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1、第十三讲 三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底高2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化比如当高变为原来角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系为便于实
2、际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：等底等高的两个三角形面积相等底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍，它们所对的顶点同为 A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等同时也可以知道ABC 的面积是ABD 或AEC 面积的 3倍例如在右图中，ABC 与DBC 的底相同（它们的底都是 BC），它所对的两个顶点 A、D 在与底 BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等例如右图中
3、，ABC 与DBC 的底相同（它们的底都是 BC），ABC的高是DBC 高的 2倍（D 是 AB中点，AB=2BD，有 AH=2DE），则ABC的面积是DBC 面积的 2倍上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据例 1 用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形方法 2：如右图，先将 BC二等分，分点 D、连结 AD，得到两个等积三角形，即ABD 与ADC 等积然后取 AC、AB 中点 E、F，并连结DE、DF以而得到四个等积三角形，即ADF、BDF、DCE、ADE 等积例 2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及 134方法 1：如下左图，
4、将 BC边八等分，取 134 的分点 D、E，连结 AD、AE，从而得到ABD、ADE、AEC 的面积比为 134DE，从而得到三个三角形：ADE、BDE、ACD其面积比为134当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决例 3 如右图，在梯形 ABCD中，AC 与 BD是对角线，其交点 O，求证：AOB与COD 面积相等证明：ABC 与DBC 等底等高，SABC=SDBC又 SAOB=SABCSBOC SDOC=SDBCSBOCSAOB=SCOD例 4 如右图，把四边形 ABCD改成一个等积的三角形分析 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等我们
5、可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点 A移到 CB的延长线上的 A处，ABD 与ABD 面积相等，从而ADC 面积与原四边形 ABCD面积也相等这样就把四边形 ABCD等积地改成了三角形ADC问题是 A位置的选择是依据三角形等积变形原则过 A作一条和 DB平行的直线与 CB的延长线交于 A点解：连结 BD；过 A作 BD的平行线，与 CB的延长线交于 A连结 AD，则ACD 与四边形 ABCD等积例 5 如右图，已知在ABC 中，BE=3AE，CD=2AD若ADE 的面积为 1平方厘米求三角形 ABC的面积解法 1：连结 BD，在ABD 中 BE=3AE， SABD=4SADE=4（平
6、方厘米）在ABC 中，CD=2AD， SABC=3SABD=34=12（平方厘米）解法 2：连结 CE，如右图所示，在ACE 中， CD=2AD， SACE=3SADE=3（平方厘米）在ABC 中，BE=3AE SABC=4SACE=43=12（平方厘米）例 6 如下页图，在ABC 中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=解：连结 BG，在ABG 中， SADG+SBDE+SCFG例 7 如右图，ABCD 为平行四边形，EF 平行 AC，如果ADE 的面积为 4平方厘米求三角形 CDF的面积解：连结 AF、CE，SADE=SACE；SCDF=SACF；又AC 与EF平行，SACE=S
7、ACF； SADE=SCDF=4（平方厘米）例 8 如右图，四边形 ABCD面积为 1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH求四边形 EFGH的面积解：连结 BD，将四边形 ABCD分成两个部分 S1与 S2连结 FD，有SFBD=SDBC=S1 所以 SCGF=SDFC=2S1同理 SAEH=2S2，因此 SAEH+SCGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=21=2同理，连结 AC之后，可求出 SHGD+SEBF=2 所以四边形 EFGH的面积为 2+2+1=5（平方单位）例 9 如右图，在平行四边形 ABCD中，直线 CF交 AB于 E，交 DA延长线于 F，若 SADE=1，求BEF 的面积解：连结 AC，AB/CD，SADE=SACE又AD/BC，SACF=SABF而 SACF=SACE+SAEFSABF=SBEF+SAEF SACE=SBEF SBEF=SADE=1
