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1、集 合第1讲 1.1 集合的概念与表示考点1：集合的概念1 集合的含义：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员） 如：现在我们班上的所有同学，构成了一个集合，其中每个同学都是这个集合中的一个元素 一般情况下，集合用英文大写字母表示元素用英文小写字母表示； 不含任何元素的集合叫做空集，记作2元素与集合的关系：如果是集合中的元素，就说属于，记作；如果不是集合中的元素，就说不属于，记作3某些常见的数集（数集即元素是数的集合）的写法：自然数集正整数集整数集有理数集实数集或练习1： 用，填空_；_；_；_；_；_；_R；4元素的性质确定性：集合中的元素是
2、确定的，不能模棱两可互异性：集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个无序性：集合中的元素是无次序关系的【例1】 若是一个集合中的三个元素，实数应满足什么条件？设，将对象，组成集合，则集合中元素最多时有（ ）A个B个C5个D6个下列叙述中正确的个数是（ ）若，则；若，则；，若，则；，若，则A0个B1个C2个D3个考点2：集合的表示法列举法与描述法5集合的表示法 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“ ”内的表示集合的方法 例如：，【注意】列举法既可以表示有限集（集合中元素个数是有限多个的），也可以表示元素呈现一定规律的无限集
3、，如不大于100的自然数，可以表示为，自然数集可以表示成有了列举法，我们就很容易将一些语言翻译成集合语言，如方程的解集可以写成；直线与直线的交点集合可以写成 描述法（又称特征性质描述法）：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如，称为集合的特征性质，称为集合的代表元素为的范围，有时也写为例如：大于的所有整数用描述法表示为方程的实根用描述法表示为【注意】描述法给出了一个客观的标准，用表示，竖线前面表示集合描述的是谁，竖线后面表示集合中描述的元素具有什么特点如：；，老师讲到此处时，可以调节一下课堂气氛，问一下学生：孙悟空在这个集合中吗？不在，他不是人；猪八戒在吗？不在，他也不是人李世
4、民在吗？在；天篷元帅在吗？，说明集合描述的是实数，这个实数具有大于等于的特点若元素范围为，在不致发生误解时，也可以省略，直接写成但对于集合，则一定不能省略除了数集外，还有一类集合是点集，集合中的元素是点，竖线前面的代表元素为如：，说明集合是点集，点满足，故集合中的点在抛物线上，即此集合表示抛物线上所有的点描述法需要注意集合描述与字母选取无关，即与表示的是同一个集合字母只是一个代号，是浮云，后面学到函数我们还会强调这一点就相当于不管你怎么改名字，你还是你练习2：将下列用描述法表示的集合用列举法表示出来：；且练习3：用通俗的语言（即自然语言）描述下面集合表示的含义：； 【例2】 请指出以下几个集合
5、间的区别，有等价集合的写出其等价集合（即给出集合的另一种写法），【例3】 已知集合，集合，用列举法表示集合_已知集合，集合，则用列举法表示集合_，集合_集合，又，则有（ ）A BCD不属于，中任意个【备选】 集合中有（ ）个元素A B C D无数列举法与描述法是我们最常用，也是最普遍的两种集合的表示方法前者简单直观，一个对象是否在其中一目了然，但只能表示一些比较简单的集合后者具有普遍的意义，有时解读起来并不容易，高考压轴题有些具有集合背景，首先就需要对一个由描述法给出的集合进行解读，我们会在秋季时再看除了这两种表示方法之后，还有两种集合的特殊的表示方法，一种是在后面讲的集合的相互关系中常常遇到
6、，称为图示法，也叫维恩图还有一种方法区间表示法可以表示一类特殊的连续数集考点3：集合的表示法图示法与区间表示法 图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩（Venn）图图示法常用在表示集合的相互关系与运算中见板块1.2与板块1.3 区间表示法：设，且，定义名称符号数轴表示闭区间开区间左闭右开区间左开右闭区间一类特殊的区间实数与都叫做相应区间的端点；“”读作“正无穷大”， “”读作“负无穷大”实数集也可以用表示练习4：将下面的集合表示成区间：；【例4】 把下列集合表示成区间；*这里补充一个初高衔接的内容：配方法（学生版不出现，课件出现，以后同）配方法是针对二次函数或者
7、换元后是二次函数的函数求取值范围或最大最小值常用的一种方法，是高中需要熟练掌握的一种方法【例题】求出下列函数的最大值、最小值和对应的值；，；，【练习】求下列函数的最值：，；，*1.2集合的关系考点4：子集、真子集与集合相等1子集：对于两个集合，如果集合中的任意一个元素都是集合的元素，我们就说集合为集合的子集，记作（或），读作 “包含于”（或“包含”）规定：是任意集合的子集如果集合中存在着不是集合中的元素，那么集合不包含于，记作或2真子集：如果集合，且存在元素，但，我们称集合是集合的真子集，记作（或），读作真包含于（真包含）规定：是任意非空集合的真子集练习5：下列四个命题中正确的有_空集没有子集
8、；空集是任何一个集合的真子集；空集的元素个数为零；任何一个集合必有两个或两个以上的子集3集合相等：如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，我们说集合与集合相等，记作=【例5】 下面关系式中，正确的是_； 用填空：_；_；_；_；_；_；_1.3集合的运算考点5：交集、并集与补集交集的引入直观上，现在你有两个集合，这两个集合的公共部分就是一个新的集合，这就是交运算例：我们班所有男生和我们班所有戴眼镜的同学，它们的公共部分就是我们班所有戴眼镜的男生，这是一个新的集合，这个过程就是交的运算过程而我们班所有的男生和我们班所有的女生，它们的公共部分没有任何元素
9、，就是空集与的交集用表示给一些数学上的例子：例：，则；，则；，则；交集的严格数学定义即：我们可以注意到，若，则1交集：对于两个给定的集合、，属于又属于的所有元素构成的集合叫做、的交集，记作“” 集合用符号语言表示为：，用维恩（）图表示为： 为其公共部分并集的引入直观上，现在你有两个集合，你把两个集合中的元素放到一块，就得到一个新的集合例：我们班所有男生和我们班所有女生两个集合放一块，就是我们班所有同学，这个过程就叫做并的运算过程与的并集用表示可以给一些数学上的小例子：例：，则；表示所有偶数，表示所有奇数，则 为所有整数；，则在并的运算过程中，注意元素相同的只需要考虑一个就行，不能重复出现，这是
10、由集合中元素的互异性决定的例时，；，则；我们可以注意到，若，则有了并的运算后，很多写法就非常简单了，如的解集可以写成或，可以用区间与并集符号写成2并集：对于两个给定的集合、，由两个集合所有元素构成的集合叫做与的并集，记作“” 集合用符号语言表示为; 用维恩（）图表示如下： 或 或 补集的引入一般情况下，把我们所描述对象的所有全体当作一个对象，这个对象就是全集把在全集中不属于的那些元素构成的集合，叫到在中的补集，直观上，就是从中把挖掉剩下的部分如：我们班同学，我们班男生，的补集就是我们班女生；我们班人，我们班同学，的补集就是老师在中的补集记为例：，则；就是所有的负整数；就是所有的无理数；，则；，
11、3补集：全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用表示补集：如果给定集合是全集的一个子集，由中不属于的所有元素构成的集合，叫做在中的补集，记作“”读作“在中的补集”在中的补集的数学表达式是用维恩（）图表示：【例题】用集合的运算表示下面阴影部分的集合 【例6】 已知全集，集合，那么集合等于（ ）A BC D设集合，则（ ）A BC D集合，则（ ）ABCD已知集合，若，则的取值范围是（ ）ABCD【例7】 集合，若，求实数的值；集合，且，求实数的值【备选】（复旦大学2006年自主招生考试）若非空集合，则使得成立的所有的集合是（ ）A B C D空集*实战演练 【演练1】用最恰当的符号（）填空； _； _； _； _【演练2】已知集合，用列举法表示下面集合；【演练3】已知，则集合与的关系是（ ）ABC
