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1、1初二数学第四章：四边形性质探索 第 12 节北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：第四章：四边形性质探索第一节：平行四边形的性质第二节：平行四边形的判别二. 教学要求1. 知识与技能：经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，掌握平行四边形的概念、性质及平行线间距离的概念，理解平行线间距离处处相等的结论并会应用。发展学生的逻辑推理能力和表达能力。2. 经历平行四边形的判别条件的探索过程，掌握平行四边形的五种判别方法。三. 重点及难点1. 重点是理解并正确运用平行四边形的性质解决问题及平行四边形的判别方法及应用，尤其是根据不同条件选择正确的判别方法。2. 难点是平行四边形性质的探究过程及性质的
2、应用及平行四边形性质和判别方法的综合运用。四. 课堂教学知识要点知识点 1：平行四边形的概念定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。如图所示。由于 ADBC ，ABCD，所以四边形 ABCD 是平行四边形。注明：平行四边形只与两对边是否平行有关，而与它们是否水平和是否垂直无关。点拨：表面上看好像和平行四边形的定义相似，但实质上它是错误的。这是由于对平行四边形的定义理解不够造成的，四边形的对边有两组，当只有一组对边平行时就不是平行四边形而是梯形，只有当两组对边分别平行时才是平行四边形。知识点 2：平行四边形的表示方法用“ ”表示，平行四边形 ABCD 记作 ABCD，读作“平行四边形 ABC
3、D”。注意：表示顶点的字母要按顺时针或逆时针的顺序读写，画平行四边形时也要按顺时针或逆时针的顺序标写字母，四个字母中任何一个都可以作为第一个字母。如图所示，该平行四边形可记为“ ABCD”或“ BCDA”等，但记作“ ADBC”就是错误的。2知识点 3：平行四边形的对角线平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做平行四边形的对角线。如图所示：线段 AC 和 BD 就是 ABCD 的两条对角线，平行四边形只有两条对角线。说明：对角线是线段，它的端点是四边形的顶点，若 AC，BD 相交于点 O，则线段AO，CO ，BO，DO 都不是对角线。知识点 4：平行四边形的性质将平行四边形绕某个顶点旋转 18
4、0 度后，再平移旋转后的平行四边形，并与原平行四边形比较，得到平行四边形边和角的性质，再通过画对角线，利用三角形全等，可得到平行四边形对角线的性质：由此进一步得出，由平行四边形的对角线分得的四个三角形的面积相等。如图所示：在 ABCD 中，有如下结论：边：ADBC， ABDC，AD=BC，AB=DC角：BAD=BCD，ABC=ADC ，BAD+ABC=180，ABC+BCD=180，BCD+CDA=180 ，CDA+BAD=180面积：S AOB = SBOC =SCOD =SDOA对角线：OA=OC=1/2AC，OB=OD=1/2BD知识点 5：平行线之间的距离两条平行线中，一条直线上任意一
5、点到另一直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。例如：如图所示，ab，点 A 在直线 a 上，过 A 点作 ACb，垂足为 C，则线段 AC的长是点 A 到直线 b 的距离，也是两条平行线 a，b 之间的距离。同样，过直线 a 上点 B 作 BDb，垂足为 D，则线段 BD 的长也是两条平行线 a，b 之间的距离。于是由平行四边形的性质可知平行线的又一个性质：平行线之间的距离处处相等。注意：两条平行线之间的距离是指垂线段的长度，当两条平行线的位置确定时，它们3之间的距离也随之确定，它不随垂线段的位置的改变而改变，是一个定值。探索：在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的枕木是否一样长。知识点 6：平
6、行四边形的判别方法（2）从角看两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（3）从对角线看对角线互相平分的四边形是平行四边形。说明：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，这种判别方法书中并没有，但学过多边形的内角和以后，我们就能推导出这一结论。安排在这里的意图主要是为了与平行四边形的性质比较。知识点 7：平行四边形的性质与判别的关系联系：平行四边形的性质的条件和结论正好与判别的条件和结论相反。它们构成互逆的关系，如平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分。其中平行四边形是条件，对角线互相平分是结论，条件与结论颠倒，对角线互相平分是条件。平行四边形是结论，得到对角线互相平分的四边形是平行四边形。这
7、就是平行四边形的判别。区别：由平行四边形这一条件，得到边、角或对角线的关系，这是平行四边形的性质，反之，由边、角或对角线的关系得到平行四边形，这是平行四边形的判别，如平行四边形的对边相等，其中平行四边形是条件，得到对边相等的结论，这是性质，反过来，两组对边分别相等的四边形是平行四边形。其中，两组对边相等是条件，得到平行四边形这一结论，这就是判别。【典型例题】例 1. 如图所示，如果 1l 2，那么 ABC 的面积与 DBC 的面积相等吗？由此你还能得出哪些结论？解：ABC 与 DBC 的面积相等。 1l 2，它们之间的距离处处相等。ABC 与 DBC 是同底等高的两个三角形。S ABC =SD
8、BC结论：（1） 1l上任意一点与 B，C 连接处构成三角形的面积都等于 ABC 的面积，这样的三角形有无数个。例 2. 如图所示，在 ABCD 中，DAC=30，DOC=120，OA=6cm，OB=3cm，求 AD 与 AC 的长。4解：DOC=120，DOA=180DOC=60又DAC=30ADO=180DACDOA=1803060=90AOD 是直角三角形。 22ODA又OD=OB=3cm ，OA=6cm， )cm(3ODA2AC=2OA=12(cm)例 3. 如图所示，已知 ABCD 中，E 为 AD 中点，CE 交 BA 的延长线于 F，（1）试说明 AB=AF（2）若 BC=2AB
9、，FBC=70，求EBC 的度数。解：（1）四边形 ABCD 为平行四边形AB=CD，DCAB，CDE=FAE1=2又E 为 AD 中点，DE=AEDECAEFDC=AF，AB=AF。（2）AB=AF，BF=2ABBC=2AB，BF=BCCE=EF BE 平分FBCEBC=1/2 FBC=1/270=35例 4. 如图所示，已知 D，E，F 分别在 ABC 的边 BC，AB，AC 上，且DEAF，DF/AB ，将 FD 延长至 G 使 FG=2DF，连接 AG，ED，则 ED，AG 互相平分吗？请说明理由。解：连接 EG，AD5DF/AB，DEAF ，四边形 AEDF 为平行四边形，AE=DF
10、，FG=2DF，AE=DG四边形 AEGD 为平行四边形。ED，AG 互相平分。例 5. 如图所示，DCAB，且 DC=1/2AB，E 为 AB 的中点。（1）试说明 AEDEBC（2）观察图形，在不能添加辅助线的情况下，除 EBC 外，请再写出两个与 AED面积相等的三角形（直接写出结果，不要说明）解：（1）因为 E 为 AB 的中点，所以 AE=EB=1/2AB因为 DC=1/2AB，DCAB，所以 AE=DC，BE=DC，AEDC，BEDC所以四边形 AECD 和四边形 EBCD 都是平行四边形。所以 AD=EC，ED=BC在 AED 和 EBC 中。AD=EC，AE=EB ，ED=BC
11、所以 AED EBC（2）ACD，ACE，CDE（其中写出两个即可）【模拟试题】 （答题时间：45 分钟）一. 选择题1. 在 ABCD 中，ABCD 的值可以是（ ）A. 1234 B. 1221C. 1122 D. 21212. 平行四边形的两条对角线把它分成全等三角形的对数是（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 83. 在 ABCD 中，A、B 的度数之比为 54，则C 等于（ ）A. 60 B. 80 C. 100 D. 1204. ABCD 的周长为 36 cm，AB= 7BC，则较长边的长为（ ）A. 15 cm B. 7. 5 cm C. 21 cm D. 10. 5 cm5
12、. 如图， ABCD 中，EF 过对角线的交点 O，AB=4，AD=3，OF=1. 3，则四边形BCEF 的周长为（ ）6A. 8. 3 B. 9. 6 C. 12. 6 D. 13. 6二. 填空题6. 已知 ABCD 中，B=70，则A=_，C=_，D=_。7. 在 ABCD 中，AB=3 ，BC=4，则ABCD 的周长等于_。8. 平行四边形的周长等于 56 cm，两邻边长的比为 31，那么这个平行四边形较长的边长为_。9. 在 ABCD 中，A+ C=270，则B=_，C=_。10. 和直线 l 距离为 8 cm 的直线有_条。11. 如图，四边形 ABCD，AC 、BD 相交于点 O
13、，若 OA=OC，OB=OD，则四边形ABCD 是_，根据是_。ABCD12. 如图，四边形 ABCD 中，AB/CD，且 AB=CD，则四边形 ABCD 是_，理由是_。13. 如图，在 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，E、F 分别在 OB、OD 上，且OE=OF，又 OC=_，所以_是平行四边形，理由是_。ABCD三. 解答题14. 平行四边形的周长为 36cm，一组邻边之差为 4cm，求平行四边形各边的长。15. 如图，在 ABCD 中，AB=AC ，若 ABCD 的周长为 38cm，ABC 的周长比ABCD 的周长少 10 cm，求 ABCD 的一组邻边的长。16. 如图，在
14、ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，MN 是过 O 点的直线，交 BC于 M，交 AD 于 N，BM=2， AN=2.8，求 BC 和 AD 的长。717. 如图，在 ABCD 中，E、F 分别是 BC、AD 上的点，且 AECF ，AE 与 CF 相等吗？说明理由。18. 如图，在 ABCD 中，O 是对角线 AC、BD 的交点，BE AC，DFAC，垂足分别为 E、F 。那么 OE 与 OF 是否相等？为什么？19. 如图， ABCD 中，AE、CF 分别与直线 DB 相交于 E 和 F，且 AE/CF，求证：CE/AF。 ABCD20. 如图， ABCD 中，BM 垂直 AC
15、 于 M，DN 垂直 AC 于 N，求证：四边形 BMDN是平行四边形。21. 如图， ABCD 中，点 M、N 是对角线 AC 上的点，且 AM=CN，DE=BF ，求证：四边形 MFNE 是平行四边形。 ABCDEF22. 如图，AB、CD 相交于点 O，AC/DB，AO=BO ，E、F 分别为 OC、OD 的中点，连接 AF、BE，求证： AF/BE。8ABCDEFO23. 在四边形 ABCD 中，AB/CD，对角线 AC、BD 交于点 O，EF 过 O 交 AB 于 E，交CD 于 F，且 OE=OF，求证：ABCD 是平行四边形。 CE24. 如图，过 ABCD 对角线的交点 O 作直线 EF 交 AD、BC 分别于 E、F，又 G、H 分别为 OD、OB 的中点，求证：四边形 EHFG 为平行四边形。ABDFGH25. 现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有 45角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案
