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1、第 1 页，共 17 页 2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标） 题号 一二三总分 得分 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知集合，则中元素的个数为( ) A. 2B. 3C. 4D. 5 2. 若，则( ) A. B. C. D. 3. 设一组样本数据的方差为 0.01，则数据的方差为( ) A. 0.01B. 0.1C. 1D. 10 4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据 建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（ 的单位：天）的 Logistic 模型： ，其中
2、为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制 疫情，则约为( )（In193） A. 60B. 63C. 66D. 69 5. 已知，则( ) A. B. C. D. 6. 在平面内，是两个定点， 是动点，若，则点 的轨迹为( ) A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 直线 7. 设 为坐标原点，直线与抛物线交于两点，若， 则 的焦点坐标为( ) A. B. C. D. 8. 点到直线距离的最大值为( ) A. 1B. C. D. 2 9. 右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( ) A. B. C. D. 10.设 ，则（ ） 第 2 页，共 17 页 A. B. C. D. 11.在 中
3、，则（ ） A. B. 2C. 4D. 8 12.已知函数 ，则( ) A. 的最小值为 2B. 的图像关于 轴对称 C. 的图像关于直线对称D. 的图像关于直线对称 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13.若 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x+2y 的最大值为_. 14.设双曲线 的一条渐近线为,则 的离心率为_. 15.设函数 ，若，则 a=_. 16.已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的切球表面积为 _ 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17.（12 分） 设等比数列满足， （1） 求的通项公式； （2） 记为数列的前 n
4、项和. 若，求 m. 18. （12 分) 某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻 炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次 空气质量等级 0,200（200,400（400,600 1（优）21625 2（良）51012 3（轻度污染）678 4（中度污染）720 （1） 分别估计该市一天的空气质量等级为 1,2,3,4 的概率； 第 3 页，共 17 页 （2） 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值 （同一组中的数据用该组区间的 中点值为代表）； （3） 若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气 质量等级为
5、3 或 4，则称这天“空气质量不好”。根据所给数据，完成下面的 列联表， 并根据列联表， 判断是否有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与 该市当天的空气质量有关？ 人次400人次400 空气质量好 空气质量不好 附：， 19. （12 分） 如图，在长方体中，在 , 分别在棱，上，且， ，证明： （1） 当时，; （2） 点在平面内. 第 4 页，共 17 页 20.（12 分） 已知函数. （1） 讨论的单调性； （2） 若有三个零点，求 的取值范围. 21. （12 分） 已知椭圆的离心率为分别为 的左、右顶点. （1） 求 的方程： （2） 若点 在 上，点 在直线上，且，求的面
6、积 . 22. 选修 4-4: 坐标系与参数方程 （10 分） 在直角坐标系中，曲线 的参数方程为与 坐标轴交于两点. （1） 求： （2） 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方 程. 第 5 页，共 17 页 23. 选修 4-5: 不等式选讲 （10 分） 设 （1） 证明：； （2） 用中的最大值，证明： 第 6 页，共 17 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】B 【解析】【分析】 本题主要考查了交集的运算，属于基础题. 【解答】 解：， ， 中元素个数为 3. 故选 B. 2.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查复数的四则运算，共轭复数的概念，属于基础
7、题. 先由复数的四则运算法则求出 ，再利用共轭复数的概念得到答案. 【解答】 解：由，得， 所以 zi， 故选 D. 3.【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查方差的运算，是基础题. 【解答】 解：设 的平均数为 ，方差 第 7 页，共 17 页 所以 的平均数为 ，方差 , 故选 . 4.【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查指数式与对数式的互化，属于基础题. 根据题意可得，解出 的值. 【解答】 解：由题可知， 所以， ，解得 故选 C. 5.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查两角和的正弦公式和辅助角公式，属于基础题. 根据两角和的正弦公式展开 ，再整理利用辅助角公式即可得答案
8、. 【解答】 解： ， = 得 故选： . 第 8 页，共 17 页 6.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了动点的轨迹问题及向量数量积的坐标运算，属一般题 根据题意建立平面直角坐标系，设出点 A、B、C 的坐标，得到和的坐标，由向量 数量积的坐标运算公式即得动点坐标所满足的方程，从而得到动点 C 的轨迹 【解答】 解 ： 以 AB 所在直线为 x 轴， 线段 AB 的中垂线为 y 轴， 建立平面直角坐标系， 设 ，则，由题意， 得即，因此，动点 C 的轨迹是圆， 故选 A. 7.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查直线与抛物线的位置关系及抛物线的性质，基础题 根据直线 x=2 与抛物线
9、交于 D、 E 两点， 确定 D、 E 两点坐标， 由 ODOE 可得 ，可确定 p 的值，从而得到抛物线的焦点坐标 【解答】 解：根据题意得 D（2，2p）,E（2，-2p）, 因为 ODOE，可得，所以 4-4p=0，故 p=1， 所以抛物线 C：y2=2x，所以抛物线的焦点坐标为( ,0). 故选 B 8.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查定点到过定点的直线的最大距离问题，属于基础题. 根据点到直线的距离和两点间的距离公式，即可求解. 【解答】 解：因为直线 y=k(x+1)恒过点（-1，0）， 要使得点（0，1）到直线的距离最大， 此时点到直线的距离即为（0，1）与（-1，0）两点
10、的距离， 第 9 页，共 17 页 此时最大距离为. 故答案选 B 9.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查由三视图求几何体的表面积，考查空间想象能力，难度一般. 先由三视图还原几何体，即可求出表面积. 【解答】 解：由三视图可知该几何体是底面为腰长 2 的等腰直角三角形，一侧棱长为 2 且垂直底 面的三棱锥，如下图 故其表面积为 故选 C. 10.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了对数比较大小，属于中档题. 分别将 c 转化为以 3，5 为底数，与 a,c 比较大小，即可得到结果. 【解答】 解：， ， 故选 A. 第 10 页，共 17 页 11.【答案】C 【解析】【分析】 本题
11、考查解三角形，余弦定理的应用，注意三角形的形状即可. 【解答】 解：根据题意：，解得：AB=3 则；（负值舍去） 故. 故选 C 12.【答案】D 【解析】【分析】 本题主要考查三角函数的性质，属于中档题. 【解答】 解：A. 由于，故 A 错误； B. ，故 B 错误； C. ， ，故 C 错误； D.， 则的图象关于直线对称，故 D 正确， 故选 D. 13.【答案】7 【解析】【分析】 本题考查了根据线性规划求最值，属较易题 第 11 页，共 17 页 本题先根据线性约束条件画出平面区域，再利用图解法即可求出目标函数的最大值 【解答】 解：画出不等式组所表示的平面区域，如图所示 由得点
12、A 坐标为，由得点 B 坐标为， 即不等式所表示的平面区域为（包括边界）， 再将化为，可看作斜率为，截距为 z 的一族平行直线， 由图可知，当直线经过点 A 时，截距 z 最大， 因此，当时， 故选答案为 7 14.【答案】 【解析】【分析】 本题主要考查双曲线的简单几何性质，属于基础题。 根据渐近线方程，可得，再利用离心率公式即可求得结果。 【解答】 解：双曲线的渐近线为， 离心率 故答案为： 第 12 页，共 17 页 15.【答案】1 【解析】 【分析】 本题考查导数的运算，考查运算求解能力，属于较易题. 【解答】 解：，解得 故答案为 1. 16.【答案】 【解析】【分析】 本题考查圆
13、锥的内切球问题以及球的体积公式，通过列方程进行求解即可. 【解答】 解： 如图，由题意可知， 圆锥内半径最大的球满足与底面相切于 ，与侧面相切于点 ， 设球的半径为 ，则，且， 解得， 第 13 页，共 17 页 故. 故答案为. 17.【答案】解：（1）设等比数列的公比为 ，因为， ， ； （2） 由（1） 可知，可判断出数列是以 0 为首项，1 为公差的等差 数列， ， ， 解得：或（舍去） 所以. 【解析】本题主要考查等比数列的通项公式，等差数列的判断及其前 项和公式，属基 础题. （1）根据等比数列的通项公式列出关于首项与公比的方程组，解得首项与公比，得到 通项公式； （ 2）由（1）
14、可得数列的通项公式，从而判断出该数列为等差数列，利用等差 数列的求和公式列出关于的方程，求得的值即可. 18.【答案】解：（1）空气质量等级为 1 的概率为; 空气质量等级为 2 的概率为; 空气质量等级为 3 的概率为; 空气质量等级为 4 的概率为; (2) 一天中该公园锻炼的平均人次的估计值为 第 14 页，共 17 页 ； （3） 人次人次 空气质量好3337 空气质量不好228 有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 【解析】本题考查了独立性检验和古典概率，属于中档题. 19.【答案】证明：(1)因为是长方体，所以, 而,所以. 又,所以四边形为正方形
15、，有, 又，平面，所以平面， 又平面,所以. (2) 取靠近的三等分点,连结, 因为 在上，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 又 在上，且,所以,且， 从而,所以四边形为平行四边形， 所以,所以,故四点共面，点在平面内. 【解析】本题考查了线面垂直的判定及性质，四点共面判定等知识，属中档题. (1)通过可得，四边形为正方形，有, 所以平面，进而可得. 第 15 页，共 17 页 (2)通过画辅助线，可证明四边形和四边形均为平行四边形，由平行传递 性可得，故四点共面，点在平面内. 20.【答案】解：（1）求导得，定义域为， 当时，在上单调递增； 当时，令得或，令得， 故函数在上单调
16、递增，在上单调递减. （2）由（1）当时，在上单调递增，不符题意，故， 的极大值为，极小值为， 要使有三个零点，则 ， ，即，解得. 【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数问题，属较难题. 21.【答案】解：（1） ， ， ， C 的方程为 . （2）由题：A(-5,0),B(5,0),设 Q(6,t),显然， 则，则， 则直线 BP 方程为：，联立， 化简得，解得， 第 16 页，共 17 页 ， ，即， 代入，解得， 当时，Q(6,2),P(3,1)， PQ 方程为：，点 A 到直线 PQ 的距离为， 则； 当时，Q(6,8),P(-3,1)， PQ 方程为：，点 A 到直线 PQ 的距离为， 则， 根据对称性，时面积均为 ， 综上：的面积为 . 【解析】 本题考查椭圆方程的求解，两点间距离公式，直线方程，点到直线距离公式的 综合
