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1、第 1 页三角函数的图象与性质（1）【考纲透析】1理解正弦函数、余弦函数在区间0 ， 的性质（如单调性、最大值和最小值以及图2象与 x 轴的交点等） ，理解正切函数在区间 的单调性。(,)2理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x+cos2x=1,sinx/cosx=tanx.3、能运用和与差、二倍角的三角函数公式进行简单的恒等变换4、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决 一些简单的三角形度量问题。5、三角函数 y=Asin(x+)的图象与解析式的问题，求解析式或考查周期、频率、振幅、最值、对称中心、对称轴等概念以及图象的变换。【要点突破 1】同角三角函数的基本关系在三角函数式的化简中起着举足轻
2、重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条件。例 1、若 ,则=2sincos=_ _,tan+ =_-2_,11tansin3-cos3=_ _,sin4+cos4=_ _.22例 2、已知 tan= ,求下列各式的值:1(1) cosin;ia(2) .22+32解:(1)原式= =tan1()52(2)原式= .222siicos3na21()35第 2 页【要点突破 2】三角函数 的图象与解析式的问题。试题背景大多是给出图象或解析式中y=Asin(x+)某些量满足的一些条件下，求解析式或另处一些量。多数考查周期、频率、振幅、最值、对称中心、对称轴等概念以及图象的变换。1已知图象求函
3、数 y=Asin(x+)（A 0 ，0）的解析式时，常用的方法是待定系数法。由图中的最大、最小值求出 A，由周期确定 ，由适合解析式的点的坐标来确定 的值。2将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点。 “第一点”（即图象上升时与 x 轴的交点）为 ，其他依次类推即可。02xk例 3：若函数 f（x）的部分图像如图所示，则该函数可能是（ ）A、 B、y=sin(x+3) y=sin(x-3)C、 D、y=sin(2+6) y=sin(26)解：选 C依题意得4=23-(3)=，=4,=2=24=12 1223+=2+2,故函数可为=6+2, y=(2+6)练习：（2010
4、 年湖南省水平测试第 16 题（6 分） ）已知函数 的部分图f(x)=Asin2x(A0)象，如图所示。（1）判断函数 在区间 上是增函数还是减函数，并指出函数 的最大值。y=f(x) 4,34 y=f(x)（2）求函数 的周期 T。y=f(x)第 3 页【要点突破 3】与三角函数的性质有关的问题。有关三角函数的单调性、奇偶性、周期性及最值问题在历年都会考查，是考查的重点内容。试题背景呈现多样性、选择面广，往往与三角恒等变换、图象性质、平面向量等交汇命题。例：已知函数 2()sin3sico1fxxx求 ()f的最小正周期及对称中心；若 ,63x，求 ()fx的最大值和最小值.【解析】 ()
5、sin2cos2in()6f x ()fx的最小正周期为 T，令 sin206，则 ()21kxZ， ()fx的对称中心为 (,0； ,3 56x sin(2)16x ()2fx当 6x时， ()f的最小值为 1；当 时， (f的最大值为练习 1、 （2010 年湖南文科第 16 题，本小题满分 12 分）已知函数 2()sinifxx(I)求函数 的最小正周期。(II)求函数 的最大值及 取最大值时 x 的集合。()fx()fx【思路点拨】() 先将函数解析式等价变形为 sin()yAb的形式，再写出周期。（）将函数 f(x)变形为 sin()yAxb或 cox的形式再利用正、余弦函数的图象
6、和性质求出最值。练习 2、(2009 年湖南省水平测试第 16 题，本小题满分 6 分)第 4 页已知函数 ， .()2sin()3fxxR（1）写出函数 的周期；（2）将函数 图象上的所有的点向左平行移动 个单位, 得到函数 的图象,写出函()fx 3()gx数 的表达式,并判断函数 的奇偶性.()gx()gx【方法技巧】1、三角函数中的周期问题一般要先借用同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角公式等化到 sin()yAxb或cos()yAxb的形式，然后结合三角函数的图像和性质求解。2、三角函数中的图象变换问题一般要先将表达式化简到 sin()yxb或cs()yx
7、的形式（两函数所用三角函数要同名） ，然后再通过比较两函数的振幅、周期、相位等写出变化过程。练习 3、 （2010 年北京文科第 15 题，本小题共 13 分）已知函数 2()cosinfxx（）求 的值；3（）求 的最大值和最小值()fx解：（） =22cosin3314（） 2()1)(cos)fxxx2s,xR因为 ,所以，当 时 取最大值 2；cs(f当 时， 去最小值-1。o0x()fx练习 4、 （2010 年广东高考文科第 16 题）设函数 3sin6fxx，0， ,x，且以 2为最小正周期（1）求 f；（2）求 x的解析式；第 5 页（3）已知 94125f，求 sin的值【命
8、题立意】本题考察三角函数的性质以及三角变换.【思路点拨】 （2）由已知条件求出 ，从而求出 ()fx的解析式；（3）由 9()415f34cossin.5解：（1） 03in(0)62（2） 2T， 4，所以 ()fx的解析式为： ()3sin(4).6fx（3）由 9()415f得， 93sin165，即 si25 cos， 2234sico().【方法技巧】三角函数的性质问题，先化成 sin)fxAx的形式再求解.【命题立意】本题主要考查三角函数式的恒等变换、图象变换以及求三角函数的最值，同时考查考生的运算求解能力第 6 页跟踪练习一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题 6 分，总分 3
9、6 分）1.已知ABC 中， 5tan12A，则 cosA（ ）(A)123 (B) 3 (C) 513 (D) 1232.下列关系式中正确的是（ ）A 000sin1cosin168 B 000sin68i1cosC i D in3.已知 0tacs，那么角 是（ ）第一或第二象限角 第二或第三象限角第三或第四象限角 第一或第四象限角4已知函数 ()sin)3fxx，则要得到其导函数 的图象，只需将函数 ()yfx的=()图象（ ）（A）向左平移 2个单位 （B）向右平移 23个单位（C ）向左平移 个单位 （D）向右平移 个单位5若将函数 )3sin(2xy的图象向右平移 4个单位后得到的
10、图象关于点（ 3，0 ）对称，则 |的最小值是 （ ）A 4 B 3 C 2 D 436已知函数 ()sinco(0)fxx， ()yfx的图像与直线 2y的两个相邻交点的距离等于 ，则 的单调递增区间是( )（A） 5,12kkZ （B） 51,2kkZ第 7 页（C ） ,36kkZ （D） 2,63kkZ二、填空题（本大题共 3 个小题，每小题 6 分，总分 18 分）7若 4sin,ta05，则 cos .8函数 ()2si(31)fxx(R的最小正周期为 9函数 yA（ ,A为常数， 0,A）在闭区间 ,0上的图象如图所示，则 = .三、解答题（10、11 题每小题 15 分，12
11、题 16 分，总分 46 分）10(本小题满分12分）已知向量 )2,(sina与 )cos,1(b互相垂直，其中 (0,)2（1）求 si和 co的值；（2）若 10in(),2，求 cos的值.11 （2010广州高三六校联考）已知函数 的部分()=sin(+)(0,0,|()参考答案一、选择题1选 D.由 5tan12A知 A 为钝角，cosA0 排除 A 和 B，再由2si 12t,sicos1cosco 3和 求 得选 D.2选 C.因为 i68(0)in,0(980)sin，由于正弦函数sinyx在区间 ,9上为递增函 数，因此 siin12i，即1cos1.3选 C.4选 C .
12、方法 1： 2()sin)si()sin(),333fxxx方法 2： ()sin)cos()cos(),3236fxxx2()co1()3s.().262f xxfxf故选 C。5选 A.将函数 )3sin(xy的图象向右平移 4个单位后得到的函数为32sin3()2()4yx，5()cosco(n3262 2insin)si()233()fx xxxfxf 第 9 页由 3(),(),.434kxxkZ得令 .4k 的 最 小 值 为6选 C. ()2sin()6fx，由题设 ()fx的周期为 T， 2，由 2kk得， ,36kkz，故选 C二、填空题7由题意可知 在第三象限， 2243c
13、os1sin15，答案： 358答案： 239因为 T， ，所以 3.答案：3三、解答题10 （1） a与 b互相垂直，则 0cos2sinba，即 cos2sin，代入1cossin22得 5c,52sin，又 (,)， 5s,i.（2） 0， ， 2， 103)(sin1)cos(2， 2)sin()cos()( .11 （1）由图象知 2A()fx的最小正周期 54()16T,故 2T将点 ,26代入 ()fx的解析式得 sin(13,又 |, 6故函数 ()f的解析式为 2)fx(2) 775si(si(2)6gx x()2cos， ),gx故 )gx为偶函数.12解析：（1 ）),2cos3sin,23(cosba第 10 页,2sin)2cos3(sin)2i3(cos| xxxba 由.1i,i,| 即得 .2,2xx因此.12,7,6x或即或（2）,sin2co3si
