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1、图形计算器介入的数学模型应用探究模式上海市华东理工大学附中 汪海峰摘要：本文讨论了运用图形计算器探究数学模型的教学模式.关键词：图形计算器、数学模型一、研究背景上海市中小学数学课程标准指出：现代信息技术进入数学课程将大大拓宽数学学习的渠道和促进了学生学习方式的改变。所以要充分利用信息技术来改进数学教学的过程和改善学生学习的方式。2001 年 7 月，我校决定在新高一组建实验班，配备了 TI-83 图形计算器及相关设备，笔者有幸成为该班的数学教师，得以对图形计算器应用于数学教学作一些探索。二、研究重点中小学数学课程标准还告诉我们：在数学教学中，必须加强数学与实际的联系，重视数学模型及其应用，重视
2、学生对数学建模、求解和解释全过程的体验，增强学生的体验性学习和研究性学习活动。所以，加强数学应用意识的培养时代发展与教育改革的需要，实施素质教育重在培养学生的创新意识和实践能力，广泛开展数学建模与数学应用活动是培养创新精神和实践能力的重要途径。所以笔者研究的重点着眼于如何运用图行计算器进行数学模型的应用探究教学。三、图形计算器提供的技术支持传统的数学模型教学基本上都是采取解题训练的教学模式，但这种模式并没有真正地面对实际问题。其中，教学设备技术的落后是重要原因之一。图形计算器的引入为数学模型教学模式的改变带来了契机，它具有强大的功能。它除了科学计算器的各种功能以外，它还具有符号代数系统、几何操
3、作系统、数据分析系统等，因而它可以直观形象地绘制各种图形，并进行动态演示、跟踪轨迹、探索数据规律。另外，它还可以与CBL、CBR 组合，进行各种探索性的物理、化学、生物学的实践活动，再结合相应的数学知识，完成综合问题。再加上它的便携性以及网上下载功能，为我们解决各种层次的数学模型提供了技术支持。在教师的引导下，学生运用这些设备，能够真正地解决一些实际问题。四、模式概述问题是数学的心脏，解决问题是数学教育最基本的活动形式。该模式以“问题解决”为基本思路，依据建构主义教学理论，引导学生自主地开展探究活动。学生亲自动手利用图形计算器，进行必要的数据搜集、处理，图像的分析、综合，师生之间、学生之间展开
4、讨论和交流，完成实施策略。该模式以选定恰当的数学模型为切入口，注重学生独立钻研，着眼于思维和创造力培养。五、模式结构（一）基本原则建构主义强调学生对知识的主动探索，主动发现与所学知识在原有经验基础上的意义生成。这句话揭示了建构主义的核心：以学生为中心。作为教师，必须适应建构主义的新要求，改变以往单向控制教学的角色观念。所以在该模式中，我们必须以学生为本，充分发挥学生的主动性，运用图形计算器，进行数学实验，进行创造性的学习。（二）教学目标1.培养学生发现问题的意识，进而形成提出问题的能力。不仅可以培养学生的一般性思维能力，而且可以培养他们的创造性思维能力。2.在教师的引导下，结合图形计算器的使用
5、，学生学会从事相对独立的学习活动。学生通过独立解决问题，能从解决问题本身体会到学习与创新的乐趣，树立学好数学的信心。学生在“用数学”的过程中，领会数学的价值。3.利用图形计算器，引导学生“实验性”的学习数学。可以培养学生的实践能力 ，改变以往过分强调思维训练忽略实践能力而造成的“高分低能”现象。（三）操作序列1.数学模型的设计（提出问题）“好奇心”是学习的动力，是一切科学的源泉。数学模型设计（问题提出）得是否合理，是否能够激起学生的兴趣，是评判一个问题优劣的标准。教师可以为学生提供线索，线索可以是某个问题，某种现象，也可鼓励学生自行寻找相关的感兴趣的问题。如：请你用图形计算器设计出“耐克” 、
6、 “麦当劳”的商标；请你预测出 2008 年北京奥运会撑杆跳的成绩，以供我国教练员、运动员训练时参考；假如我做董事长现有部门上报两个技术改造技术方案： 投资 100 万元购置新设备，每年末可增收 20 万元。投资 80 万元更改部分设备，可节约每年初的 16 万元检修费。假设这些设备使用期均为 8 年，银行复利年利率为 4%，假如我做董事长，应该采用哪种方案呢？涨潮问题在一码头上测得：下午 1 点时，水位最高为 10、4 米；下午 4 点时，水位为 8、5 米；下午 7 点时，水位最低为 6、6 米。已知水位在 89 米时，适合装载货物，问什么时间适合装卸货物？这些问题具有以下特点：（1）都可
7、以化归为简单的数学模型。（2）视角新颖，贴近生活，学生有浓厚的兴趣，有较强的解决这些问题的愿望。（3）涉及数学知识源于课本而不超越课本。（4）图形计算器的强大功能为这些问题的解决提供了技术条件。数学模型的设计（提出问题）的方法：（1）由课堂教学内容导入到数学应用实例；如：结合课本函数 y=x+1/x 性质和图像的分析可导入到 “耐克”商标的设计；再三角函数图像和性质研究的基础上则可导入到“涨潮问题”（2）教师给定主题，学生自行调查研究，从生产、生活中自主地选择，确定研究的对象。如：在我们的生活中，分期付款早已被人们接受。请你调查你周围的人，也许是你的父母，也许是你的亲朋好友，他们正准备购房、买
8、车。请你为他们计算出每月的还款，供他们参考。数学模型的设计（提出问题）的注意点：（1）数学模型的设计（提出问题）并没有什么固定的标准。它往往因人而异，因校而异。就我校这样一所普通中学而言，学生层次相对较低，问题设计（提出）得太难（如涉及数学知识太深） ，太综合（如涉及太多学科的知识） ，会让学生望而生畏，丧失信心。笔者在一年的实践中，就曾有过类似的经历。以上提出的几个问题所涉及到的知识和能力就比较符合我校学生的实际。对于一些学生素质较高的学校，问题设计（提出问题）的层次可更高一些（如更综合，涉及知识更广） 。（2）问题有必要进行筛选，即在解决数学模型过程中涉及到的数学知识大部分已经学过，需要补
9、充的也不宜过深，这样有利于学生切身体会到所学数学知识得用途。从另外一个角度，如果教师在教学过程中必须补充很多较难的未学知识，则不利于课堂效率的提高，也容易打击学生的积极性。2.数学模型的解决（1）分析问题问题带给学生的往往是真实情景和研究方向，将这些问题交给学生时，学生往往感到不知所措，教师有必要帮助学生进行分析，为学生自主解决问题搭建脚手架。通过适当的引导，鼓励学生运用直觉接近问题。如：设计“麦当劳”商标先让学生观察“麦当劳”的商标，再通过恰当的设问逼近目标。设问一：通过刚才的观察，你发现了“麦当劳”的商标具有什么性质？答：它是轴对称图形，具有对称性。设问二：在我们学过的函数中，什么样的函数
10、具有这样的性质？答：偶函数。设问三：偶函数关于 Y 轴对称。观察 “麦当劳”商标的左边（或右边） ，它像什么函数的图像？答：二次函数。通过这样的引导，学生很快找到了恰当的函数，绘出了合适的图像，如图一、二所示。向学生提供必要的方法指导。如预测问题，必须详细讲解用图形计算器解决此类问题的一般步骤：输入数据猜测回归方程画数据图象分析模型的合理性预测。再如“假如我做董事长”这样的课题，必须让学生了解图形计算器金融函数的使用方法。（2）创造性地解决问题数学模型的解决是该模式的核心。基于图形计算器的强大功能，教师有必要引导学生通过扩散性的思考，尽可能尝试流畅性、变通性与独创性的方法，使学生的创造性思维得
11、以充分发挥。师生之间、同学之间可以交流协作，可以各辟蹊径，另找新法，以此来培养学生的创造力。如：（96 年高考题）某林场原有森林木材为 a，木材每年以25%的增长率增长，而每年冬天要砍伐的木材量保持不变。为实现经过 20 年达到木材存有量至少翻两番的目标，求每年冬天木材最大砍伐量。常规方法：由题意，每一年的存有量组成一个数列。设每一年冬天的砍伐量为 x，则a1=(5/4)a-xa2=(5/4)(5/4)a-x-x=(5/4)2a-1+(5/4)xa3=(5/4) (5/4)2a -1+(5/4)x -x= (5/4)3a-1+(5/4)+ (5/4)2x a20=(5/4)20a-1+(5/4
12、)+ (5/4)2+(5/4)3+(5/4)19x=(5/4)20a-4(5/4)20-1x由题意，(5/4) 20a-4(5/4)20-1x4ax(5/4) 20-4a/4(5/4)20-1x24%a即每年冬天的砍伐量不能超过原有森林的 24%。创新方法一：可以用递推公式写出每一年木材的存有量：a0= a an=(5/4)an-1-x 有了递推公式后，就可以利用图形计算器对每年的砍伐量进行探索，如图三图八所示。注：把原木材的存有量看作是 1。由于每一年的增长率为 25%，可以假设先砍掉 20%尝试一下：由图四可以看出：第 13 年木材存有量就可以达到翻两番的目标，所以可以比 20%多砍一些。
13、在尝试了 0、210、 23后，我们再尝试 0、24。图六结果的基础上，我们想得到更精确的结果，可以用0、241 进一步探索。最后，我们可以确认每年的砍伐量不超过 24、1%可以实现目标。学生首先利用数列的递推公式建立数学模型，再利用图形计算器递归和迭代功能，学生自己动手运算、画图，也尝试猜测或观察验证、修改，最后得到了更精确的结果。创新方法二：也可使用图形计算器金融函数（复利）的模式来解决，如图九、图十所示。这一方法解决的快捷、精确引起了学生极大的兴趣，也给他们这样的启示：不同实际背景的问题可能具有相同的数学模型。通过创造性解决数学模型，可以从传统教学的单一向“创造性、改革性、有效的答案”转
14、变。 3.问题的延伸和拓展解决一个数学模型并非为了模型本身，学生从中学会了解决问题的方法，获得了创新意识、实践能力。这些为学生利用图形计算器进行研究性学习打下了良好的基础。教师应以此为契机，创设一个更加开放的空间，鼓励学生从生产、生活中去发现问题和提出问题，利用图形计算器进行自主的探究活动，这对学生来说是一次重要经历和体验，且能使他们品尝到成功的喜悦，这项活动可能使他们走上科学探索之路。 笔者就曾作过这样的尝试：在一节研究课上，笔者讲了一个预测课题。课题开设后，笔者及时布置了相关的作业，让学生自行寻找资料，采集数据，然后作出预测。学生投入了巨大的热情，收集了大量的题材，涉及的内容非常广泛，体育
15、、政治、军事、经济尽在其中。利用图形计算器的数据分析系统，学生在课后对这些实际问题进行预测。笔者和他们一起对预测的结果进行了分析，给予了适当的指导。如有一学生的课题为“上海居民人均收入预测” ，他在预测中发现，用二次函数、三次函数乃至四次函数都可以准确地拟合图像，到底选用哪一个更为合适呢？他感到很困惑。笔者提示他结合加入世贸组织、申奥成功等利好因素，最后选用了四次函数拟合图像。在初步预测出结果的基础上，笔者又指导学生对结果进行了分析，写成了小论文，并整理成了一本专集数学模型 。其中有两篇得到了 TI 公司的高度评价，被载入它的全球网站，部分载入香港新闻出版社出版的TI 数理技术的教学设计和研究
16、性学习案例 。当然限于学生现有的知识结构和能力，有些课题的预测结果误差比较大。但作为一种尝试，这些课题让学生切身体会到数学的用途，教会了学生研究这一类问题的方法，也为创新意识、实践能力的形成与培养，打下了扎实的基础，这对他们或许是收益终身的。六、结语通过一年的实践、研究，取得了一定的效果：1.锻炼了学生自主探索、自主提出问题、自主解决问题的能力。2.使学生体验到用数学解决实际问题的过程，获得用数学方法解决实际问题的经验。另外，笔者在教学的过程中体会到：1.图形计算器的使用是该模式不可缺少的条件，师生再也不必耗大量的时间进行繁复的计算和绘图，而把主要精力放在探究问题上，开阔了空间，提高了效率。2.在该模式的各个阶段，教师的工作应是指导学生的学习，根据学生的特点和要求，选择指导学生的时机，通过不断提问创造机会，激发学生思考，推动应用探究活动。3.图形计算器的使用也给教师提出了更高的
