第八节DFT的应用教学文案

《第八节DFT的应用教学文案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第八节DFT的应用教学文案（122页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第八节DFT的应用,引言,DFT及FFT在数字滤波、功率谱分析、仿真、系统分析、通讯理论方面有广泛的应用。 归 结 起 来, 有两个大方面,一是计算线性卷积、线性相关；二是用 DFT(FFT)作为连续傅里叶变换 的近似. FFT并不是什么新的变换,只是DFT在计算机上的 一 种高速算法，虽实际 中广泛使用的是 FFT, 但 其应用的理论基础仍是 DFT. 通过考察计算线性卷积(相关)和连续傅里叶逼近这两种DFT应用,就可以说我们建立了一 般 FFT 应用的基本理论基础.,应用方面,一、采 用 DFT 办 法 求 解 线 性 卷 积。 二、采 用 DFT 逼 近 连 续 时 间 信 号 的 傅

2、里 叶 变 换 (级 数),一、采用DFT办法求解线性卷积（1）引入,时域圆周卷积,频域是两序列的 DFT相乘. 时频两域的转换 (即 DFT 及 IDFT)有快速 傅里叶变换(FFT)算法. 所以利用圆周卷积定理计算圆周卷积比计算线性卷积的计算速度快得多. 实际问题中x(n) 即信号通过线性时不变系统h(n)后的响应y(n)是线 性卷积运算. 想：若做卷积的两序列都是有限长序列,能否用它们的圆周卷积结果代替它们的线性卷积结果呢?即圆周卷积与线性卷积的关系是什么?,线性时不变系统,h(n),y(n)=x(n)*h(n),(3)说明,x1(n)与x2(n)的L点圆周卷积结果y(n)=x1(n)与

3、x2(n)的线性卷积结果yL(n)以L点周期延拓后再取主值序列. 如 L取适当,则线性卷积结果yL(n)被L点周期延拓后无混叠。即其主值序列=线性卷积结果,从而实现圆周卷积代替线性卷积. 所谓L的适当值,显然应当L N1+N2-1 最终结论:当L N1+N2-1时，圆周卷积可以代替线性卷积即：,从：,看出：,（4）圆卷积代替线卷积的实现方法,设 x(n) 是 激 励, 是0nN1-1 的 有 限 长 序 列;h(n)是线性时不变系统的系统函数(冲激响应),是0nN2-1的有限长序列; y(n)是激励通过系统后的响应,即 y(n)=x(n)* h(n).,选好圆卷积点数L（L N1+N2-1）,

4、圆卷积,L点圆周延拓，再取主值,线性卷积,设L为圆卷积点数:,上图依据的是圆周卷积定理,做的是圆周卷积.然而由于L选取符合条件, 因而结果是与 线性卷积结果一致的.,L点DFT,h(n),L点DFT,L点IDFT,x(n),y(n),取L N1+N2-1情况下,圆周卷积代替线性 卷积的实 际 实 现 的 框 图 如 下,二、用DFT逼近连续时间信号的付里叶变换（级数）,我 们 知 道 DFT 的 最 初 引 入 就 是 为 了 使 数 字 计 算 机 能 够 帮 助 分 析 连 续 时 间 信 号 的 频 谱 DFT 的 快 速 算 法 - 快 速 傅 里 叶 变 换 (FFT) 的 出 现

5、使 得DFT这种分析 方 法具有实用价值和重要性. 我 们 这 里 将 简 单 的 讨 论 逼 近 的 方 法 和 同 时 产 生 的 问 题.,讨论内容,1、用DFT逼近连续非周期信号的傅里叶变换。 2、用DFT逼近连续周期信号的傅里叶级数。 3、用DFT逼近有限长信号的傅里叶变换。 4、用DFT做傅里叶变换(级数)的逼近时所产生的 问 题。,1、用DFT逼近连续非周期信号的傅里叶变换,在 信 号 与 系 统 中 详 细 讨 论 的 连 续 非 周 期 信 号 的 傅 里 叶 变 换 是连续非周期性的频谱函数， 数 字 计 算 机难 于 处 理 的, 因 而 我 们 采 用 DFT 对 其

6、进 行 逼 近.,（1）分析,设:对连续非周期信号进行时域抽样，抽样间隔 为 T (时域);对其连续非周期性的频谱函数进行频域抽样,频域抽样间隔为 F(频域). 又因时域抽样，频域必然周期延拓；且延拓周期为时域抽样的频率值,即频域周期Fp = 1/ T=fs; 从频域抽样理论可知：频域抽样后对应时域按频域抽样间隔的倒数周期延拓, 即时域周期 Tp = 1/F. 对无限长的信号计算机是不能处理的,必须对时域与 频域做截断,若时域取N点,则频域至少也要取N点. (参见频域抽样不失真条件). 我们把以上的推演过程用严密的数学公式来表示:,连续时间非周期信号的付里叶变换对,连续时间非周期信号x(t)的

7、付里叶变换为,（2)时域的抽样与截断,其频谱为：,时域抽样：,再进行时域截断：截断后序列的长度内包含有N个抽样点。,其频谱为：,可见：时域抽样，抽样频率为fs=1/T,则频域产生以fs为周期的周期延拓，如果频域限带信号，则有可能不产生混叠，成为连续周期频谱序列，其频域周期为Fp=fs=1/T.,(3)频域的抽样与截断,频域也进行抽样，在频域的一个周期Fp内中也抽N个样点,其中F为频域抽样间隔,第k个抽样点频率为：,则,频域抽样,截断：,同时，由于频域抽样、截断，导致时域周期延拓.,结论：,（4）由对连续非周期信号进行频域抽样就推出DFT变换式,把 后 两 式 进 行 从 连 续 域 到 离 散

8、 域 的 必 要 的 处 理, 如 令 T=1 等, 就 得 到 了 我 们 熟 悉 的 DFT 变 换 对 定 义 式.,（5）用 DFT 逼 近 连 续 非 周 期 信 号 的 傅 里 叶 变 换结论1,从 以 上 分 析, 特 别 是 最 后 得 出 的 两 式, 不 难 看 出 ： 如 果 用 DFT 定 义 式 去 计 算 一 个非 周 期 的 信 号 的 傅 里 叶 变 换, 则 频 谱 的 正 常 电 平 幅 度 与 用 DFT 算 得 的 频 谱 幅 度 相 差 一 个 加 权 - T.,（6）用 DFT 逼 近 连 续 非 周 期 信 号 的 傅 里 叶 变 换结论2,同 理

9、, 用 IDFT 定 义 式 去 计 算 一 个 非 周 期 信 号 的 傅 里 叶 反 变 换, 则 需 再 加 权 一 个 N * F = fs. 由 于 fs = 1 / T, 所 以 一 个 时 间 信 号 从 时 域 到 频 域 再 到 时 域 的 整 个 变 换 过 程 中, 电 平 幅 度 并 未 受 到 影 响.,（7）用 DFT 逼 近 连 续 非 周 期 信 号 的 傅 里 叶 变 换注意点,用 DFT 逼 近 连 续 非 周 期 信 号 的 傅 里 叶 变 换 过 程 中 除 了 对 幅 度 的 线 性 加 权 外, 由 于 用 到 了 抽 样 与 截 断 的 方 法,

10、因 此 也 会 带 来 一 些 可 能 产 生 的 问 题 (如 : 混 叠 效 应, 频 谱 泄 漏, 栅 栏 效 应 等).,2、用DFT逼近连续周期信号的傅里叶级数,在 信 号 与 系 统 中 详 细 讨 论 的 连 续 周 期 信 号 的 傅 里 叶 级 数 是 数 字 计 算 机 所 难 于 处 理 的, 因 而 我 们 采 用 DFT 对 其 进 行 逼 近.,（1）用 DFT 逼 近 连 续 周 期 信 号 的 傅 里 叶 级 数的分析,连 续 周 期 信 号 的 时 域 是 连 续 的, 频 域 是 离 散 的. 若 用 DFT 逼 近, 则 先 要 对 时 域 抽 样 (抽

11、样 间 隔 为 T), 然 后 截 断 取 N 点 序 列 (类 似 DFT 逼 近 连 续 非 周 期 信 号 傅 里 叶 变 换 中 的 抽 样 与 截 断, 下 同) . 这 将 导 致 频 域 周 期 延 拓。,复习：连续周期时间信号的付里叶级数对,其中T0为连续周期时间信号的周期。,正变换：,反变换：,（2）对连续周期信号进行时域抽样,设一个周期内的采样点数为N点，则,（3）对连续周期信号频域进行截断,然 后 再 对 频 域 进 行 截 断, 若 截 断 后 有 限 长 序 列 长 度 正 好 是 一 个 周 期 (或 是 其 整 数 倍), 则,（4）用 DFT 逼 近 连 续 周

12、 期 信 号 的 傅 里 叶 级 数的结论,从 上 面 得 到 的 公 式 可 以 看 出, 利 用 DFT 去 求 一 个 连 续 周 期 信 号 的 DFS与 正 常 级 数 之 间 相 差 加 权 1/N. 同 理, 以 IDFT 计 算 的 傅 里 叶 级 数 反 变 换 与 正 常 值 相 差 加 权 N. 所 以 一 个 时 间 信 号 从 时 域 到 频 域 再 到 时 域 的 整 个 变 换 过 程 中, 电 平 幅 度 并 未 受 到 影 响.,（5）用 DFT 逼 近 连 续 周 期 信 号 的 傅 里 叶 级 数的注意点,逼近值除了加权差别外,还有如下特别注意处: DFT

13、逼近周期信号的DFS中,曾设频域的截断长度为其周期的整数倍. 如果截断长度不等于周期的整数倍,则会造成离散和连续傅里叶变换之间出现显著差异,而不 是只相差一个加权因子. 另外当长度不是周期 的整数倍时,时域会表现为有间断点的周期函数,频域表现为频谱泄漏成分增大. 由于DFT 逼 近 连 续 周 期 信 号 过 程 中 用 到 抽 样 与 截 断, 因 此 还 会 带 来 一 些 可 能 产 生 的 问 题 (如: 混 叠 效 应, 频 谱 泄 漏, 栅 栏 效 应 等).,3、用 DFT 逼 近 有 限 长 时 间 信 号 的 傅 里 叶 变 换,对 于 有 限 长 的 时 域 信 号, 其

14、傅 里 叶 变 换 的 频 域 必 然 是 无 限 带 宽 的. 因 而 这 种 信 号 抽 样 后 频 域 的 混 叠 是 不 可 避 免 的. 混 叠 的 大 小 由 频 谱 高 频 分 量 衰 减 的 速 度 决 定: 衰 减 越 快 混 叠 越 小. 如 果 选 择 N 小 于 长 度 有 限 的 函 数 的 样 本 点 数, 则 误 差 仅 由 混 叠 效 应 造 成. 选 抽 样 间 隔 T 足 够 小, 可 减 少 这 种 效 应 所 引 起 的 误 差. 在 这 种 情 况 下, DFT 变 换 的 计 算 值 和 连 续 傅 里 叶 变 换 的 样 本 值 将 很 好 的 一

15、 致 (相 差 一 个 系 数).,4、用 DFT 做 傅 里 叶 变 换 (级 数) 的逼 近 时 所 产 生 的 问 题,为 了 能 在 数 字 计 算 机 上 分 析 连 续 信 号 的 频 谱, 常 常 用 DFT 来 逼 近 连 续 时 间 信 号 的 傅 里 叶 变 换, 但 同 时 也 产 生 以 下 问 题: （1）混 叠 现 象 （2）频 谱 泄 漏 （3）栅 栏 效 应,（1）混 叠 现 象,利 用 DFT 逼 近 连 续 时 间 信 号 的 傅 里 叶 变 换 ,为 避 免 混 叠 失 真, 要求满足抽样定理，即奈奎斯特准则： fs2fh 其中fs为抽 样 频 率 , f

16、h 为信号最高频率.但此条件只规定出fs的下限为fh , 其上限要受抽样间隔 F的约束. 抽 样 间 隔 F 即 频 率 分 辨 力, 它是 记 录 长 度的 倒 数, 即 Tp = 1 / F 若 抽 样 点 数 为 N, 则 抽 样 间 隔 与 fs 的 关 系 为 F = fs / N 2fh /N,混 叠 现 象的结论,由F = fs / N 2fh /N 看出： 在 N 给 定 时, 为 避 免混 叠 失 真 而 一 味 提 高 抽 样 频 率 fs , 必 然 导 致 F 增 加, 即 频 率 分 辨 力 下 降; 反 之, 若 要 提 高 频 率 分 辨 力 即 减 小 F, 则 导 致 减 小fs, 最 终 必 须 减 小 信 号 的 高 频 容 量. 以 上 两 点 结 论 都 是 在记录长度内抽样点数 N 给 定 的 条 件 下 得 到 的. 所 以 在 高 频 容 量 fh 与 频 率 分 辨 力 F 参 数 中, 保 持 其 中 一 个 不 变 而 使 另 一 个 性 能 得