且 与直线y = x垂直，则原点到直线l 的距离是 ( ) A. 2 B. 1 2C. 22 L1 L2 x o L3 5 16. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为 ( ) A. 5 2 ， 5 4 - B. 5 4 ， 5 2 - C. 5 2 ， 5 4 D. 5 4 ， 5 2 - 二、填空题 1. 点(1, 1)P到直线

13、10 xy的距离是 _. 2. 已知 A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线，则 a 的值为（） 3. 经过两直线 11x+3y7=0 和 12x+y19=0 的交点，且与 A（3，2） ， B（1，6）等距离的直线的方程是。 4. （全国文 16）若直线m被两平行线 12 :10:30lxylxy与所截得的线段 的长为22，则m的倾斜角可以是15 o 30 o 45 o 60 o 75 o 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号） 6 三. 解答题 1. 已知两条直线 12 :12,:2416lxm ym lmxy. m为何值时 , 12: ll与 （1）相交（2

14、）平行（3）垂直 2. 求经过直线0323:, 0532: 21 yxlyxl的交点且平行于直线032yx 的直线方程 . 3. 求平行于直线20,xy且与它的距离为 2 2的直线方程。 7 4. 已知直线l1 : mx + 8y + n = 0 与 l2 : 2x + my - 1 = 0 互相平行，求 l1，l2之间的 距离为5时的直线 l1的方程 . 5. 已知三角形 ABC的顶点坐标为 A（-1，5） 、B（-2，-1 ） 、C（4，3） ，M是 BC 边上的中点。（1）求 AB边所在的直线方程；（2）求中线 AM的长（3）求 AB边 的高所在直线方程。 6. 求与两坐标轴正向围成面积

15、为2 平方单位的三角形，并且两截距之差为3 的 直线的方程。 8 一、选择题 1设直线0axbyc的倾斜角为，且sincos0， 则,a b满足（） A1baB1ba C0baD0ba 2过点( 1,3)P且垂直于直线032yx的直线方程为（） A012yx B052yx C052yx D072yx 3已知过点( 2,)Am和(,4)B m的直线与直线012yx平行， 则m的值为（） A0 B8 C2 D10 4已知0,0abbc，则直线axbyc通过（） A第一、二、三象限B第一、二、四象限 C第一、三、四象限D 第二、三、四象限 5直线1x的倾斜角和斜率分别是（） A 0 45 ,1B 0 135 , 1 C 0 90，不存在D 0 180，不存在 6若方程014)()32( 22 mymmxmm表示一条直线，则实数m满足 （） A0mB 2 3 m C1mD1m， 2 3 m，0m 二、填空题 1点(1, 1)P到直线10 xy的距离是 _. 2 已知直线, 32: 1 xyl若 2 l与 1 l关于y轴对称，则 2 l的方程为 _; 若 3 l与 1 l关于x轴对称，则 3 l的方程为 _; 9 若 4 l与