《三角函数图象和性质》由会员分享,可在线阅读,更多相关《三角函数图象和性质(12页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、 三角函数的基本性质及解题思路1. 掌握常用公式的变换。2. 明确一般三角函数化简求值的思路。第 一 部 分 三 角 函 数 公 式 1、 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 : cos( + )=cos cos -sin sin cos( - )=cos cos +sin sin sin( )=sin cos cos sin tan( + )=(tan +tan )/(1-tan tan ) tan( - )=(tan -tan )/(1+tan tan2、 倍 角 公 式 : sin(2 )=2sin cos =2/(tan +cot ) cos(2 )=(cos )2-(sin )2
2、=2(cos )2-1=1-2(sin )2 tan(2 )=2tan /(1-tan2 ) cot(2 )=(cot2 -1)/(2cot )3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式: sisisisin2sico令 2222coconcon1sitat +stan s1 cointanta1令 4、同角三角函数的基本关系式:(1)平方关系: 222222sicos1,tansec,1otcs(2)倒数关系:sin csc =1,cos sec =1,tan cot =1,(3)商数关系: inota,ti第二部分:三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路:一角二名三结构首先观察
3、角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦” ;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:(1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如 , ,()()2()(), , 等) 。2()()222如:1、已知 , ,那么 的值是_/tan()51tan()4tan()4322、 ,且 , ,求029cos23si/cos()4973、已知 为锐角, , ,则 与 的函数关,sin,csxycos()5yx系为_/ 23431(1)55y(2)三角函数名互化(切割化弦),如1、求
4、值 /1sin0(tan0)2、已知 ,求 的值/co21,(23tan(2)18(3)公式变形使用( 。如tatt1t1、A、B 为锐角,且满足 ,则 _/naABcos()AB22、 , , , _三角形C3tatn34sic/等边(4)三角函数次数的降升(降幂公式: , 与升21oscs21cosin幂公式: , )。如21coss1oin1、若 ,化简 为_/3(,)2ssi22、 递增区间553fx)sincxsx3(R)51k,(kZ)(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如1、 /tancosi)sintacosin2、求证: ;21tansi13、化简: /42c
5、os2tan()i()xx1cos2x(6)常值变换主要指“1”的变换( 22sin22setantcotxx等) 。tansi42如已知 ,求 (答: )t22sinico335(7)正余弦“三兄妹 ”的内存联系“知一求二” 。如i sixx、1、若 ,则 _sincoxt(答: ),特别提醒:这里 ;21t 2,t2、若 ,求 的值。 /1(0,)sictan4733、已知 ,试用 表示 的值/2in1tak()42ksincok(8) 、辅助角公式中辅助角的确定: (其中 角2sincossiaxbabx所在的象限由 a, b 的符号确定, 角的值由 确定 )在求最值、化简时起着重要作t
6、用。如(1)若方程 有实数解,则 的取值范围是_. sin3cosxc/2,2(2)当函数 取得最大值时, 的值是_/2yinxtanx32(3)如果 是奇函数,则 = /2si2cs()fxt专题辅导二三角函数的图像性质及解题思路课时:10 课时学习目标:1 会求三角函数的定义域2 会求三角函数的值域3 会求三角函数的周期 :定义法,公式法,图像法。如 与 的周期是 . xysincos4 会判断三角函数奇偶性5 会求三角函数单调区间6 对 函数的要求sin()0,)yAx(1)五点法作简图(2)会写 变为 的步骤isin()0,)yAx(3)会求 的解析式sn()yx(4)知道 , 的简单
7、性质cota()yx7 知道三角函数图像的对称中心,对称轴8 能解决以三角函数为模型的应用问题(一) 、知识要点梳理1、正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数 和余弦函数 图象的作图方法:sinyxcosyx五点法:先取横坐标分别为 0, 的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,3,2就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4 -3 -2 432- oyx1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4 -3 -2 432- oyx y=tanx322-32 - -2 oyx2、正弦函数 、余弦函数 的性质:sin()yxRcs
8、()yxR(1)定义域:都是 R。(2)值域:都是 ,对 ,当 时, 取最大值 1;1,in2kZy当 时, 取最小值1;对 ,当 时, 取3xkZycosyx2k最大值 1,当 时, 取最小值1。 如k(1)若函数 的最大值为 ,最小值为 ,则 _, sin(3)6abx231ab或 ) ;,21(2)函数 ( )的值域是_/ 1, 2xxfcossi)(,(3)若 ,则 的最大值和最小值分别是6yin_、_/7,5(4)函数 的最小值是_,此时2()2csi()3sifxxxicosx_x(答:2; ) ;()12kZ(5)己知 ,求 的变化范围/21cosincosint 0,(6) ,
9、求 的最值/ ,ss222inymaxy)miny特别提醒:在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗? 3、正弦、余弦、正切函数的图像和性质定义域 R R值域 1,1,R周期性 22奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数Zkx,21|且ytanxycosxysin4、周期性: , 的最小正周期都是 2 ;sinyxcosx 和 的最小正周期都是 。()()fA(cos()fAx2|T如(1)若 ,则 _/1/23sin)(xf(1)2(3)(203)fff(2) 函数 的最小正周期为_/4cosicox4sin(3) 设函数 ,若对任意 都有 成立,)5(2)(f R)()(21x
10、fxf则 的最小值为_/2|21x5、奇偶性与对称性:(1)正弦函数 是奇函数,对称中心是 ,对称轴是直线sin()yxR,0kZ;2xkZ(2)余弦函数 是偶函数,对称中心是 ,对称轴是cos()yx ,2kk直线 ;(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 轴的直xk x线,对称中心为图象与 轴的交点) 。如(1)函数 的奇偶性是_、52ysinx(答:偶函数) ;(2)已知函数 为常数) ,且 ,则31f()absin(a,b57f()_5f()(答:5) ;(3)函数 的图象的对称中心和对称轴分别是)co(ics2xxy_、_(答: 、 ) ;128k(,)(Z28kx(Z
11、)单调性2,k上为增函数; 23,k上为减函数()Zk,1k;上为增函数1,k上为减函数( )Z上为增函数( )k2, Zk(4)已知 为偶函数,求 的值。3f(x)sin()cos(x)(答: )6k(Z)6、单调性:上单调递增,在sin2,2yxkkZ在单调递减;3,在 上单调递减,在 上单调cosyx2,kkZ2,2kkZ递增。特别提醒,别忘了 !7、 三角形中的有关公式: (1)内角和定理:三角形三角和为 ,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不能忘记!任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角
12、 任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理: (R 为三角形外接圆的半径).2sinisinabcABC注意:正弦定理的一些变式: ;isniABC;sin,i,i2R,2sin,siabRBC; 已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解.(3)余弦定理: 等,常选用余弦定理鉴2222cos,caabAb定三角形的形状.(4)面积公式: (其中 为三角形内切圆半径)11in()aShCrr.如 中,若 ,判断 的形状(答:直ABCB222sicssin ABC角三角形) 。特别提醒:(1)求解三角形中的问题时,一定要注意 这个特殊性:;(2)求解三角形中
13、含有边角混合,si()si,nosA关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如(1) 中,A、B 的对边分别是 ,且 ,那么满足条C ab、=60 4,a,b件的 A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定(答:C) ;(2)在 中,AB 是 成立的_条件sini(答:充要) ;(3)在 中, ,则 _12(ta)(t)2logsin(答: ) ;12(4)在 中, 分别是角 A、B、C 所对的边,若ABCa,bc(abc)(sinAB,则 _3sin)si(答: ) ;60(5)在 中,若其面积 ,则 =_2243abcS(答: ) ;3(6)在 中, ,这个三角形的面积为 ,则 外接圆的直ABC60 1, 3ABC径是_(答: ) ;293(7)在ABC 中,a、b、c 是角 A、B、C 的对边,= , 的最大值为213,cos,saA则 2bc(答: ) ;1932;(8)在ABC 中 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范