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1、高中数学精选文档历年高考数列简答题汇编38. (2019年北京卷理) 设和是两个等差数列，记，其中表示这个数中最大的数（）若，求的值，并证明是等差数列；（）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列39. (2017年江苏卷)对于给定的正整数，若数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列” （1）证明：等差数列是“数列”； （2）数列既是“数列”，又是“数列”，证明是等差数列40. (2017山东理)（本小题满分12分）已知xn是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2（）求数列xn的通项公式；（）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1
2、(x1, 1)，P2(x2, 2)Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2Pn+1，求由该折线与直线y=0，x=xi（xxn）所围成的区域的面积.41. (2017年天津卷理)已知为等差数列，前n项和为，是学 科.网首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.（）求和的通项公式；（）求数列的前n项和.42. （2016全国II）17.（本题满分12分）为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如（）求；（）求数列的前1 000项和43.（2016全国III）（17）（本小题满分12分）已知数列的前n项和，其中（I）证明是等比数列，并求其通项公式；（II）若 ，求44. （201
3、6北京）20.（本小题13分） 设数列A： ， , ().如果对小于()的每个正整数都有 ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；（2）证明：若数列A中存在使得，则 ；学.科网来源:学科网（3）证明：若数列A满足- 1（n=2,3, ,N）,则的元素个数不小于 -.45. （2016四川）19. 【题设】（本小题满分12分）已知数列 的首项为1， 为数列 的前n项和， ，其中q0， .（I）若 成等差数列，求an的通项公式；(ii)设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明：.46. （2016天津）(18) 已知
4、是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等比中项.()设，求证：是等差数列；()设 ，求证：47. （2016山东）（18）（本小题满分12分）已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且 （）求数列的通项公式；（）令 求数列的前n项和Tn.48. （2016江苏）20. （本小题满分16分）记.对数列和的子集T，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.（1）求数列的通项公式；（2）对任意正整数，若，求证：；（3）设,求证：.49. （2016浙江）20.（本题满分15分）设数列满足，（I）证明：，；（II）若，证明：，50. 【2015江苏高考，
5、20】（本小题满分16分） 设是各项为正数且公差为d的等差数列 （1）证明：依次成等比数列； （2）是否存在，使得依次成等比数列，并说明理由； （3）是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说明理由.51. 【2015高考浙江，理20】已知数列满足=且=-（）（1）证明：1（）；（2）设数列的前项和为，证明（）.52. 【2015高考山东，理18】设数列的前n项和为.已知. （I）求的通项公式； （II）若数列满足，求的前n项和.53. 【2015高考安徽，理18】设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标. （）求数列的通项公式； （）记，证明.54. 【2015高考天津，理18】（本小题满分
6、13分）已知数列满足，且成等差数列.(I)求的值和的通项公式；(II)设，求数列的前项和.55. 【2015高考重庆，理22】在数列中，（1）若求数列的通项公式； （2）若证明：56. 【2015高考四川，理16】设数列的前项和，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和，求得成立的n的最小值.57. 【2015高考湖北，理18】设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为已知，（）求数列，的通项公式；（）当时，记，求数列的前项和 58.【2015高考陕西，理21】（本小题满分12分）设是等比数列，的各项和，其中，（I）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；（I
7、I）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较与的大小，并加以证明59. 【2015高考新课标1，理17】为数列的前项和.已知0，=.（）求的通项公式；（）设 ,求数列的前项和.60. 【2015高考广东，理21】数列满足， (1) 求的值； (2) 求数列前项和；(3) 令，证明：数列的前项和满足61. 【2015高考上海，理22】已知数列与满足，.（1）若，且，求数列的通项公式；（2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；（3）设，（），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.62.【2014年湖南卷（理20）】(本小题满分13分) 已知数列
8、满足，. （1）若是递增数列，且，成等差数列，求的值； （2）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式.63.【2014年全国大纲卷（18）】（本小题满分12分）等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.64.【2014年山东卷（理19）】(本小题满分12分） 已知等差数列的公差为2，前项和为，且，成等比数列。（I）求数列的通项公式；（II）令=求数列的前项和。65.【2014年全国新课标（理17）】(本小题满分12分)已知数列的前项和为，=1，其中为常数.()证明：；（）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.详细答案1. (2017山东理)
9、【答案】(I)（II）【解析】解：(I)设数列的公比为q，由已知q0.由题意得，所以，因为q0,所以，因此数列的通项公式为-得= 所以2. (2017年天津卷理)【答案】 （1）.（2）.【解析】（I）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由，有，故，上述两式相减，得 得.所以，数列的前项和为.3. （2016全国II）【答案】（）， ；（）1893.考点：等差数列的的性质，前项和公式，对数的运算.4. （2016全国III）【答案】（）；（）【解析】考点：1、数列通项与前项和为关系；2、等比数列的定义与通项及前项和为42.（2016北京）【答案】（1）的元素为和；（2）详见解析；（3）详见解
10、析.如果，取，则对任何.从而且.又因为是中的最大元素，所以.考点：数列、对新定义的理解.43.（2016四川）【答案】（）；（）详见解析.试题解析：（）由已知， 两式相减得到.又由得到，故对所有都成立.所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.从而.由成等比数列，可得，即，则，由已知,，故 .所以.（）由（）可知，.所以双曲线的离心率 .由解得.因为，所以.于是，故.考点：数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式.44.（2016天津）(18) 【答案】（）详见解析（）详见解析考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和45.（2016山东）【答案】（）；（）.（）由（）知，又，
11、得，两式作差，得所以考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法46.（2016江苏）【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析来源:学科网（3）下面分三种情况证明.若是的子集，则.若是的子集，则.若不是的子集，且不是的子集.考点：等比数列的通项公式、求和47.（2016浙江）【试题分析】（I）先利用三角形不等式得，变形为，再用累加法可得，进而可证；（II）由（I）可得，进而可得，再利用的任意性可证（II）任取，由（I）知，对于任意，故从而对于任意，均有 48. 【2015江苏高考，20】【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）不存在【解析】试题分析（1）根据等比数列定
12、义只需验证每一项与前一项的比值都为同一个不为零的常数即可（2）本题列式简单，变形较难，首先令将二元问题转化为一元，再分别求解两个高次方程，利用消最高次的方法得到方程：，无解，所以不存在（3）同（2）先令将二元问题转化为一元，为降次，所以两边取对数，消去n,k得到关于t的一元方程，从而将方程的解转化为研究函数零点情况，这个函数需要利用二次求导才可确定其在上无零点试题解析：（1）证明：因为（，）是同一个常数，所以，依次构成等比数列（2）令，则，分别为，（，）假设存在，使得，依次构成等比数列，则，且令，则，且（，），化简得（），且将代入（）式，则显然不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在
13、，使得，依次构成等比数列（3）假设存在，及正整数，使得，依次构成等比数列，则，且分别在两个等式的两边同除以及，并令（，），则，且将上述两个等式两边取对数，得，且化简得，且令，则由，知，在和上均单调故只有唯一零点，即方程（）只有唯一解，故假设不成立所以不存在，及正整数，使得，依次构成等比数列49. 【2015高考浙江，理20】【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.试题分析：（1）首先根据递推公式可得，再由递推公式变形可知，从而得证；（2）由和得，从而可得，即可得证.试题解析：（1）由题意得，即，由得，由得，即；（2）由题意得，由和得，因此，由得.50. 【2015高考山东，理18】【答案】（I
14、）; （II）.所以 当 时， 所以两式相减，得 所以经检验， 时也适合，综上可得： 51. 【2015高考安徽，理18】【解析】试题分析：（）对题中所给曲线的解析式进行求导，得出曲线在点处的切线斜率为.从而可以写出切线方程为.令.解得切线与轴交点的横坐标. （）要证，需考虑通项，通过适当放缩能够使得每项相消即可证明.思路如下：先表示出，求出初始条件当时，.当时，单独考虑，并放缩得，所以 ，综上可得对任意的，均有.试题解析：（）解：，曲线在点处的切线斜率为. 从而切线方程为.令，解得切线与轴交点的横坐标. （）证：由题设和（）中的计算结果知 . 当时，. 当时，因为， 所以. 综上可得对任意的，均有.52. 【2015高考天津，理18】【答案】(I) ; (II) . (II)
