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1、第九节 直线与圆锥曲线的位置关系,1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法 直线与圆锥曲线的位置关系可分为：_、_、_. 这三种位置关系的判断方法为： 设直线l:Ax+By+C=0(A2+B20)，圆锥曲线C1：f(x,y)=0,由 即将直线l的方程与圆锥曲线C1的 方程联立，消去y便得到关于x的方程ax2+bx+c=0(当然，也可 以消去x得到关于y的方程)，通过方程解的情况判断直线l与圆 锥曲线C1的位置关系，见下表：,相交,相切,相离,不等,一个交点,无交点,2.圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点， A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB|= =
2、 = =,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点.( ) (2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点.( ) (3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点.( ),(4)如果直线x=ty+a与圆锥曲线相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两 点，则弦长 ( ) (5)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点，则需满足直线l与 抛物线C的方程联立消元得到的一元二次方程的判别式0. ( ),【解析】(1)正确，直线l与椭圆C只有一个公共点，则直线l与椭圆C相切，反之亦成
3、立. (2)错误，因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切. (3)错误，因为直线l与抛物线C的对称轴平行时，也只有一个公共点，是相交，但不相切.,(4)正确， 又x1=ty1+a,x2=ty2+a, (5)错误，应是以l为垂直平分线的线段AB所在的直线l 与抛物线方程联立，消元后所得一元二次方程的判别式0. 答案:(1) (2) (3) (4) (5),1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p0)，则( ) (A)直线与抛物线有一个公共点 (B)直线与抛物线有两个公共点 (C)直线与抛物线有一个或两个公共点 (D)直线与抛物线可能无公共点 【解析】选C
4、.因为直线y=kx-k=k(x-1)恒过定点(1，0)，而点(1，0)在抛物线内部，故直线与抛物线有一个或两个公共点.,2.已知以F1(-2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( ) (A) (B) (C) (D),【解析】选C.根据题意设椭圆方程为 则将 代入椭圆方程，得 椭圆与直线 有且仅有一个交点， b2=3,长轴长为,3.已知直线x-y-1=0与抛物线y=ax2相切，则a等于( ) (A) (B) (C) (D)4 【解析】选C.将x-y-1=0，即y=x-1代入y=ax2 得，ax2-x+1=0,直线与抛物线相切， =(-1)2-4a=0，解得
5、a=,4.已知双曲线x2-y2=1和斜率为 的直线l交于A，B两点，当l变 化时，线段AB的中点M的坐标满足的方程是_. 【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2)，线段AB中点坐标(x0,y0), 则 两式相减，得 (x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2), 答案:y=2x,5.过椭圆 的左焦点且倾斜角为 的直线被椭圆所截 得的弦长为_.,【解析】设直线与椭圆 的交点分别为A(x1,y1), B(x2,y2).由椭圆方程 得： a=3，b=1，所以 因此，直线方程为： 与椭圆方程 联 立，消去y得： 则 所以 答案：2,考向 1 直线与圆锥曲线的位置关系的确定及应用 【典
6、例1】(1)已知椭圆 若此椭圆与直线y=4x+m交于 不同两点A，B，则实数m的取值范围是_. (2)(2013西安模拟)已知抛物线的方程为y2=4x,斜率为k的直 线l过定点P(-2，1)，若直线l与抛物线只有一个公共点，则k 的值为_.,(3)(2012安徽高考)如图， F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭 圆C: (ab0)的 左、右焦点，过点F1作x轴的 垂线交椭圆的上半部分于点P， 过点F2作直线PF2的垂线交直线 于点Q. 若点Q的坐标为(4，4)，求椭圆C的方程； 证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点.,【思路点拨】(1)(2)将直线与曲线方程联立转化为所得方程解的个数满足的条
7、件求解. (3) 利用F1Px轴，PF2QF2，构建关于a,b,c的方程组，求解；只需证明直线PQ与椭圆相切，即其方程联立消元后的一元二次方程有唯一解即可.,【规范解答】(1)直线y=4x+m与椭圆 联立，消去y 得：67x2+32mx+4(m2-3)=0， 由已知，其判别式=(32m)2-4674(m2-3)0, 解得： 答案:,(2)由题意，得直线l的方程为y-1=k(x+2)， 由 得ky2-4y+4(2k+1)=0 (*) ()当k=0时，由方程(*)得y=1,方程组有一个解,此时，直线与抛物线只有一个公共点.,()当k0时，方程(*)的判别式为=-16(2k2+k-1). 由=0，即
8、2k2+k-1=0，解得k=-1或 当k=-1或 时，方程组有一个解， 此时，直线与抛物线只有一个公共点. 综上可知，当k=-1或k=0或 时，直线与抛物线只有一个公 共点. 答案:-1或0或,(3)由条件知， 故直线PF2的斜率为 因为PF2F2Q，所以直线F2Q的方程为 故 由题设知， 2a=4，解得a=2,c=1. 故椭圆方程为,证明：直线PQ的方程为 即 将上式代入 得x2+2cx+c2=0. (方法一)其判别式=(2c)2-4c2=0, (方法二)解得x=-c, 所以直线PQ与椭圆C只有一个交点.,【互动探究】若将本例题(1)中“此椭圆与直线y=4x+m交于不同两点A，B”变为“此椭
9、圆上存在不同的两点A，B关于直线y=4x+m对称”，则实数m的取值范围如何？,【解析】方法一：由于A，B两点关于直线y=4x+m对称，所以设 直线AB的方程为 即x=-4(y-b)，将其代入 得:13y2-24by+12b2-3=0，其判别式=(-24b)2-413(12b2 -3)0，解得： ，设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB中点为 M0(x0,y0), 又M0在y=4x+m上，有 将代入解得,方法二：设A(x1,y1),B(x2,y2), 线段AB的中点M(x,y)， x1+x2=2x,y1+y2=2y, 两式相减得 即y1+y2=3(x1+x2),即y=3x,与y=4x+m
10、联立得x=-m,y=-3m,而 M(x,y)在椭圆的内部， 则,【拓展提升】 1.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法 用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，即用代数法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题，实际上是研究方程组解的个数问题. 【提醒】在研究方程组是否有实数解或实数解的个数问题时，要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.,2.曲线上存在关于直线对称的两点问题的解法及关键 (1)解法：转化为过两对称点的直线与曲线的相交问题求解. (2)关键：用好两对称点的连线与对称轴垂直，且两点的中点在对称轴上.
11、,【变式备选】(1)(2013抚州模拟)若直线mx+ny=4与 O:x2+y2=4没有交点，则过点P(m,n)的直线与椭圆 的交点个数是( ) (A)至多为1 (B)2 (C)1 (D)0 【解析】选B.由题意知： 点P(m,n) 在椭圆 的内部，故所求交点个数是2个.,(2)过双曲线 的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点， 若|AB|=4，则这样的直线l有( ) (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 【解析】选C.由于a=1，所以2a=24，数形结合知，当A，B在 左右两支上时有2条，又过右焦点垂直于x轴的弦长恰好为4， 故A，B同在右支上时，有1条.所以共3条.,考向 2 与弦长
12、、弦中点及弦端点相关的问题 【典例2】(1)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(0,-1), 直线l与抛物线C相交于A，B两点.若线段AB的中点为(2，-2)， 则直线l的方程为_. (2)(2013阜阳模拟)过抛物线y2=4x焦点F的直线与抛物线交 于A，B两点，如果 则直线AB的方程是_. (3)(2013南昌模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上， 直线y=x+1与该椭圆相交于P，Q，且OPOQ， 求椭圆 的方程.,【思路点拨】(1)涉及弦的中点、斜率问题可利用点差法求解. (2)关键将弦的端点满足的向量关系转化为其横坐标大小关 系，从而构建方程求解. (3)设出椭圆方程，与直线方
13、程联立，利用OPOQ及弦长 构建方程(组)求解.,【规范解答】(1)由题意知，抛物线的方程为x2=-4y，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，且x1x2,联立方程得 两式相减 得 直线l的方程为y+2=-(x-2),即y=-x. 答案:x+y=0,(2)由已知抛物线y2=4x的焦点F(1，0)，显然满足题意的直线斜率存在，设为k,则直线的方程为y=k(x-1),将其代入y2=4x,整理得k2x2-2(k2+2)x+k2=0(k20) 其判别式=16(k2+1)0, 设A(x1,y1),B(x2,y2)且由 不妨设x1x2. 由解得 又 得(1-x1,-y1)=2(x2-1,y2), 得1-
14、x1=2(x2-1),即x1+2x2=3,亦即： 解得 所求直线方程为 答案:,(3)设椭圆方程为ax2+by2=1 且设P(x1,y1),Q(x2,y2). 由 得(a+b)x2+2bx+b-1=0. =4b2-4(a+b)(b-1)=4(a+b-ab). OPOQ, x1x2+y1y2=0. x1x2+(x1+1)(x2+1)=0,2x1x2+x1+x2+1=0 代入得 a+b=2, |PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=2(x1-x2)2 =2(x1+x2)2-4x1x2=,a+b=2且 满足0. 椭圆方程为,【拓展提升】 1.弦长的计算方法与技巧 求弦长时可利用弦长公式，根据
15、直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解. 【提醒】注意两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点.,2.弦中点问题的解法 点差法在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算，但要注意直线斜率是否存在. 3.与弦端点相关问题的解法 解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解.,【变式训练】设椭圆C： (ab0)过点(0，4)，离心率
16、 为 (1)求椭圆C的方程. (2)求过点(3，0)且斜率为 的直线被C所截线段的中点坐标.,【解析】(1)将点(0，4)代入C的方程得 b=4, 椭圆C的方程为 (2)过点(3，0)且斜率为 的直线方程为 设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)，将直线方程 代入C的方程，得 即x2-3x-8=0,解得 AB的中点的横坐标 纵坐标 即所截线段的中点坐标为,考向 3 探究性、存在性问题 【典例3】(2012福建高考)如图， 椭圆E： (ab0)的左焦点 为F1，右焦点为F2，离心率 过F1的直线交椭圆于A，B两点，且ABF2的周长为8.,(1)求椭圆E的方程. (2)设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q.试
