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1、算 法 案 例,案例1 辗转相除法与更相减损术,1. 回顾算法的三种表述：,自然语言,程序框图,程序语言,（三种逻辑结构）,（五种基本语句）,2. 思考：,小学学过的求两个数最大公约数的方法？,先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.,辗转相除法（欧几里得算法）,观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程,第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=61051+2146,结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。,第二步
2、 对6105和2146重复第一步的做法6105=21462+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。,为什么呢？,思考：从上述的过程你体会到了什么？,完整的过程,8251=61051+2146,6105=21462+1813,2146=18131+333,1813=3335+148,333=1482+37,148=374+0,例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数,225=1351+90,135=901+45,90=452,显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数,显然45是90和45的最大公约数，也就是225和13
3、5的最大公约数,思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？,S1：用大数除以小数,S2：除数变成被除数，余数变成除数,S3：重复S1，直到余数为0,辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。,m = n q r,用程序框图表示出右边的过程,r=m MOD n,m = n,n = r,r=0?,是,否,思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？,1、辗转相除法（欧几里得算法）,（1）算理：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原
4、来两个数的最大公约数。,（2）算法步骤,第一步：输入两个正整数m,n(mn). 第二步：计算m除以n所得的余数r. 第三步：m=n,n=r. 第四步：若r0,则m,n的最大公约数等于m； 否则转到第二步. 第五步：输出最大公约数m.,（3）程序框图,（4）程序,INPUT “m,n=“;m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END,九章算术更相减损术,算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。,第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。,第二步：
5、以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。,2、更相减损术,（1）算理：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。,（2）算法步骤,第一步：输入两个正整数a,b(ab); 第二步：若a不等于b ,则执行第三步；否则转到第五步； 第三步：把a-b的差赋予r; 第四步：如果br, 那么把b赋给a,把r赋给b;否则把r赋给a，执行第二步； 第五
6、步：输出最大公约数b.,（3）程序框图,（4）程序,INPUT “a,b=“;a,b WHILE ab r=a-b IF br THEN a=b b=r ELSE a=r END IF WEND PRINT b END,输入a,b,是,否,b=r,a=b,r=a-b,a=r,否,是,例3 用更相减损术求98与63的最大公约数,解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减,9863356335283528728721 21721 1477,所以，98和63的最大公约数等于7,先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4,例3、求324、243、135这三个数的最大
7、公约数。,思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。,比较辗转相除法与更相减损术的区别 （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到,小结,案例2 秦九韶算法,1. 回顾算法的三种表述：,自然语言,程序框图,程序语言,（三种逻辑结构）,（五种基本语句）,案例2、秦九韶算法,问题,怎样求多项式f(x)=
8、x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？,计算多项式() =当x = 5的值,算法1：,因为() =,所以(5)=55555,=3125625125255,= 3906,算法2：,(5)=55555,=5(5555 ) ,=5(5(555 ) ) ,=5(5(5(5+5 +) + ) + ) +,=5(5(5(5 (5 +) + )+)+) +,分析：两种算法中各用了几次乘法运算？和几次加法运算？,算法1：,算法2：,共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算。,共做了4次乘法运算，5次加法运算。,数书九章秦九韶算法,对该多项式按下面的方式进行改写：,思考：当知道了x的值后该如
9、何求多项式的值？,这是怎样的一种改写方式？最后的结果是什么？,要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即,然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即,最后的一项是什么？,这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。,思考：在求多项式的值上，这是怎样的一个转化？,算法步骤：,第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值.,第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为1.,第三步：输入i次项的系数an-i.,第四步：v=vx+an-i,i=i+1.,第五步：判断i是否小于或等于n，若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v。,程序框图：,这是
10、一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现。,特点：通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可。,例2 已知一个五次多项式为,用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。,解：,将多项式变形：,按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x = 5时的值：,所以，当x = 5时，多项式的值等于17255.2,你从中看到了怎样的规律？怎么用程序框图来描述呢？,程序框图：,这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现。,课堂小结： 1、秦九韶算法的方法和步骤 2、秦九韶算法的程序框图,k进制化十进制,知识探究(一):进位制的
11、概念,思考1:进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统，如逢十进一，就是十进制；每七天为一周，就是七进制；每十二个月为一年，就是十二进制，每六十秒为一分钟，每六十分钟为一个小时，就是六十进制；等等.一般地，“满k进一”就是k进制，其中k称为k进制的基数.那么k是一个什么范围内的数？,如二进制可使用的数字有0和1,基数是2; 十进制可使用的数字有0,1,2,8,9等十个数字,基数是10; 十六进制可使用的数字或符号有09等10个数字以及AF等6个字母(规定字母AF对应1015),十六进制的基数是16.,注意:为了区分不同的进位制,常在数字的右下脚标明基数,.,如111001(2)表示二进制数,
12、34(5)表示5进制数.,十进制数一般不标注基数.,思考2:十进制使用09十个数字，那么五进制、七进制分别使用哪些数字？,思考3:在十进制中10表示十，在二进制中10表示2.一般地，若k是一个大于1的整数，则以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式： anan-1a1a0(k). 其中各个数位上的数字an，an-1，a1，a0的取值范围如何？,思考4:十进制数4528表示的数可以写成4103+5102+2101+8100，依此类比，二进制数110011（2）,八进制数 7342（8）分别可以写成什么式子？,110011（2）=125+124+023+022+121+120,734
13、2（8）=783+382+481+280.,思考5:一般地，如何将k进制数 anan-1a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式？,思考6:在二进制中，0+0，0+1，1+0，1+1的值分别是多少？,知识探究(二):k进制化十进制的算法,思考1:二进制数110011（2）化为十进制数是什么数？,110011（2）=125+124+023+022+121+120 =32+16+2+1=51.,思考2:二进制数右数第i位数字ai化为十进制数是什么数？,练习：C7A16(16)=12164+7163+10162 +1161+6160.,思考3:把二进制数 化为十进制数b的算法步骤
14、如何设计？,第二步，令b=0，i=1.,第四步，判断in 是否成立.若是，则输 出b的值；否则，返回第三步.,第一步，输入a和n的值.,第三步， ，i=i+1.,思考4:按照上述思路，把k进制数 化为十进制数b的算法步骤如何设计？,第四步，判断in 是否成立.若是，则输出b的值；否则，返回第三步.,第一步，输入a，k和n的值.,第二步，令b=0，i=1.,第三步， ，i=i+1.,思考5:上述把k进制数 化为十进制数b的算法的程序框图如何表示？,思考6:该程序框图对应的程序如何表述？,INPUT a，k，n,b=0,i=1,t=a MOD10,DO,b=b+t*k（i-1）,a=a10,t=a
15、 MOD10,i=i+1,LOOP UNTIL in,PRINT b,END,例1 将下列各进制数化为十进制数. （1）10303（4） ； （2）1234（5）.,理论迁移,10303（4）=144+342+340=307.,1234（5）=153+252+351+450=194.,例2 已知10b1（2）=a02（3）,求数字a，b的值.,所以2b+9=9a+2，即9a-2b=7.,10b1（2）=123+b2+1=2b+9.,a02（3）=a32+2=9a+2.,故a=1，b=1.,1. k进制数使用0（k-1）共k个数字，但左侧第一个数位上的数字（首位数字）不为0.,小结,2.用 表示k进制数，其中k称为基数，十进制数一般不标注基数.,3. 把k进制数化为十进制数的一般算式是：,
