《抛物线知识点总结及例题讲解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《抛物线知识点总结及例题讲解（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 个性化辅导讲义个性化辅导讲义 杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司 1 二次函数二次函数 【知识梳理】【知识梳理】 1.1.定义定义：一般地，如果)0,( 2 acbacbxaxy都是常数，,那么的二次函数是xy 2.2. 二 次 函 数二 次 函 数cbxaxy 2 ( ()0a配 方 得配 方 得 ：khxay 2 的 形 式 ， 其 中 a bac k a b h 4 4 , 2 2 3.3.抛物线的三要素抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 的符号决定抛物线的开口方向： (1)当时，开口向上；顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大， 当 a b
2、 x 2 ,y 值最小，最小值为 a bac 4 4 2 (2)当时，开口向下；顶点是抛物线的最高点，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小，当 a b x 2 ,y 值最大，最大值为 a bac 4 4 2 (3)a相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于 y 轴（或重合）的直线记作.特别地，y 轴记作直线. 4.4.顶点决定抛物线的位置顶点决定抛物线的位置:几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、 开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 5 5. .求抛物线的顶点、对称轴的方法求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法： a bac a b xacbxaxy 4 4
3、 ) 2 ( 2 22 ， 顶点是) 4 4 , 2 ( 2 a bac a b ，对称轴是直线 a b x 2 . （2） 配方法： 运用配方的方法， 将抛物线的解析式化为khxay 2 )(的形式， 得到顶点为),(kh， 对称轴是直线. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平 分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性 进行验证，才能做到万无一失. 6.6.抛物线抛物线的作用中，cbacbxaxy, 2 个性化辅导讲义个性化辅导讲义 杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司 2 （1）
4、决定开口方向及开口大小，这与 2 axy 中的完全一样. （2） 和共同决定抛物线对称轴的位置:由于抛物线cbxaxy 2 的对称轴是直线 a b x 2 ， 故： 时，对称轴为轴 a b 0（即、同号）时，对称轴在轴左侧 0 a b （即、异号）时，对称轴在y轴右侧. （3）的大小决定抛物线cbxaxy 2 与y轴交点的位置. 当yx时，0c，抛物线cbxaxy 2 与y轴有且只有一个交点（0，） ： ，抛物线经过原点; ,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则0 a b . 7.7.用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法
5、求二次函数的解析式 （1）一般式：cbxaxy 2 .已知图像上三点或三对yx,的值，通常选择一般式. （2）顶点式：khxay 2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标 21,x x，通常选用交点式：)( 21 xxxxay. 8.8.直线与抛物线的交点直线与抛物线的交点 （1）轴与抛物线cbxaxy 2 得交点为), 0(c. （2）与轴平行的直线与抛物线cbxaxy 2 有且只有一个交点(,). （3）抛物线与轴的交点:二次函数cbxaxy 2 的图像与轴的两个交点的横坐标 21,x x，是 对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可
6、以由对应的一元 二次方程的根的 判别式判定： 有两个交点抛物线与轴相交； 有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； 没有交点抛物线与轴相离. （4）平行于轴的直线与抛物线的交点： 同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐 个性化辅导讲义个性化辅导讲义 杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司 3 标为，则横坐标是的两个实数根. （5）一次函数)0( knkxy的图像l与二次函数cbxaxy 2 )0( a的图像G的交点， 由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点； 方
7、程组无解时与没有交点. （6） 抛物线与轴两交点之间的距离： 若抛物线cbxaxy 2 与轴两交点为)0 ,(),0 ,( 21 xBxA， 由于 21,x x是方程0 2 cbxax的两个根，故 a c xx a b xx 2121 , 经典例题：经典例题： 【例 1】 二次函数cbxaxy 2 的图像如图所示， 那么abc、acb4 2 、ba2、cba24 这四个代数式中，值为正的有（ ） A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个 21 世纪教育网 解析： a b x 2 1 ba20 答案：A 评注：由抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴的位置判定b的符号，由抛物线与y轴交点 位
8、置判定c的符号。由抛物线与x轴的交点个数判定acb4 2 的符号，若x轴标出了 1 和1，则结 合函数值可判定ba2、cba、cba的符号。 【例 2】已知0cba，a0，把抛物线cbxaxy 2 向下平移 1 个单位，再向左平 移 5 个单位所得到的新抛物线的顶点是（2，0） ，求原抛物线的解析式。 分析：由0cba可知：原抛物线的图像经过点（1，0） ；新抛物线向右平移 5 个单位， 再向上平移 1 个单位即得原抛物线。 解：可设新抛物线的解析式为 2 )2( xay，则原抛物线的解析式为1)52( 2 xay， 又易知原抛物线过点（1，0） 1)521 (0 2 a，解得 4 1 a y
9、 x 例 1 图 -1 1 O 个性化辅导讲义个性化辅导讲义 杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司 4 原抛物线的解析式为：1)3( 4 1 2 xy 评注： 解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系， 以及所对应的解析式间的联系， 并注意逆向思维的应用。 另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：开口反向（或旋 转 180 0） ，此时顶点坐标不变，只是a 反号；两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a 反号；两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称； 探索与创新：21 世纪教育网 【问题】已知，抛物线 22 ) 1(ttxay（a、t是常
10、数且不等于零）的顶点是 A，如图所 示，抛物线12 2 xxy的顶点是 B。 （1）判断点 A 是否在抛物线12 2 xxy上，为什么？ （2）如果抛物线 22 ) 1(ttxay经过点 B，求a的值；这条抛物线与x轴的两个交点 和它的顶点 A 能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。 y x 问题图 OB 解析： （1）抛物线 22 ) 1(ttxay的顶点 A（1t， 2 t） ，而 1tx当时， 222 ) 11() 1(12xxxxy 2 t， 所以点A在抛物线12 2 xxy上。 （ 2 ）顶 点 B （1 ，0 ） ，0) 11 ( 22 tta， 0t， 1a；
11、 设抛 物线 22 ) 1(ttxay与x轴的另一交点为 C，B（1，0） ，C（12 t，0） ，由抛物线的对称性可知， ABC 为等腰直角三角形， 过 A 作 ADx轴于 D， 则 ADBD。 当点 C 在点 B 的左边时，) 1(1 2 tt， 解得1t或0t（舍） ； 当点C在点B的右边时，1) 1( 2 tt， 解得1t或0t（舍） 。 故1t。 评注：若抛物线的顶点与x轴两交点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形， 常用其“斜边上的中线（高）等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。 针对练习：针对练习： 一填空题一填空题 1.把抛物线 2 2 1 xy向左平移 2 个单位
12、得抛物线 ，接着再向下平移 3 个单位，得抛物 线 . 个性化辅导讲义个性化辅导讲义 杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司 5 2.函数xxy 2 2图象的对称轴是 ，最大值是 . 3.正方形边长为 3，如果边长增加 x 面积就增加 y，那么 y 与 x 之间的函数关系是 . 4.二次函数682 2 xxy，通过配方化为khxay 2 )(的形为 . 5.二次函数caxy 2 （c 不为零） ，当 x 取 x1，x2（x1x2）时，函数值相等，则 x1与 x2的关系 是 . 6.抛物线cbxaxy 2 当 b=0 时，对称轴是 ，当 a，b 同号时，对称轴在 y 轴 侧，当 a，b
13、 异号时，对称轴在 y 轴 侧. 7.抛物线3) 1(2 2 xy开口 ， 对称轴是 ， 顶点坐标是 .如果 y 随 x 的增大而减小，那么 x 的取值范围是 . 8.若 a0，则函数52 2 axxy图象的顶点在第 象限；当 x 4 a 时，函数值随 x 的 增大而 . 9.二次函数cbxaxy 2 （a0）当 a0 时，图象的开口 a0 时，图象的开口 ，顶 点坐是 . 10.抛物线 2 )( 2 1 hxy， 开口 ， 顶点坐标是 ， 对称是 . 11.二次函数)()(3 2 xy的图象的顶点坐标是（1，-2）. 12.已知2) 1( 3 1 2 xy，当 x 时，函数值随 x 的增大而
14、减小. 13.已知直线12 xy与抛物线kxy 2 5交点的横坐标为 2，则 k= ，交点坐标 为 . 14.用配方法将二次函数xxy 3 2 2 化成khxay 2 )(的形式是 . 15.如果二次函数mxxy6 2 的最小值是 1，那么 m 的值是 . 二、选择题：二、选择题： 16.在抛物线132 2 xxy上的点是（ ） A.（0，-1） B. 0 , 2 1 C.（-1，5） D.（3，4） 个性化辅导讲义个性化辅导讲义 杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司 6 17.直线2 2 5 xy与抛物线xxy 2 1 2 的交点个数是（ ） A.0 个 B.1 个 C.2 个
15、D.互相重合的两个 18.关于抛物线cbxaxy 2 （a0） ，下面几点结论中，正确的有（ ） 当 a0 时，对称轴左边 y 随 x 的增大而减小，对称轴右边 y 随 x 的增大而增大，当 a0 时， 情况相反. 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点. 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同. 一元二次方程0 2 cbxax（a0）的根，就是抛物线cbxaxy 2 与 x 轴 交点的 横坐标. A. B. C. D. 19.二次函数 y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（ ） A.x=1 B.x=-2 C.x=3 D.x=-3 20. 图象的顶点为(-2，-2 )，且经过原点的二次函数的关系式是（ ） A.y=
