《三角形部分模型总结》由会员分享,可在线阅读,更多相关《三角形部分模型总结(10页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 10 页NCE DBAMNGF312 CEDBAM三角形部分模型总结斜边中线模型构成:RtABC,ACB= ,D 为 AB 边的中点09目的:找等量关系,或 2 倍(1/2)的关系。结果:AD=CD=BD例 1 已知:ABC 中,A= ,CEAB,BDAC06求证:DE= 12BC证明:取 BC 中点 M,连结 EM,DM先证 EM=DM EM= 12BC=DM再证:2= -1-3= -( -2ABC)-( -2ACB)=06则EDM 为等边三角形,所以有 DE=DM= 12BC“Rt中斜边上的中线等于斜边的一半”+“等腰对等底”+“等量代换”例 2 已知:ABC 中,CEAB
2、,BDAC,M,N 分别为 BC,DE 的中点求证:MNED证明:连结 EM,DM先证 EM=DM EM= 12BC=DM后证 MNED N 为中点,EM=DM“RT中斜边上的中线等于斜边的一半”+“三线合一定 理”思考:若ABC 为钝角,又该如何呢?在 Rt中,又是怎样?例 3 已知:在ABC 中,AB=AC,BD 为ABC 的角平分线,AMBC,DEBC,FDBD求证:ME= BF14证明:取 BD、BF 中点 G、N,连结 DN, EG, GM先证 DN= 2BF再证:DN=DC DNC=C=ABC DNAB 3=1AB=AC再证 GM= 1DC后证 GM=ME MEG=MGE GEM=
3、2GMB=C=22所以有 ME= 2DC= BF4“RT中斜边上的中线等于斜边的一半(2 次)”+“平行线性质 1”+“等腰对等底”+“三角形中位线定理”A BDCMABDEC21 3第 2 页 共 10 页654321MGFED CBA例 4 如图,在ABC 中,B=2C,ADBC 与 D,M 为 BC 边的中点,AB=10cm,则 MD 长为多少?解:取 AB 中点 N,连结 DN,NM,则 DN= 12AB, NDB= B, 且NMD= CNDB= NMD+ DNMB= C+ DNM=2CDNM=C=NDM 则 DM=DN= AB“Rt斜边上的中线等于斜边的一半”+“三角形中位线定理”
4、+“外角性质”+“等底对等腰”例 5 如图 ,RtABC 中,C= ,CD 平分C,E 为 AB 中点,PEAB,交 CD 延长线于 P,09那么PAC+PBC 的大小是多少?解:连结 CE ,则EAC=ECADCE=ECA-DCA=DAC-045又 DAC=180 -ADC- = -PDE013DCE=( -PDE)- =DPE 则 PE =EC=AE1350则可证PAC+PBC=PAB+BAC+PBA+ABC=180 0“斜边中线性质”+“对顶角相等”+“等量代换”+“三角形内角和定理”“三线合一”模型“角平分线”+垂线 等腰三角形”构成:OC 为A0B 的角平分线,BCOC 于 C 点目
5、的:构造等腰三角形结果: 边:BC=AC,OA=OB OC 为OAB 的中线角:3=4,ACO= OC 为ABO 的高线09全等:ACOBCO例 1 已知:AD 是ABC 的A 的平分线,CDAD 于 D,BEAD 于 AD 的延长线于 E,M 是 BC边上的中点。求证:ME=MD证明:延长 CD 交 AB 于 F 点,BE 与延长线交于点为 FC 中点,为中点。,3 , 0909则3则“三线合一定理的逆定理”“平行线的性质”“等底对等腰”NCDBAMPDCEBA4321 CBAO第 3 页 共 10 页54321FEDCBA例已知:ABC 为等腰直角三角形,A= ,2,CEBE09求证:BD
6、=2CE证明:延长 CE、BA 交于 F 点先证 CF=2CE再证 RTABDRTCAF “3=F”+”AB=AC”+”BAD=CAF”则有 BD=CF=2CE“三线合一定理的逆定理”+“ASA 全等”例 3 已知:ABC 中,CE 平分ACB,且 AECE,AED+CAE=180 (3+4=180 )00求证:DEBC证明:延长 AE 交 BC 边于 F 点,则有3且353+4=180 4+5=1800056 则 DEBC“三线合一定理的逆定理”“平行线的判定”例 4 已知:在ABC 中,ACAB,AM 为A 的平分线,ADBC 于 D求证 :MAD= 12(B-C)证明:作 BEAM,交
7、AC 于 E 点,交 AM 于 K 点先证3=4 25AEB AM 为角平分线 BEAM后证:B-C=4+5-C=4+AEB -C=24则3=4= 12(B-C)即MAD= 12(B-C)“三线合一逆定理”+“平行四边形的判定”例 5 已知:在ABC 的两边 AB 、AC 上分别取 BD=CE,F、G 分别为 DE、BC 的中点,A的平分线 AT 交 BC 于 T求证:FGAT证明:作 ENAT 于 N 点,交 AB 于 L 点,作 CKAT 于 K 点,连结 FN、GK先证:NF且= 12LD,KG且= MB再证:LD=MB LM=DB=EC最后证明四边形 FNKG 为平行四边形。“三线合一
8、定理的逆定理”“平行四边形判定”4321FEDCBA5432 1 K EMDCBALTMNKGF EDCBA第 4 页 共 10 页三角形中位线模型构成:ABC 中,D 为 AB 边中点目的:找中位线,构造:2 倍关系相似三角形结果:DEBC,DE= 12BC ADEABC例 1 已知:在ABC 中,AB=AC,ADBC 于 D,DEAC 于 E,F 为 DE 中点求证:AFBE证明:取 BE 中点 H,连 DH先证:RtEDHRtAED 则 2DECHAFRtEDHRtAEF 则 BED= 1EAF+AEG= 则 AFBE09“AAA ”+“中位线定理”+“(两直线)定义”例 2 已知 BD
9、、CE 为ABC 的角平分线,AFCE 于 F,AGCE 于 F,AGBD 于 G求证:FGBC FG= 12(AB+AC-BC)证明:延长 AF、AG 分别交 BC 于 M、N 两点证 G 为 AN 中点 BDAN 1=2F 为 AM 中点 3=4 CEAM 则 GF 为ANM 中位线 GFBC, GF= 12MN MN=BN+CM-BC=AB+AC-BC“等腰三线合一”+“中位线定理”+“等量代换”思考:BD、CE 为外角平分线时或一内一外角平分线时,又该如何证明?例 3 已知 ,如图在 ABCD 中,P 为 CD 中点,AP 延长线交 BC 延长线于 E,PQCEA交 DE 于 Q求证:
10、PQ= 12BC证明:先证ADPPCE 可得 CE=AD=BC 再证 PQ 为中位线 ,PQ= 12CE“AAS ”+“平行四边形性质”+“中位线定理”例 4 已知:梯形 ABCD 中,AB=DC,ACBD,E、F 为腰上中点,DLBC,M 为 DL 与 EF 的交点求证:EF=DL证明:取 AD、EF 的中点 H、K,连结 EH、FH、HK易证 EHHF 则 HK= 12EFRTDLC 中可得 M 为 DL 中点,则 DM= 12DLAB CD EGFEDHCBA4321GFNMECDBALMKHFEDCBAQPEDCBA第 5 页 共 10 页76 54321MGF EDCBA4321EB
11、DCA108054321E CBAD由题意得 HK=DM 则 EF=DL“三角形中位线定理(3 次) ”+“平行线性质”+“斜边上中线为斜边一半”例 5 已知:锐角ABC 中,以 AB、AC 为斜边向外作等腰直角ADB,AEC,M 为BC 中点,连结 DM、ME求证:DM=EM ,DMEM证明:取 AB、AC 的中点 F、G,连结 DF 、FM、 ME先证DFMMGE DF=GM DFM=MGE 1=2=3 FM=GE则 DM=ME , 4=5再证DME=7+1+5= ,则 DMEM09思考:BAC 为钝角时,又该如何证明?“补长截短”模型(1) 截长法: 构成:线段 a,b,c目的:确定一线
12、段,找令一线段的等量关系结果: a- =c a=b+c, b=bb(2)补短法: 构成:线段 a,b,c目的:构造一等长线段,再找等量关系结果:c= , b+ =a a=b+cc例 1 已知:ABC 中,AD 平分BAC求:(1)若B=2C,则 AB+BD=AC(2) 若 AB+BD=AC,则B=2C解:(1)在 AC 上取 AE=AB,连结 DE,则AEDABDBD=ED3=B,AB=AE 且3=2C=4+C 则 EC=ED AC=AE+EC=AB+BD(2) (1)的反推过程“SAS 全等”+“的一外角等于与它不相邻的两内角和”+“等底 等腰”例 2 已知:等腰ABC 中,AB=AC, A
13、= ,BD 平分ABC018求证:BC=AB+DC证明: 在 BC 边上取 BE=BA,连结 DE,则ABDEBD AB=BE再证:3=4 4= ,3=5-C=07207cb cbaabcc第 6 页 共 10 页3 21GHDFE CBA54321 GMFEDCBADC=EC 则 BC=BE+EC=AB+DC“SAS 全等”+“两外角等于不相邻两内角和”+“等底对等腰”例 3 已知:在ABC 的边 BC 上取 BE=CF,过 E 作 EHAB 交 AC 于 H,过 F 作 FGAB 交AC 于 G求证:EH+FG=AB证明:在 AB 上取 BD=FG,连结 DE先证DBEGFC 再推3=C再证四边形 ADEH 为平行四边形则 FG+EH=AD+DB=AB“SAS 全等”+“平行线的判定”+“平行四边形的判定”思考: 若在 AC 上截取 AD=EH,连 DF,如何证明? 若用以下方法添加辅助线,又该如何证明? a. 在 CA 上截取 CD=GF,连 DFb. 延长 HE 至 D,使 ED=GF,连 ADc. 延长 EH 至 D,使 ED=AC