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1、第五章 假设检验Hypothesis Testing,数理统计课题组,本章大纲,假设检验的基本概念 Neyman-Pearson范式 和假设检验有关的两个问题 广义似然比检验 单样本检验的几个实例 两个样本的比较 实验设计,学习目标,理解假设检验的直观概念和Neyman-Pearson范式 了解假设检验方法的可能缺陷 掌握广义似然比检验 掌握正态、多项、泊松总体的假设检验 掌握Hanging Rootogram和概率图 掌握两个独立样本的比较 理解实验设计,本章详细大纲,假设检验的基本概念 Neyman-Pearson范式 Neyman-Pearson引理 显著性水平的确定和p-值 一致最优检
2、验 和假设检验有关的两个问题 置信区间和假设检验的对偶关系 如何选择原假设 广义似然比检验 广义似然比方法 多项分布的广义似然比检验 泊松分布的广义似然比检验 单样本检验的几个实例 两个样本的比较,猜硬币中的似然比,如果你在10次抛掷中看到2次正面朝上。则P0(2)/P1(2)=30。这就是似然比。 硬币0出现这个结果的机会是硬币1的30倍,猜硬币中的似然比,根据抛掷结果计算出的后验概率成为评判标准,C是临界值critical value,猜硬币中的错判概率,假定c=1。则判别规则如下： 因为结果有随机性，这个规则导致错判 错误分成两类：H0为真的时候拒绝H0， H0为假的时候接受H0,临界值
3、c对错判概率的影响,假定c=0.1，即先验概率有差异,2.Neyman-Pearson范式,不用贝叶斯方法 规避了先验概率的决定 对两个假设区别对待，一个成为原假设H0(null hypotheses)，另一个成为备择假设H1(alternative hypotheses) 由此导致在有些场合下选择原假设的困难,Neyman-Pearson范式中的术语,第I类错误(Type I Error)，H0为真的时候拒绝H0 检验的显著性水平(significance level)，第I类错误的概率，通常记为 第II类错误(Type I Error)，H0为假的时候接受H0，其概率记为 检验的功效(po
4、wer)， H0为假的时候拒绝H0，其概率记为 检验统计量(test statistics) 拒绝域(rejection region)和接受域(acceptance region) 原分布(null distribution)，在原假设为真的条件检验统计量所服从的分布,Neyman-Pearson引理(lemma),方差已知的正态,方差已知的正态,置信区间和假设检验的对偶关系,置信区间和假设检验的对偶关系：引理A,引理A,置信区间和假设检验：引理A证明,引理A证明,则按照C(X)的定义,置信区间和假设检验的对偶关系：引理B,引理B,证明,广义似然比检验（Generalized Likelih
5、ood Ratio Test）,似然比检验在对两个简单假设进行检验的时候是最优的。本节介绍的广义似然比检验将能够处理比较复杂的假设形式。其原理和似然比有相似之处。,一个比较自然的度量两个假设可信程度的指标是两个假设的似然比。,广义似然比检验,因为在两个假设中，参数都有多个可能取值，所以 在可能的参数集合上取最大值是一个可以考虑的,出于数学处理上的考虑，把分母改成在 整个参数集合上取最大值,广义似然比检验：方差未知正态总体的均值检验,广义似然比检验：方差未知正态总体的均值检验,广义似然比检验：方差未知正态总体的均值检验,多项分布的广义似然比检验,考虑多项分布的似然比检验。,多项分布的广义似然比检
6、验,Pearson卡方统计量和似然比,可以证明在H0成立的条件下， Pearson统计量和似然比渐近等价， 这里用Taylor展开做一直观解释。,Pearson卡方统计量和似然比,Handy-Weinberg均衡,在参数估计的例子中引入了Handy-Weinberg均衡,Bacterial Clump,用显微镜检查0.01毫升牛奶中的细菌群的数量.计量方法是每个方格子里的数量 看起来用泊松分布是不错的 以下数据来自Bliss and Fisher (1953),Bacterial Clump,Fisher重新检验孟德尔(Mendel)的数据,现代基因理论的结果,孟德尔的观测结果,Pearson
7、卡方统计量0.604,泊松散布度检验(dispersion test),泊松分布的特点是均值和方差相等,泊松散布度检验(dispersion test),泊松散布度检验(dispersion test),近似公式可以有如下解释：等于方差估计值除以 均值估计值的比率的n倍,泊松分布的方差和均值相等，但一般情况下的数据 的方差大于均值。因此这个检验称为散布度检验,比如负二项分布和泊松分布相比就具有 更大的散布程度,泊松散布度检验：石棉纤维,泊松散布度检验：细菌菌落,更多的评估拟合优度的方法 Hanging rootograms Probability plots 正态性检验,Hanging roo
8、tograms,原理：用图象展示观测值和拟合值的直方图之间的差异 演示数据：来自Martin, Gudzinowicz and Fanger 1975，共152 通常会用正态分布来拟合所得到的数据,Hanging rootograms,Hanging rootograms,Probability plots,要对一组数据对某个理论分布的拟合程度进行定性判断， 概率图是极为有用的一种图形工具,Probability plots,均匀均匀概率图,Probability plots,概率图,显然这条曲线 不是线性的,均匀-三角概率图,概率图：概率积分变换probability integral tr
9、ansformation,概率图：特定的F(x),概率图：Michelson光速测定实验结果,正态性检验,正态性检验,正态性检验,比较两个独立样本(Independent Samples),比较两个独立样本：基于正态分布,比较两个独立样本：基于正态分布方差已知,比较两个独立样本：基于正态分布方差未知,比较两个独立样本：基于正态分布方差未知,定理A的证明,统计量可以表示为U/V.,U服从标准正态分布.,V等于卡方随机变量除以其分布自由度.,U/V服从t分布,比较两个独立样本：基于正态分布方差未知,比较两个独立样本：基于正态分布方差未知，例A,问题： 今有A和B两种决定冰的热功当量的方法,此处放箱
10、线图,比较两个独立样本：基于正态分布方差未知，例A,自由度为19的t分布的.975分位点等于,2.093,即(.015,.065),两样本假设检验,双侧备择假设 two-sided alternative,单侧备择假设 one-sided alternative,两样本假设检验，续例A,检验H0对H1等价于似然比检验,求最大值：似然比的分子部分,求最大值：似然比的分母部分,似然比的计算结果,分子部分的变换,如果方差不相等,以它为t统计量的分母，所得到的统计量不再服从t分布， 但近似服从自由度为下述结果取整之后的结果的t分布,教材例11.2.1.1待处理,教材例11.2.1.1,下面是对数变换的
11、模型,变异系数(coefficient of variation),一个分布的标准差和均值的比率称为变异系数 (coefficient of variation),对于变换后的数据，t统计量为.917，p-值为.37。,没有理由拒绝原假设。95%置信区间是(-.61,.23),功效(power),计算功效对于在规划实验时确定样本量的大小具有重要意义。 检验的功效是在原假设为假的时候拒绝原假设的概率。,影响两样本t检验的四个要素包括：,功效的计算,例A。两样本比较。样本量均为18，来自正态总体， 标准差都是5，显著性水平.05。,非参数方法：Mann-Whitney检验,这个检验也叫Wilcox
12、on秩和检验(Wilcoxon Rank Sum Test),将m+n次实验分配给处理组和对照组， 随机抽取n个分配给对照组，剩下的m个给处理组,要检验的原假设是处理没有效应。 如果原假设通过检验，就说明结果中的差异是由随机化造成的,统计量的计算方法如下,1、将m+n个观测值放在一起，按照升序排列。 （为简化问题，假定没有并列名次。实际上，出现并列 名次并不影响我们的计算）。 2、计算来自对照组的观测值的秩的和 3、如果秩和太大或者太小就可以拒绝原假设,Mann-Whitney检验的简单例子,4位受试，随机抽取其中两名进入处理组，剩下两名在对照组,表中的数据是实验结果（响应值），括号中出现的是
13、这个值的秩,对照组的秩和等于7，处理组的秩和等于3,这个差异足以让我们相信在处理组和对照组的结果之间 存在系统的差别吗？让我们来做一个概率计算。,Mann-Whitney检验的简单例子,Mann-Whitney检验的关键思想是： 我们可以用显式公式计算原假设下的秩和分布。,在原假设下，所有观测值的秩的组合 都是等概率的。这样一共有4!=24种结果。 特别地，处理组的结果的秩 有6种，也应该是等概率出现的。,Mann-Whitney检验,实际中的检验问题不可能有这么小的m和n,Mann-Whitney检验：例A,数据来自教材423页，例A,排序结果，有并列排名,并列排名的处理方式： 比如有4个值
14、都等于79.97。它们 占据的名次为3,4,5和6，则每个 数的秩都等于,(3+4+5+6)/4=4.5,Mann-Whitney检验：例A,Mann-Whitney检验：定理A,证明提示： 利用教材7.3.1的定理A和B,Mann-Whitney检验：定理A的证明,Mann-Whitney检验,Mann-Whitney检验不依赖正态假设 用排序名次取代实际数字，对离群值不敏感 可以证明，如果正态假设成立，则Mann-Whitney检验和t分布的功效几乎相等 下面我们用另一种观点看待Mann-Whitney检验,Mann-Whitney检验,Mann-Whitney检验,Mann-Whitne
15、y检验,Mann-Whitney检验,贝叶斯方法,贝叶斯方法,贝叶斯方法,解释是完全不一样的,贝叶斯方法,补充例题,比较配对样本comparing paired samples,许多实验中使用的不是独立样本，而是配对样本。,医学实验。受试可能按照年龄、体重或者患病程度 配对，然后每个对中的一个成员会被随机分到处理组 ，另一个进入对照组。,或者，对是由同一位受试在计量“之前”和“之后”构成,关键问题是如何处理“不独立”样本的相关性,比较配对样本,比较配对样本,配对实验的优势在于，如果X和Y的相关系数大于0， 则估计值的方差更小,比较配对样本：正态分布,比较配对样本：正态分布，例A,数据： Levine(1973)研究,比较配对样本：正态分布,比较配对样本非参数方法，符号秩检验signed rank text,
