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1、第 1 页 共 10 页NCE DBAMNGF312 CEDBAM三角形部分模型总结斜边中线模型构成：RtABC,ACB= ,D 为 AB 边的中点09目的：找等量关系，或 2 倍（1/2）的关系。结果：AD=CD=BD例 1 已知：ABC 中，A= ，CEAB,BDAC06求证：DE= 12BC证明：取 BC 中点 M，连结 EM,DM先证 EM=DM EM= 12BC=DM再证：2= -1-3= -（ -2ABC）-（ -2ACB）=06则EDM 为等边三角形，所以有 DE=DM= 12BC“Rt中斜边上的中线等于斜边的一半”+“等腰对等底”+“等量代换”例 2 已知：ABC 中，CEAB
2、,BDAC，M,N 分别为 BC,DE 的中点求证：MNED证明：连结 EM,DM先证 EM=DM EM= 12BC=DM后证 MNED N 为中点，EM=DM“RT中斜边上的中线等于斜边的一半”+“三线合一定 理”思考：若ABC 为钝角，又该如何呢？在 Rt中，又是怎样？例 3 已知：在ABC 中，AB=AC,BD 为ABC 的角平分线，AMBC,DEBC,FDBD求证：ME= BF14证明：取 BD、BF 中点 G、N，连结 DN， EG， GM先证 DN= 2BF再证：DN=DC DNC=C=ABC DNAB 3=1AB=AC再证 GM= 1DC后证 GM=ME MEG=MGE GEM=
3、2GMB=C=22所以有 ME= 2DC= BF4“RT中斜边上的中线等于斜边的一半(2 次)”+“平行线性质 1”+“等腰对等底”+“三角形中位线定理”A BDCMABDEC21 3第 2 页 共 10 页654321MGFED CBA例 4 如图，在ABC 中，B=2C，ADBC 与 D,M 为 BC 边的中点，AB=10cm,则 MD 长为多少？解：取 AB 中点 N,连结 DN,NM,则 DN= 12AB, NDB= B, 且NMD= CNDB= NMD+ DNMB= C+ DNM=2CDNM=C=NDM 则 DM=DN= AB“Rt斜边上的中线等于斜边的一半”+“三角形中位线定理”
4、+“外角性质”+“等底对等腰”例 5 如图 ，RtABC 中，C= ，CD 平分C，E 为 AB 中点，PEAB,交 CD 延长线于 P,09那么PAC+PBC 的大小是多少？解：连结 CE ,则EAC=ECADCE=ECA-DCA=DAC-045又 DAC=180 -ADC- = -PDE013DCE=( -PDE)- =DPE 则 PE =EC=AE1350则可证PAC+PBC=PAB+BAC+PBA+ABC=180 0“斜边中线性质”+“对顶角相等”+“等量代换”+“三角形内角和定理”“三线合一”模型“角平分线”+垂线 等腰三角形”构成：OC 为A0B 的角平分线，BCOC 于 C 点目
5、的：构造等腰三角形结果： 边：BC=AC,OA=OB OC 为OAB 的中线角：3=4，ACO= OC 为ABO 的高线09全等：ACOBCO例 1 已知：AD 是ABC 的A 的平分线，CDAD 于 D,BEAD 于 AD 的延长线于 E,M 是 BC边上的中点。求证：ME=MD证明：延长 CD 交 AB 于 F 点，BE 与延长线交于点为 FC 中点，为中点。，3 ， 0909则3则“三线合一定理的逆定理”“平行线的性质”“等底对等腰”NCDBAMPDCEBA4321 CBAO第 3 页 共 10 页54321FEDCBA例已知：ABC 为等腰直角三角形，A= ,2,CEBE09求证：BD
6、=2CE证明：延长 CE、BA 交于 F 点先证 CF=2CE再证 RTABDRTCAF “3=F”+”AB=AC”+”BAD=CAF”则有 BD=CF=2CE“三线合一定理的逆定理”+“ASA 全等”例 3 已知：ABC 中，CE 平分ACB，且 AECE,AED+CAE=180 (3+4=180 )00求证：DEBC证明：延长 AE 交 BC 边于 F 点，则有3且353+4=180 4+5=1800056 则 DEBC“三线合一定理的逆定理”“平行线的判定”例 4 已知：在ABC 中，ACAB,AM 为A 的平分线，ADBC 于 D求证 ：MAD= 12(B-C)证明：作 BEAM,交
7、AC 于 E 点，交 AM 于 K 点先证3=4 25AEB AM 为角平分线 BEAM后证：B-C=4+5-C=4+AEB -C=24则3=4= 12（B-C）即MAD= 12(B-C)“三线合一逆定理”+“平行四边形的判定”例 5 已知：在ABC 的两边 AB 、AC 上分别取 BD=CE，F、G 分别为 DE、BC 的中点，A的平分线 AT 交 BC 于 T求证：FGAT证明：作 ENAT 于 N 点，交 AB 于 L 点，作 CKAT 于 K 点，连结 FN、GK先证：NF且= 12LD,KG且= MB再证：LD=MB LM=DB=EC最后证明四边形 FNKG 为平行四边形。“三线合一
8、定理的逆定理”“平行四边形判定”4321FEDCBA5432 1 K EMDCBALTMNKGF EDCBA第 4 页 共 10 页三角形中位线模型构成：ABC 中，D 为 AB 边中点目的：找中位线，构造：2 倍关系相似三角形结果：DEBC,DE= 12BC ADEABC例 1 已知：在ABC 中，AB=AC,ADBC 于 D,DEAC 于 E,F 为 DE 中点求证：AFBE证明：取 BE 中点 H，连 DH先证：RtEDHRtAED 则 2DECHAFRtEDHRtAEF 则 BED= 1EAF+AEG= 则 AFBE09“AAA ”+“中位线定理”+“（两直线）定义”例 2 已知 BD
9、、CE 为ABC 的角平分线，AFCE 于 F,AGCE 于 F,AGBD 于 G求证：FGBC FG= 12(AB+AC-BC)证明：延长 AF、AG 分别交 BC 于 M、N 两点证 G 为 AN 中点 BDAN 1=2F 为 AM 中点 3=4 CEAM 则 GF 为ANM 中位线 GFBC, GF= 12MN MN=BN+CM-BC=AB+AC-BC“等腰三线合一”+“中位线定理”+“等量代换”思考：BD、CE 为外角平分线时或一内一外角平分线时，又该如何证明？例 3 已知 ，如图在 ABCD 中，P 为 CD 中点，AP 延长线交 BC 延长线于 E,PQCEA交 DE 于 Q求证：
10、PQ= 12BC证明：先证ADPPCE 可得 CE=AD=BC 再证 PQ 为中位线 ，PQ= 12CE“AAS ”+“平行四边形性质”+“中位线定理”例 4 已知：梯形 ABCD 中，AB=DC,ACBD,E、F 为腰上中点，DLBC,M 为 DL 与 EF 的交点求证：EF=DL证明：取 AD、EF 的中点 H、K,连结 EH、FH、HK易证 EHHF 则 HK= 12EFRTDLC 中可得 M 为 DL 中点，则 DM= 12DLAB CD EGFEDHCBA4321GFNMECDBALMKHFEDCBAQPEDCBA第 5 页 共 10 页76 54321MGF EDCBA4321EB
11、DCA108054321E CBAD由题意得 HK=DM 则 EF=DL“三角形中位线定理（3 次） ”+“平行线性质”+“斜边上中线为斜边一半”例 5 已知：锐角ABC 中，以 AB、AC 为斜边向外作等腰直角ADB，AEC,M 为BC 中点，连结 DM、ME求证：DM=EM ,DMEM证明：取 AB、AC 的中点 F、G,连结 DF 、FM、 ME先证DFMMGE DF=GM DFM=MGE 1=2=3 FM=GE则 DM=ME , 4=5再证DME=7+1+5= ，则 DMEM09思考：BAC 为钝角时，又该如何证明？“补长截短”模型（1） 截长法： 构成：线段 a,b,c目的：确定一线
12、段，找令一线段的等量关系结果： a- =c a=b+c， b=bb（2）补短法： 构成：线段 a,b,c目的：构造一等长线段，再找等量关系结果：c= ， b+ =a a=b+cc例 1 已知：ABC 中，AD 平分BAC求：（1）若B=2C,则 AB+BD=AC(2) 若 AB+BD=AC,则B=2C解：（1）在 AC 上取 AE=AB,连结 DE,则AEDABDBD=ED3=B,AB=AE 且3=2C=4+C 则 EC=ED AC=AE+EC=AB+BD(2) (1)的反推过程“SAS 全等”+“的一外角等于与它不相邻的两内角和”+“等底 等腰”例 2 已知：等腰ABC 中，AB=AC, A
13、= ,BD 平分ABC018求证：BC=AB+DC证明： 在 BC 边上取 BE=BA,连结 DE,则ABDEBD AB=BE再证：3=4 4= ，3=5-C=07207cb cbaabcc第 6 页 共 10 页3 21GHDFE CBA54321 GMFEDCBADC=EC 则 BC=BE+EC=AB+DC“SAS 全等”+“两外角等于不相邻两内角和”+“等底对等腰”例 3 已知：在ABC 的边 BC 上取 BE=CF，过 E 作 EHAB 交 AC 于 H,过 F 作 FGAB 交AC 于 G求证：EH+FG=AB证明：在 AB 上取 BD=FG,连结 DE先证DBEGFC 再推3=C再证四边形 ADEH 为平行四边形则 FG+EH=AD+DB=AB“SAS 全等”+“平行线的判定”+“平行四边形的判定”思考： 若在 AC 上截取 AD=EH，连 DF，如何证明？ 若用以下方法添加辅助线，又该如何证明？ a. 在 CA 上截取 CD=GF,连 DFb. 延长 HE 至 D,使 ED=GF,连 ADc. 延长 EH 至 D,使 ED=AC
