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1、马尔可夫链的平稳分布,要求掌握以下内容：,1. 什么是马尔柯夫链 2. 计算部分：市场占有率预测和人力资源结构预测方法。,稳态概率矩阵,在马尔可夫链中，已知系统的初始状态和状态转移概率矩阵，就可推断出系统在任意时刻可能所处的状态。 现在需要研究当 k 不断增大时，P(k) 的变化趋势。,例有A、B、C三家企业的同种产品上个月在某地区市场上的占有率分别为：0.52、0.30、0.18。根据市场调查情况，每1000户顾客中分别购买A、B、C三家企业产品的变化情况如表12-3。试用马尔柯夫预测法分析，若按目前趋势发展下去，三家企业产品占有率的状况。,企业占有顾客变化情况 单位：人,1确定初始状态。
2、S（0）=(0.52 0.30 0.18）2确定转移概率矩阵。,3. 计算本期市场占有率。,根据马尔柯夫预测模型，本月市场占有率 S（1）=S（0）P =（0.435 0.297 0.268） 4. 后续周期趋势预测 第K个月的市场占有率为 S（K）=S（0）PK。 根据上式，计算第一月至第十二月的市场占有率于表12-4：,逐期市场占有率计算表,分析,（1）A企业和B企业产品的市场占有率逐期下降，并且A企业产品的市场占有率下降幅度较大； （2）C企业产品的市场占有率却以较大的幅度逐期上升。 （3）变化的幅度逐渐减小，趋近于不变。,一、平稳分布,如存在非零向量 X=(x1，x2， ，xN)，使得
3、： X P = X 其中P为一概率矩阵，则称 X 为 P 的固定概率向量。 特别地，设 X=(x1，x2， ，xN) 为一状态概率向量， P为状态转移概率矩阵，若 X P = X 称 X 为该马尔可夫链的一个平稳分布,若随机过程某时刻的状态概率向量 X 为平稳分布，则称过程处于平衡状态。 一旦过程处于平衡状态，则过程经过一步或多步状态转移之后，其状态概率分布保持不变，也就是说，过程一旦处于平衡状态后将永远处于平衡状态。 对于我们所讨论的状态有限（即N个状态）的马尔可夫链，平稳分布必定存在。 特别地，当状态转移矩阵为正规概率矩阵时，平稳分布唯一。,定义1：如果 P 为概率矩阵，且存在 m0，使
4、Pm 中诸元素皆非负非零。则称 P 为正规概率矩阵。 例如： 均为正规概率矩阵。 P1为正规概率矩阵是明显的（m = 1） P2是正规概率矩阵也也易于论证： 即存在（m = 2），使 P2 的元素皆非负非零。,是非正规概率矩阵。 正规概率矩阵的这一性质很有实用价值。因为在市场占有率是达到平稳分布时，顾客（或用户）的流动将对市场占有率不起影响。即各厂丧失的顾客（或用户）与争取到的顾客相抵消。,二、平稳分布,一个马尔柯夫链如果是正规的，根据以上讨论可知，通过状态转移可以使系统达到某一平稳状态。在这种情况下，处于状态i的概率如用xi表示，则系统整体的状态可用下面的概率向量来表示： X=（x1，x2，
5、xn）,系统的平稳状态,系统的平稳状态是指系统即使再经过一步状态转移，其状态概率仍保持不变的状态。 即：XP=X 式中：P是反映状态转移的正规概率矩阵，X称为对P的平稳状态概率向量。若知正规概率矩阵P，就可以根据以上关系式求出系统的平稳状态概率向量X。,求平稳状态概率向量,若已知概率矩阵 所求的平稳状态概率向量 X=（x1，x2，xn）。,求平稳状态概率向量,并且x1+x2+xn=1,从而有：,P11x1+P21x2+Pn1xn=x1 P12x1+P22x2+Pn2xn=x2 P1 nx1+P2 nx2+Pn nxn=xn x1+x2+xn=1 由联立方程组，解得x1、x2、xn。,例12-5:设一马尔可夫链的状态转移矩阵如下，求其平稳分布。,解：(1) P 是正规概率矩阵,即存在（m = 2），使 P2 的元素皆非负非零。,(2) 由于 P 是正规概率矩阵，求解如下方程组：,这就是该马尔可夫链的平稳分布。,
