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1、第十二章 全等三角形,人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）,12.1 全等三角形,下列各组图形的形状与大小有什么特点？,思考:他们能完全重合吗?,观察,每组的两个图形有什么特点?,完全重合,观察,形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。 能够完全重合的两个图形叫做全等形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形,概念,形状不同,观察,大小不同,观察,下列两三角形是怎样由一个三角形得到另一个三角形？它们有什么特点？,思考,A,C,B,D,E,下列两三角形是怎样由一个三角形得到另一个三角形？它们有什么特点？,思考,A,B,C,D,A,D,E,下列两三角形是怎样由一个三角形得到另一个三角形
2、？它们有什么特点？,思考,B,D,C,一个三角形经过平移、旋转、翻折后所得到的三角形与原三角形全等。,“全等”用符号“ ”表示,图中的ABC和DEF全等， 记作:ABC DEF 读作:ABC全等于DEF,全等三角形的表示,你能否直接从记作ABC DEF中判断出所有的对应顶点、对应边和对应角？,两个全等三角形的位置变化了，对应边、对应角的大小有没有变化？由此你能得到什么结论？,寻找各图中两个全等三角形的对应元素。,观察与思考,E,A,D,C,B,F,全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.,如图：ABC DFE AB=DF, BC=FE, AC=DE,几何语言：,ABC DFE A=D,
3、B=F,C=E,图形语言：,全等三角形的性质,A,B,C,D,E,F,ACBDEF,AB=DF, CB=EF,AC=DE.,A=D,CBA=F,C= DEF.,先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角,探究交流,A,B,C,D,ABCABD,AB=AB,BC=BD,AC=AD.,BAC=BAD,ABC=ABD C= D.,规律一：有公共边的，公共边是对应边,先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角,探究交流,A,C,D,B,AOCBOD,AO=BO,AC=BD,OC=OD.,A=B,C=D, AOC= BOD.,规律二：有对顶角的，对顶角是对应角,o,先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角,
4、探究交流,A,B,C,D,E,ABCADE,AB=AD,AC=AE, BC=DE,A=A,B=D, ACB= AED.,规律三：有公共角的，公共角是对应角,先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角,探究交流,先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角,ABCFDE,AB=FD,AC=FE, BC=DE,A=F, B=D, ACB= FED.,规律五：一对最大的角是对应角 一对最小的角是对应角,A,B,C,F,D,E,规律四：一对最长的边是对应边 一对最短的边是对应边,探究交流,3.有公共角的，公共角一定是对应角。,4.对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角,5.在两个全等三角形中最长边对
5、最长边，最短边对最短边，最大角对最大角，最小角对最小角。,1.有公共边的，公共边一定是对应边。,2.有对顶角的，对顶角一定是对应角。,规律,找出下列全等三角形的对应边、对应角,ABDCBD,课堂练习,找出下列全等三角形的对应边、对应角,AODCOD,课堂练习,找出下列全等三角形的对应边、对应角,ABCADE,课堂练习,找出下列全等三角形的对应边、对应角,ADECBF,课堂练习,找出下列全等三角形的对应边、对应角,ABNACM,ABMACN,课堂练习,找出下列全等三角形的对应边、对应角,AOBDOC,ABCDCB,O,课堂练习,如图, ABD EBC,2、如果AB=3cm,BC=5cm, 求BE
6、、BD的长.,BE=3cm,BD=5cm,解：ABD EBC,AB=EB，BC=BD,AB=3cm,BC=5cm,1、请找出对应边和对应角。,AB 与 EB、BC BD、AD EC，,ABEC、DC、ABDEBC,课堂练习,如图, EFGNMH,2、如果EF=2.1cm,EH=1.1cm, HN=3.3cm, 求NM、HG的长.,HG=EG-HG=3.3-1.1=2.2,解：EFG NMH,NM=EF=2.1,EG=HN=3.3,1、请找出对应边和对应角。,课堂练习,ABDACE，若ADB=100，B=30，说出ACE中各角的大小？,解： ABDACE， AEC= ADB=1000 ， C=
7、B=300， 又A+AEC+C=180 A=1800- AEC- C =1800-1000-300=500,课堂练习,如图,已知 AOC BOD 求证：ACBD,能力提高,互相重合的角叫做,互相重合的边叫做,其中：互相重合的顶点叫做,2. 叫全等三角形。,1.能够重合的两个图形叫做 。,全等形,4.全等三角形的 和 相等,对应边,对应角,对应顶点,课 堂 小 结,能够完全重合的两个三角形,3.“全等”用符号“ ”来表示，读作“ ”,对应边,对应角,5.书写全等式时要求把对应字母放在对应的位置上,全等于,12.2.1 三角形全等的判定 (SSS),知识回顾,1. 什么叫全等三角形？,能够完全重合
8、的两个三角形叫 全等三角形。,2.全等三角形有什么性质？ 全等三角形的对应边相等，对应角相等,知识回顾,即：三条边对应相等，三个角对应相等的两个三角形全等。,六个条件，可得到什么结论？,与 满足上述六个条件中的一部分是否能保证 与 全等呢？,问题,一个条件可以吗？,两个条件可以吗？,一个条件可以吗？,有一条边相等的两个三角形,不一定全等,探究活动,2. 有一个角相等的两个三角形,不一定全等,结论：,有一个条件相等不能保证两个三角形全等.,有两个条件对应相等不能保证三角形全等.,不一定全等,有两个角对应相等的两个三角形,两个条件可以吗？,3. 有一个角和一条边对应相等的两个三角形,2. 有两条边
9、对应相等的两个三角形,不一定全等,不一定全等,结论：,探究活动,三个条件呢？,探究活动,三个角；,2. 三条边；,3. 两边一角；,4. 两角一边。,如果给出三个条件画三角形， 你能说出有哪几种可能的情况？,结论: 三个内角对应相等的三角形 不一定全等。,探究活动,有三个角对应相等的两个三角形,三个条件呢？,若已知一个三角形的三条边，你能画出这个三角形吗？,画一个三角形，使它的三边长分别为4cm,5cm,7cm.,三边对应相等的两个三角形会全等吗？,画法：,1. 画线段AB=4cm；,2. 分别以A、B为圆心，5cm、 7cm 长为半径作圆弧，交于点C；,3. 连结AB、AC；,ABC就是所求
10、的三角形.,动手试一试,探究活动,三边相等的两个三角形会全等吗？,画法：,动手试一试,探究活动,结论,三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。,用上面的结论可以判定两个三角形全等判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等,三边对应相等的两个三角形全等. (简写成“边边边”或“SSS”),如何用符号语言来表达呢?,结论, A = _ B = _ C = _, ABC ADC（SSS）,例1 已知：如图，AB=AD，BC=CD， 求证：ABC ADC,AC,AC ( ),AB=AD ( ) BC=CD ( ),证明：在ABC和ADC中,=,已知,已知,公共边,判断两个三角
11、形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。,分析：要证明 ABC ADC，首先看这两个三角形的三条边是否对应相等。,结论：从这题的证明中可以看出，证明是由已知出发，经过一步步的推理，最后推出结论正确的过程。,归纳：,准备条件： 证全等时要用的间接条件要先证好；,三角形全等书写三步骤：,写出在哪两个三角形中,摆出三个条件用大括号括起来,写出全等结论,证明的书写步骤：,例2 如图，ABC是一个钢架，AB=AC， AD是连接点A与BC中点D的支架. 求证： ABDACD.,A,B,C,D,应用迁移，巩固提高,(1),(2)BAD = CAD.,（2）由（1）得ABDACD ， BAD= CAD. （全等
12、三角形对应角相等）,工人师傅常用角尺平分一个任意角. 做法如下：如图，AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合. 过角尺顶点C的射线OC便是AOB的平分线.为什么？,练习,课 本 P8,（全等三角形对应角相等）,（已知）,（已知）,（公共边）,例3、已知BAC（如图），用直尺和圆规 作BAC的平分线AD，并说出该作法正 确的理由。,小明做了一个如图所示的风筝，他想去验证BAC与DAC是否相等，但手头却只有一把足够长的尺子。你能帮助他想个方法吗？说明你这样做的理由。,思,考,？,如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：AEB A
13、DC。,证明：BD=CE BD-ED=CE-ED， 即BE=CD,练一练,思,考,？,已知AC=FE，BC=DE，点A、D、 B、 F在一条直线上，AD=FB. 要用“边边边”证明 ABC FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？,解：要证明ABC FDE， 还应该有AB=DF这个条件,AD=FB AD+DB=FB+DB 即 AB=FD,思,考,？,已知AC=FE，BC=DE，点A、D、 B、 F在一条直线上，AD=FB. 要用“边边边”证明 ABC FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？,练习1
14、：如图，ABAC，BDCD，BHCH，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？,解：有三组。 在ABH和ACH中, AB=AC，BH=CH，AH=AH, ABHACH（SSS）；,在ABD和ACD中, AB=AC，BD=CD，AD=AD, ABDACD（SSS）；,在DBH和DCH中 BD=CD，BH=CH，DH=DH, DBHDCH（SSS）.,（2）如图，D、F是线段BC上的两点， AB=CE，AF=DE，要使ABFECD ， 还需要条件 .,BC,BC,DCB,BF=DC,或 BD=FC,A,B,C,D,练习2,解： ABCDCB 理由如下： AB = DC AC = DB =,A
15、BC ( ),SSS,（1）如图，AB=CD，AC=BD，ABC和DCB是否全等？试说明理由。,A,E,B D F C,练习3、如图，在四边形ABCD中, AB=CD, AD=CB, 求证： A= C.,证明：在ABD和CDB中,AB=CD,AD=CB,BD=DB,ABDCDB（SSS）,（已知）,（已知）,（公共边）, A=C （全等三角形的对应角相等）,你能说明ABCD，ADBC吗？,解：,E、F分别是AB，CD的中点（ ）,又AB=CD,AE=CF,在ADE与CBF中,DE=,=,ADECBF ( ),AE= AB CF= CD（ ）,补充练习：,如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是AB，CD的中点，且DE=BF，说出下列判断成立的理由.,ADECBF,A=C,线段中点的定义,BF,AD,AE,CF,SSS,ADECBF,全等三角形对应角相等,已知,CB, , A=C ( ),=,例.如图,已知AB=DE,AC=DF,要说明ABCDEF， 还需增加一个什么条件？,同步练习,请同学们谈谈本节课的收获与体会,本节课你学到了什么？ 发现了什么？ 有什么收获？ 还存在什么没有解决的问题？,小 结,2. 三边对应相等的两个三角形全等 （简写成“边边边” 或“SSS”）；,1. 知道三角形三条边的长度怎样画三角形；,3. 初步学会理解证明的思路， 应用“边边边”证明两个三角
