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1、第三节 X射线衍射的晶体学基础一、晶体结构的特征二、晶体点阵一、晶体结构的特征1. 晶体结构的特征：周期性2. 晶体具有如下共同性质：（1）均匀性（2）各向异性（3）自范性：在适宜的条件下,晶体能够自发地呈现封闭的规则和凸面体外形的性质。晶体自范性的本质:是晶体中粒子微观空间里呈现周期性的有序排列的宏观表象。（4）固定的熔点上述晶体的特性是晶体内部原子或分子作周期性排列的必然结果，是各种晶态物质的共性，也是晶体的最基本性质。 二、晶体点阵重复图形与点阵 一定的结构单元按一定的方式重复而成的图形称为重复图形，晶体是三维重复图形，它的结构单元是由组成晶体的原子或原子团构成。 点阵是重复图形中环境相
2、同点的排列阵式，它仅是图形或物质排列规律的一种数学抽象，并没有具体的物质内容。 点阵中的点称为阵点或结点 一维重复图形的重复规律可以用一维点阵（点列）来描述 二维重复图形的重复规律可以用二维点阵（点网）来描述 三维重复图形的重复规律可以用三维点阵（空间点阵）来描述不论晶体结构多么复杂，总可以从其结构中抽象出比此结构简单得多的点阵，并由该点阵描述晶体结构的重复规律一维重复图形一维点阵（点列）一维点阵（点列）中原点为O；初级矢：a一维点阵中任一结点的位置：r = u a（ u为任意整数 ）Oa二维重复图形Oab二维点阵（点网）二维点阵（点网）中任一结点的位置：r = u a + v b （ u、v
3、为任意整数 ）三维点阵（空间点阵）中任一结点的位置：r = u a +v b + w c （ u、v、w为任意整数 ） 初级矢群（ a0，b0，c0 ）能给出点阵中所有结点的相对位置，但它们不能直观的给出点阵的形貌。为此引入阵胞的概念。 阵胞：以初级矢或特定平移矢为边棱作成的平行四边形或平形六面体。(空间点阵由完全相同的阵胞密排堆积而成，阵胞是组空间成点阵的基本单元，研究晶体的点阵时可以仅研究它的阵胞。)点阵参数：a，b，c，在三维点阵中决定阵胞的形状有六个量，三个棱有长度：a，b，c及它们之间的夹角：，称它们为点阵参数。仅包含一个结点的阵胞称为初级阵胞或原胞、单胞，它是由初级矢群构成的。单胞
4、记为P三维复胞有体心、底心和面心三种，分别记为I、C和F 根据阵胞的外形特点，可以把它们分为七类(或六类)，称为七个晶系（或六个晶系）。7种晶系的晶胞外形a = b = c = = = 90o立 方（Cubic）a = b = c = = 90o菱 方（三方，trigonal）a = b c = = 90o， =120o六 方（Hexagonal）a = b c = = =90o正 方（Tetragonal）a b c = = = 90o正 交（Orthormbic）a b c = = 90o， 90o单 斜（Monclinic）a b c 90o三 斜（Triclinic）晶胞外形特点（ U
5、nit cel shape ）晶 系（ Crystal system ）四类阵胞和七个晶系相结合，可以形成十四种空间点阵。布拉维首次证明了只可能有十四种空间点阵存在，所以又把这十四种点阵称为布拉维点阵。晶体的晶胞与其点阵的阵胞点阵参数相同，只是所包含的物质内容不同。如图为铝的阵胞和晶胞。它们之间的差别仅在于后者是以原子代替前者的结点。如图为氯化铯的点阵阵胞。当每个结点都以相同的方式放上一对氯和铯原子时，就形成氯化铯的晶胞。许多晶体，它们的结构虽然不同，但是点阵类型相同。图中表示出几种不同的晶胞，它们都属于面心立方点阵，都具有面心立方阵胞。因此，虽然天然的和人造的晶体品种繁多。结构千变万化，但是
6、它们的点阵仅有十四种类型。第四节 倒易点阵 倒易点阵是晶体学中极为重要的概念之一，它不仅可以简化晶体学中的某些计算问题，而且还可以形象地解释晶体的衍射几何。 倒易点阵本身是一种几何构图，由许多阵点构成的虚点阵，是由晶体点阵（正点阵、真点阵）经过一定的数学方法转化而构成的。其中每一个结点和原来晶体点阵中各个相应的晶面有倒易关系。（提示：在TEM中，可以不实际操做SAD，而仅仅采用富利叶变换就可以得到衍射花样。） 正点阵是直接从晶体结构中抽象出来的，而倒易点阵是与正点阵相对应的，是用数学方法由正点阵演算出的。 从物理上讲，正点阵与晶体结构相关，描述的是晶体中物质的分布规律，是物质空间，或正空间，倒
7、易点阵与晶体的衍射现象相关，它描述的是衍射强度的分布。1921年厄瓦尔德（Ewald P.）将倒易点阵方法引入衍射领域，后来伯纳尔（Bernal J.D.）又用它来解释周转晶体法中X射线衍射花样。现在倒易点阵方法已成为一种解释各种衍射问题非常有用的工具。一、倒易点阵的定义二、倒易点阵阵胞的基本参数三、倒易点阵的性质四、晶带及晶带定律五、主要晶体学关系的计算从晶体结构中抽象出的空间点阵有时称为正点阵、正空间。为区别起见，通过数学演算出来的空间点阵,就称为倒易点阵、倒空间。倒易点阵中的结点称为倒易结点或倒易点.如果晶体点阵用三个晶轴矢量a、b、c表示，其相应的倒易点阵可以用a*、b*、c*三个矢量
8、来表示，a*、b*、c*的长度a*、b*、c*为倒易点阵三个棱的长度，倒易点阵中任一倒易点的位置用矢量r*hkl（或g hkl ）可表示为： r*= h a* + k b* + lc* （ h、k、l为任意整数 ） 一、倒易点阵的定义倒易总阵与其相应晶体点阵间的基本关系是：a*=1 a*b=0 a*c=0 b*a=0 b*=1 b*c=0c*a=0 c*=0 c*=1倒易点阵的a*同时垂直于正点阵的b、c，即垂直于b、c构成的平面倒易点阵的b*同时垂直于正点阵的c、a，即垂直于c、a构成的平面倒易点阵的c*同时垂直于正点阵的a、b，即垂直于a、b构成的平面abcc*a*=(bc)/v ; a*
9、=(bcsin )/vb*=(bc)/v ; b*=(casin )/vc*=(bc)/v ; c*=(absin )/vv= a(bc) = b(ca) = c(ab) =abc(1 - cos2- cos2 - cos2 + 2cos coscos )1/2 *coscoscoscos*sinsincoscoscoscos*sinsincoscoscoscos*sinsinabc = = =、之间的夹角为：a*、b*、c* 、 *、 *、 *a、b、c 、点阵参数hklghklghkl= h a* + k b* + l c*d*uvwhkl*(uvw)*倒点阵中正、倒点阵中相应量的符号uv
10、w结点位置ruvw晶向长度或阵点矢量长度ruvw = u a + v b + w c晶向或阵点矢量dhkl面间距uvw晶向指数(hkl)晶面指数正点阵中量的名称a*=b*c* = * =90oa*=b*c* = * =90oa*=b*c* *90oa*=b*c*=*90o ，*=60oa*b*c*=*=*90oa*b*c*= *=90o*特征a3a2cabcabcsinV 60o90o90o六方90o90o90o立方90o90o90o正方90o90o90o斜方90o*菱方倒易点阵阵胞的基本参数（ a*、b*、c* 、 *、*、*）180o - * 90o*c*b*a*单斜参数晶 系1sina1
11、b1sinc 1b1a1c232ac1c23a23a 2 3sin13cos2cosa +3 2 313cos2cosa +2 3sin13cos2cosa +2 3sin13cos2cosa +cosarcos( )1cos+cosarcos( )1cos+cosarcos( )1cos+1a1a1c1a1a1a三斜晶系倒易点阵阵胞参数按定义计算，公式不能简化。由倒易点阵阵胞参数特征可以看出，倒易点阵与其相应的正点阵具有相同类型的坐标系二、倒易点阵阵胞的基本参数立方晶系的倒易阵胞参数正点阵中的立方晶系： a=b=c=a，=90o，V=abc=a3按倒易点阵定义：c*垂直于b、a，即c*与c同
12、方向， 同理： a*与a同方向， b*与b同方向，即*=*=*=90oa*= (bcsin)/V=(a2sin90o)/a3=1/a，同理： b*1/b；c*1/c a*=b*c*=1/a，V=1/a3即：正点阵属于立方晶系时，其倒易点阵也属于立方晶系。g10 g210三、倒易点阵的两个重要性质1. 倒易点阵中的一个方向hkl*垂直于正点阵中的同名晶面 (hkl) 即：hkl* (hkl)而 正点阵中的一个方向uvw 垂直于倒易点阵中的一个同名晶面 (uvw)* 即：uvw (uvw)2. 正点阵中，晶面 (hkl)的面间距dhkl是其同名倒易矢量ghkl长度的倒数 即： dhkl =1/ghkl 倒易点阵中，晶面 (uvw)的面间距d*hkl是其同名矢量rhkl长度的倒数 即： d*hkl =1/rhkl请同学们自己推证一下。小结：倒易点阵中的一个结点hkl不仅代表着正点阵中的一个面列（khl）的方位，也由指向该点倒易矢的长度反应出这些面的面间距的大小。因此我们可以说，倒易点阵中的一个结点hkl代表着正点阵中一个面列（hkl）。倒易点的分布代表着正点阵中晶面列的分布。上述论述可以简单归纳为下面的动画：
