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1、第3讲,数学归纳法,1运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是_ _，第二步是_，两步缺一不可 2用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其 中包括_,归纳递推(或归纳假设),恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等,1在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证,(,),C,An1 时成立 Bn2 时成立 Cn3 时成立 Dn4 时成立 解析：多边形至少有三边,时，在第二步证明从 nk 到 nk1 成立时，左边增加的项数是,(,),A2k B2k1 C2k1 D2k1,A,4设平面内有 n(n2)条直线，其中任意两条不平行，任意,),三条不过同一点，则它们的交点的个
2、数 f(n)为( An(n1)Bn(n1),D,猜想 an 的表达式，其结果是_.,考点1,对数学归纳法的两个步骤的认识,例1：已知 n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设 n,),k(k2 且为偶数)时命题为真，则还需证明( Ank1 时命题成立 Bnk2 时命题成立 Cn2k2 时命题成立 Dn2(k2)时命题成立,答案：B,用数学归纳法证明时，要注意观察下列几个方面： (1)n 的范围以及递推的起点；(2)观察首末两项的次数(或其他)，确 定nk 时命题的形式f(k)；(3)从 f(k1)和f(k)的差异，寻找由k 到k1 递推中，左边要加(乘)上的式子,【互动探究】,1用数学归纳法
3、证明 1aa2an,1an1 1a,(a1，n,),B,N*)时，在验证 n1 时，左边计算所得的式子是( A1B1a C1aa2D1aa2a4,解析：n1 时，左边的最高次数为1，即最后一项为a，左边 是1a.,nn 24,2用数学归纳法证明不等式,1 1 n1 n2,1 13,的过,程中，由k推导到k1 时，不等式左边增加的式子是_.,考点2,用数学归纳法证明恒等式命题,解题思路：从特殊入手，探求a，b，c 的值，考虑到有3 个 未知数，先取n1,2,3，列方程组求得，然后用数学归纳法对一切 nN*，等式都成立,这是一个探索性命题，“归纳 猜想 证 明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维
4、模式. 对于探索命 题特别有效，要求善于发现规律，敢于提出更一般的结论，最后 进行严密的论证从特殊入手，探求a，b，c 的值，考虑到有3 个未知数，先取n1,2,3，列方程组求得，然后用数学归纳法对一 切nN*，等式都成立,【互动探究】,考点3,用数学归纳法证明整除性命题,例3：试证：当n为正整数时，f(n)32n28n9能被64整除,【互动探究】,4求证：二项式x2ny2n(nN*)能被xy整除,证明：(1)当n1时， x2y2(xy)(xy)，能被xy整除，命题成立 (2)假设当nk(k1，kN*)时，x2ky2k能被xy整除， 那么当nk1时， x2k2y2k2x2x2ky2y2kx2x
5、2kx2y2kx2y2ky2y2k x2(x2ky2k)y2k(x2y2)， 显然x2k2y2k2能被xy整除， 即当nk1时命题成立 由(1)(2)知，对任意的正整数n命题均成立,考点4,用数学归纳法证明不等式命题,1用数学归纳法证明问题时应注意,(1)第一步验证 nn0 时，n0 并不一定是 1.,(2)第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清由 k 到,k1 时命题的变化,(3)由假设 nk 时命题成立，证明 nk1 时命题也成立，要,充分利用归纳假设，要恰当地“凑”出目标,2用数学归纳法证明时，从 nk 到 nk1 的关键是，要 注意初始值，要弄清 nk 和 nk1 时的结论是什么，要有目标 意识，紧盯 nk1 时的结论，对 nk 时的结论进行一系列的变 形，变形的目标就是 nk1 时的结论，这就是所谓的“凑假设， 凑结论”,
