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1、,数学悖论与三次数学危机,“古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮。” N布尔巴基,什么是悖论？,笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由它的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推出它为真。由于严格性被公认为是数学的一个主要特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀疑。如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识上的普遍危机感。在这种情况下，悖论往往会直接导致“数学危机”的产生。,1.希帕索斯悖论与第一次数学危机,毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派 公元前五世纪
2、古希腊的著名数学家与哲学家,1.希帕索斯悖论与第一次数学危机,“万物皆数” “一切数均可表成整数或整数之比” 希帕索斯的问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？ 18世纪，圆周率被证明是无理数 古典逻辑与欧氏几何产生,2.贝克莱悖论与第二次数学危机,芝诺悖论 阿基里斯追龟 运动不存在 飞矢不动 运动场,2.贝克莱悖论与第二次数学危机,芝诺悖论 时间是可分的，由无穷多小时间段构成的 强调空间连续性的同时却忽略了时间的连续性 “无穷小量”与“很小的量”一样吗,2.贝克莱悖论与第二次数学危机,x2 的导数 无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零 招之即来，挥之即去 “已死的幽灵”
3、无穷小量是0吗？,2.贝克莱悖论与第二次数学危机,无穷小量到底是什么？ 什么是连续？可导、可微、可积的前提是什么？ 发散级数可以求和吗？ S11111 十九世纪七十年代初，威尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上,3.罗素悖论与第三次数学危机,十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论 集合论成为现代数学的基石 一切数学成果可建立在集合论基础上,3.罗素悖论与第三次数学危机,将整数理论建立在集合论上,3.罗素悖论与第三次数学危机,集合论最基础的是有限与无穷 某一个市镇只有一家旅馆，这个旅馆
4、与通常旅馆没有不同，只是房间数不是有限而是无穷多间，房间号码为1，2，3，4，我们不妨管它叫希尔伯特旅馆。这个旅馆的房间可排成一列的无穷集合(1，2，3，4，)，称为可数无穷集。,3.罗素悖论与第三次数学危机,有一天开大会，所有房间都住满了。后来来了一位客人，坚持要住房间。旅馆老板于是引用“旅馆公理”说：“满了就是满了，非常对不起！”。正好这时候，聪明的旅馆老板的女儿来了，她看见客人和她爸爸都很着急，就说：“这好办，请每位顾客都搬一下，从这间房搬到下一间”。于是1号房间的客人搬到2号房间，2号房间的客人搬到3号房间依此类推。最后1号房间空出来，请这位迟到的客人住下了。,3.罗素悖论与第三次数学
5、危机,第二天，希尔伯特旅馆又来了一个庞大的代表团要求住旅馆，他们声称有可数无穷多位代表一定要住，这又把旅馆经理难住了。老板的女儿再一次来解围，她说：“您让1号房间客人搬到2号，2号房间客人搬到4号，k号房间客人搬到2k号，这样，1号，3号，5号，房间就都空出来了，代表团的代表都能住下了。”,3.罗素悖论与第三次数学危机,希尔伯特旅馆越来越繁荣，来多少客人都难不倒聪明的老板女儿。后来女儿进了大学数学系。有一天，康托尔教授来上课，他问：“要是区间0，1上每一点都占一个房间，是不是还能安排？”她绞尽脑汁，要想安排下，终于失败了。,3.罗素悖论与第三次数学危机,无穷与无穷相同吗？ 无穷集合除了可数集台
6、外还有不可数集合 不可数集合的元素数目要比可数集合元素数目多得多 可以与自然数集合N一一对应的所有集合的共同性质是它们都具有相同的数目，这是最小的无穷基数 连续统假设,3.罗素悖论与第三次数学危机,罗素悖论 谁给理发师理发？ 构造集合A：由所有不属于集合A的集合组成的集合 A是否属于A呢？ 包含所有书目的书,3.罗素悖论与第三次数学危机,罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。如G.弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”戴德金也因此推迟了他的什么是数的本
7、质和作用一文的再版。可以说，这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。,3.罗素悖论与第三次数学危机,使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究 ZF公理集合论 超出公理所允许的限度而构造出来的集合，在公理系统中一概不承认 由一切集合为元素构成的集合不是集合,4.数学确定性的丧失,数学发展是不断出现矛盾与解决矛盾的斗争 任何正整数都可以表示为四个平方数之和 哥德巴赫猜想：任何大偶数都可以表示为两个素数之和 数学永远回避不了有限与无穷这对矛盾，只要无穷存在，你就要应付它,4.数学确定性的丧失,数学家要创造，才能解决矛盾 正数负数零 整数分数无理数 实数复数四元数、八元数、超复数 数学研究的是“存在”,4.数学确定性的丧失,承认无穷集合，承认无穷基数 潘多拉的盒子 一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。 尽管悖论可以消除，矛盾可以回避，数学的确定性却在一步一步丧失。 莫利斯克莱因数学，确定性的丧失,5.数学的分支,算术、初等代数、高等代数、数论、欧氏几何、非欧几何、解析几何、微分几何、代数几何、射影几何、分形几何、拓扑学、微积分、实变函数论、复变函数论、概率论、泛函分析、常微分方程、偏微分方程、数理逻辑、模糊数学、运筹学、计算数学、突变理论、数学物理学 数学危机伟大的革命,
