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1、非线性规划,基础知识 直线搜索问题 无约束问题 不等式约束问题 等式和不等式约束问题 拉格朗日对偶问题,主要内容,基础知识,非线性规划的一般形式,其中,定义可行集,上述一般形式可简写成,局部最优解,全局最优解,邻域,标量函数求偏导数(梯度),向量函数求偏导数,海赛(Hesse)矩阵,对向量函数的点积求偏导数,对常数矩阵和向量函数的乘积求偏导数,对二次函数求偏导数( ),一元函数在原点的二阶泰勒(Taylor)展开,其中,多元函数在给定点沿给定方向的二阶泰勒展开,其中,无约束优化问题最优性条件,1) 是局部最优解的必要条件:,理由:,不是局部最优解,2) 是严格局部最优解的充分条件:,理由:,(
2、凸集上的)凸函数和凹函数,设 是定义在集合 上的函数,如果 是凸集,并且对 中任意两点 以及闭区间 中任意一点 都满足,则称 是(凸集 上的)凸函数,如果 是(凸集 上的)凸函数,则称 是(凸集 上的)凹函数,此时在上面的条件下应满足,一元凸(凹)函数的图象,凸函数,凹函数,一元可导凸(凹)函数的充要条件,凸函数,凸函数,凹函数,多元可导凸(凹)函数的一阶充要条件,必要性:,利用二阶泰勒展开可得,记,令 充分小,由凸(凹)性可得上面的不等式,充分性:,用 和 分别乘以上两式再相加,再利用,可得,记 ,则 ,利用给定条件,可得,凸(凹)函数的二阶充分条件,记,因为,若 是开集,前面的充分条件也是
3、必要条件,若存在 和 使得 , 必存在充分小的 满足,取 满足 ,利用,记 ,由以上条件可得,和前面证明的凸(凹)函数的充要条件矛盾,凸性对优化问题的基本作用,如果 是凸集, 是其上的连续凸函数,称,解,那么它也是该问题的全局最优解,是凸规划问题,如果 是凸规划问题的任意一个局部最优,证明:如果存在 满足,接近 ,说明 不是局部最优解,矛盾,又因为,因为对充分小的 , 能够充分,可行下降方向,对于优化问题 ,给定可行解 以,称为可行下降方向,称 是 处的可行方向,如果存在 满足,及向量 ,如果存在 满足,称 是 处的下降方向,既可行又下降的方向,的等值线,可行(不下降)方向,可行下降方向,(不可行)下降方向,可行下降迭代算法,确定可行下降方向,确定初始可行解,确定 处的可行下降方向,直线搜索确定 满足 以及,在 处沿 进行一维,搜索确定,如此继续,