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1、此资料由网络收集而来，如有侵权请告知上传者立即删除。资料共分享，我们负责传递知识。浅谈放缩法在不等式证明中的应用篇一：放缩法在不等式的应用论文 放缩法在不等式的应用 所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给
2、数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一. “添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1. 设a，b为不相等的两正数，且abab，求证1ab 3 3 2 2 2 2 2 2 2 4。 证明：由题设得aabbab，于是（ab）aabbab，又ab0，得ab1，又 ab 1（ab），而（ab）ababab1（ab），即3（ab）ab，所以ab42 2 2 2 ， 故有1ab 。 例2. 已知a、b、c不全为零，求证： a?ab?b?b2?bc?c2?c2?ac?a23（a?b?c） 2 22 a?ab?b?（a?
3、b）?b2（a?b）?a?a?，同理 22 证明：因为 b?bc?c2b?c，c?ac?a2c?。 2 a?ab?b?b?bc?c?c2?ac?a3（a?b?c） 2 所以 二. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。 例3. 已知a、b、c为三角形的三边，求证：1 abc2 。 a?ca?b 证明：由于a、b、c为正数，所以 b，所以 abcabc1，又a，b，c为三角形的边，a2aa为真分数， 则 b?ca?b?c，同理 故b+ca，则 b2bc2c ， a?ca?b?ca?ba
4、?b?c 故 abc?2. abc2 。 a?ca?b 综合得1 三. 裂项放缩 若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已知nN*，求1? 12 ? 1? 1n 2n。 证明：因为 1n ? 2n?n 2n?n?1 ?2（n?n?1），则1? 12 ? 13 ? ? ，证毕。 1n 1?2（?1）?2（3?2）?2（n?n?1）?2n?12n n(n?1)(n?1)2 例5. 已知n?N且an?2?2?3?n(n?1)，求证：对?an? 22 * 所有正整数n都成立。 证明：因为 n(n?1)?n2?n，所以an?1?2?n? n(n?1)， 2
5、又 n(n?1)? n(n?1) ， 2 n(n?1)351?22?32n?1(n?1)2 ?所以an?，综合知结论成立。 2222222 例6 设数列an满足a1?2,an?1?an? 1 (n?1,2,?). （）证明an?2n?1对一切正整数an （）令bn?n成立；题） ann (n?1,2,?)，判定bn与bn?1的大小，并说明理由（04年重庆卷理科第（22） 简析 本题有多种放缩证明方法，这里我们对（）进行减项放缩，有 法1 用数学归纳法（只考虑第二步）a2k?1 2 ?ak?2? 1 ?2k?1?2?2(k?1)?1； 2ak法2 a 2 n?1 2?an?2? 1222 ?a?
6、a?2,k?1,2,?,n?1. ?a?2k?1kn2 an 则an 2 2 ?a12?2(n?1)?an?2n?2?2n?1?an?2n?1. 四. 利用重要不等式放缩 1.均值不等式 利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。 2 n(n?1)(n?1)例7 设Sn?2?2?3?n(n?1).求证?Sn?. 22 解析此数列的通项为ak ?k(k?1),k?1,2,?,n. n 1k?k?11，n ?k?(k?1)?k?k?Sn?(k?)， 222k?1k?1 2 n(n?1)n(n?1)n(n?1)即?Sn?. 2222 注：应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩
7、用的是均值不等式?a?b，若放成 2 2 (n?1)(n?3)(n?1)，就放过“度”了！ (k?1)?k?1则得Sn?(k?1)? 22k?1 n 根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 a?an ?a1?an?1? 11n?a1an n 2 a12?an n 其中，n?2,3等的各式及其变式公式均可供选用。 11?1，试证：对每一个n?N，(a?b)n?an?bn?22n?2n?1.ab 例8已知a,b为正数，且（88年全国联赛题） 简析 由 1111ab ?1得ab?a?b，又(a?b)(?)?2?4，故ababba 0n1n?1rn?rrnn ab?a?b?4，而(a?
8、b)n?Cna?Cnab?Cnab?Cnb， 1n?1rn?rrn?1 f(n)?(a?b)n?an?bn，则f(n)=Cnab?Cnab?Cnabn?1，i n?i ，倒序相加得?Cn 令 因为Cn 1rn?1 2f(n)=Cn(an?1b?abn?1)?Cn(an?rbr?arbn?r)?Cn(abn?1?an?1b)， n 2 而a n?1 b?ab n?1 ?a n?r b?ab rrn?r ?ab n?1 ?ab?2ab?2?4?2n?1，则 n?1nn 1rn?1 2f(n)=(Cn?Cn?Cn)(arbn?r?an?rbr)?(2n?2)(arbn?r?an?rbr)?(2n?2
9、)?2n?1，所以f(n)?(2n?2)?2n，即对每一个n?N?，(a?b)n?an?bn?22n?2n?1. 2利用有用结论 例9 求证(1?1)(1?)(1?)?(1? 13151 )?2n?1. 2n?1 简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法1 利用假分数的一个性质b?b?m(b?a?0,m?0)可得 aa?m 2462n3572n?11352n?1?(2n?1) 1352n?12462n2462n 2n?1 ?(2?4?6?2n)2?2n?1即(1?1)(1?1)(1?1)?(1? 135 35 1 )?2n?1. 2n?1 法2 利用贝努利不等式 (1?x)n?1?nx(n?N
10、?,n?2,x?1,x?0)的一个特例 (1? 1)得 121(此处 n?2,x?)?1?2? 2k?12k?12k?1 1? nn12k?112k?1 ?(1?)?2n?1. k?12k?12k?12k?1k?12k?1 注：例9是1985年上海高题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是： 证明(1?1)(1? 111 )(1?)?(1?)?3n?1.(可考虑用贝努利不等式n?3的特例) 473n?2 1?2x?3x?(n?1)x?a?nx 例10 已知函数f(x)?lg,0?a?1,给定n?N?,n?2. n 求证
11、： f(2x)?2f(x)(x?0)对任意n?N?且n?2恒成立。（90年全国卷压轴题） 简析 本题可用数学归纳法证明，详参评分标准；这里给出运用柯西（Cauchy）不等式 n n n ?(aibi)?a 2 i?1 i?1 2 i ?b i?1 2i 的简捷证法： f(2x)?2f(x)?lg 1?22x?32x?(n?1)2x?a?n2x1?2x?3x?(n?1)x?a?nx ?2lg nn ?1?2x?3x?(n?1)x?a?nx2?n?1?22x?32x?(n?1)2x?a?n2x 而由Cauchy不等式得(1?1?1?2 x ?1?3x?1?(n?1)x?a?nx)2 ?(12?12
12、)?1?22x?32x?(n?1)2x?a2?n2x(x?0时取等号) ? n?1?22x?32x?(n?1)2x?a?n2x（?0?a?1），得证！例11 已知a1?1,an?1?(1? 11 )a?.(I)用数学归纳法证明an?2(n?2)；(II)对n2n n?n2 （05年辽宁卷第22题） ln(1?x)?x对x?0都成立，证明an?e2（无理数e?2.71828?）解析 (II)结合第(I)问结论及所给题设条件ln(1?x)?x（x ?0）的结构特征，可得放缩思路： an?1?(1? 1111 ?)a?lna?ln(1?)?lnan? nn?1 n2?n2nn2?n2n 1111 ?
13、lnan?2?n。于是lnan?1?lnan?2?n， n?n2n?n2 n?1i?1 ? 即lnan (lnai?1?lnai)? i?1 n?1 1 1?()n?1 111112(2?i)?lnan?lna1?1?2?n?2. nn2i?i2 1?2 ?lna1?2?an?e2. ?0）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的 注：题目所给条件ln(1?x)?x（x作用；当然，本题还可用结论2n ?n(n?1)(n?2)来放缩： 111 )(an?1)? )an?an?1?1?(1? n(n?1)n(n?1)n(n?1) 11 ln(an?1?1)?ln(an?1)?ln(1?)?.
14、 n(n?1)n(n?1)an?1?(1? ?ln(ai?1?1)?ln(ai?1)? i?2 i?2 n?1 n?1 11 ?ln(an?1)?ln(a2?1)?1?1， i(i?1)n 即ln(an ?1)?1?ln3?an?3e?1?e2. 1111 ?log2n,n?N?,n?2.log2n表示不超过log2n 的最23n2 例12 已知不等式 大整数。设正数数列an满足：a1 ?b(b?0),an? nan?1 ,n?2. n?an?1 求证an? 2b ,n?3.（05年湖北卷第（22）题） 2?blog2n 简析 当n ?2时an?nan?1?1?n?an?1?1?1，即 n?an?1
