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1、第2课时圆内接四边形的性质与判定定理,【课标要求】 1理解圆内接四边形的两条性质定理，能应用定理解决相关的几何问题 2理解圆内接四边形判定定理及推论，能应用定理及推论解决相关的几何问题 【核心扫描】 1用圆内接四边形的判定定理判断四点共圆(重点) 2用圆内接四边形的性质定理解决相关问题(难点),自学导引 1圆内接多边形 (1)如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆 (2)同样，如果四边形的四个顶点都在同一个圆上，则称该四边形为圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆 2圆内接四边形的两个性质定理 (1)定理1：圆的内接四边形的 (2)定理2：圆
2、内接四边形的外角等于,对角互补,它的内角的对角,3圆内接四边形的判定定理 (1)圆内接四边形的判定定理 如果一个四边形的，那么这个四边形的四个顶点共圆 (2)圆内接四边形的判定定理的推论 如果四边形的一个外角等于，那么这个四边形的四个顶点共圆,对角互补,它的内角的对角,(3)判断四点共圆的常用方法 如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点共圆； 如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆； 如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆； 如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆,试一试：判断下列各命题是
3、否正确 (1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不止一个； (2)矩形有唯一的外接圆； (3)菱形有外接圆； (4)正多边形有外接圆 提示(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等,名师点睛 1(1)要注意圆内接四边形的四个内角都是圆周角这一特点利用圆周角定理，把圆周角与相应的圆心角联系起来，从而得出圆内接四边形性质定理1，然后在性质定理1的基础上，推出了性质定理2. (2)圆内接四边形的性质定理为证明角的相等或互补提供了理论依据，因而也为论证角边关系提供了
4、一种新方法 2掌握圆的内接四边形需注意的问题 (1)在圆内接四边形的判定定理的证明中，利用了穷举法所谓的“穷举法”就是当问题的结论存在多种情形时，通过对每一种情况分别论证，最后获证结论的方法在每一种情形的证明中都用到了反证法，要注意这些方法的应用,(2)圆内接四边形是圆内接多边形的一种特殊情况，它们的关系可以用集合形式表示：圆内接四边形圆内接多边形 (3)掌握一些常见的结论，例如，正多边形一定存在外接圆；三角形一定存在外接圆，并且三角形的外接圆的圆心(即外心)是三条边的垂直平分线的交点；圆内接梯形一定是等腰梯形等 (4)要注意圆内接四边形的性质定理和判定定理的综合应用,题型一用圆内接四边形的性
5、质定理解决与线段长度有关的问题 【例1】 在O中，ACAB，E是弦BC延长线上的一点，AE交O于点D.求证：AC2ADAE.,反思感悟要证明等积式，因比例式是等积式的一种特殊形式，故可转化为比例式只需找到包含AC、AD、AE的两个三角形来证明而要证三角形相似，可借助圆内接四边形的性质，得出对应的角相等,【变式1】 如图所示，AD是ABC外角EAC的角平分线，AD与三角形的外接圆O交于点D. 求证：DBDC. 证明AD是ABC的外角EAC的平分线， 又EADBCD，CADCBD. DBC DCB. DC BD.,题型二利用圆内接四边形的性质定理求角 【例2】 如图所示，已知四边形ABCD 内接于
6、圆，延长AB和DC相交于E， EG平分BEC，且与BC、AD分别 相交于F、G. 求证：CFGDGF. 思维启迪 已知四边形ABCD内接于圆，自然想到圆内接四边形的性质定理，即BCEBAD，又EG平分BEC，故CFEAGE.下面易证CFGDGF.,证明因为四边形ABCD是圆内接四边形， 所以ECFEAG. 又因为EG平分BEC， 即CEFAEG，所以EFCEGA. 所以EFCEGA. 而EGD180EGA， CFG180EFC， 所以CFGDGF.,反思感悟利用圆内接四边形的性质定理求角 (1)观察图形，找出圆内接四边形的对角或外角与其内对角； (2)利用圆内接四边形的性质定理1或性质定理2求
7、出所要求的角 (3)当题目中出现圆内接四边形时，首先利用性质定理，再结合其他条件进行推理证明,【变式2】 如图所示，在圆内接 四边形ABCD中，AC平分BD， 且ACBD.BAD72， 求四边形其余的各角 解四边形ABCD是圆内接四边形， BADBCD180. 又BAD72，BCD108. 又AC平分BD，并且ACBD， AC是四边形ABCD外接圆的直径 ABCADC90.,题型三利用圆内接四边形的判定定理证明四点共圆问题 【例3】 如图所示，在ABC中，ADDB，DFAB交AC于F，AEEC，EGAC交AB于G.求证： (1)D、E、F、G四点共圆； (2)G、B、C、F四点共圆,思维启迪
8、(1)要证D、E、F、G四点共圆，只需找到过这四点的外接圆的圆心，证明圆心到四点的距离相等，可取GF的中点H，证点H即为圆心 (2)要证G、B、C、F四点共圆，只需证BAFG(或CAGF)，由D、E为中点，可知DEBC，BADE，故只需证ADEAFG，由D、E、F、G四点共圆可得,证明(1)如图，连接GF，取GF的中点H. DFAB，EGAC，DGF，EGF都是直角三角形又点H是GF的中点，点H到D、E、F、G的距离相等，点H是过D、E、F、G的外接圆的圆心，D、E、F、G四点共圆 (2)连接DE.由(1)知D、G、F、E四点共圆 由四点共圆的性质定理的推论，得ADEAFG. ADDB，AEE
9、C，D是AB的中点，E是AC的中点，DEBC，ADEB，AFGB， G、B、C、F四点共圆,反思感悟(1)判断四点共圆的步骤： 观察几何图形，找到一定点、一对对角或一外角与其内对角； 判断四点与这一定点的关系； 判断四边形的一对对角的和是否为180； 判断四边形一外角与其内对角是否相等； 下结论 (2)注意事项： 在证明一个命题成立时，要根据命题中的条件和结论画出图形，并且写出已知和求证,【变式3】 已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F，求证：C、D、E、F四点共圆 证明连接EF，因为四边形ABCD为平行四边形， 所以BC180. 因为四边形ABFE内接于
10、圆， 所以BAEF180. 所以AEFC.所以C、D、E、F四点共圆,方法技巧综合运用圆内接四边形的性质定理与判定定理解决 问题 【示例1】 已知CF是ABC的AB边上的高，FPBC，FQAC. 求证：A、B、P、Q四点共圆 思维启迪 首先，连接PQ，要证A、B、P、Q四点共圆，只要利用判定定理或推论即可而由题目中的垂直条件易得Q、F、P、C四点共圆，再考虑利用圆内接四边形的性质,证明连接PQ， 在四边形QFPC中， 因为PFBC，FQAC， 所以FQAFPC90. 所以Q、F、P、C四点共圆 所以QFCQPC.,又因为CFAB， 所以QFC与QFA互余 而A与QFA也互余， 所以AQFC.
11、所以AQPC. 所以A、B、P、Q四点共圆 反思感悟熟练掌握圆内接四边形的判定定理及其推论,【示例2】 (2011辽宁高考)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且ECED. (1)证明：CDAB； (2)延长CD到F，延长DC到G，使得EFEG，证明：A，B，G，F四点共圆 思维启迪 利用圆内接四边形的性质与判定定理证明,证明(1)因为ECED，所以EDCECD. 因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以EDCEBA.故ECDEBA. 所以CDAB. (2)由(1)知，AEBE.因为EFEG， 故EFDEGC，从而FED GEC.连接AF，BG，则EFAEGB， 故FAEGBE.又CDAB， 所以FABGBA.所以AFGGBA180. 故A，B，G，F四点共圆 反思感悟本题考查了圆内接四边形的性质与判定定理,
