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1、课次教学计划（教案）课题复合函数教学目标掌握复合函数的复合过程，定义域，值域，单调性与奇偶性的求法一、复合函数的构成设是到的函数，是到上的函数，且，当取遍中的元素时，取遍，那么就是到上的函数。此函数称为由外函数和内函数复合而成的复合函数。 说明：复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围。称为直接变量，称为中间变量，的取值范围即为的值域。与表示不同的复合函数。例1设函数，求若的定义域为，则复合函数中，注意：的值域解复合函数题的关键之一是写出复合过程例1：指出下列函数的复合过程。（1）y=2-x2 (2)y=sin3x (3)y=3cos1-x2解：() y=2-x2是由y=u,u=2-x2复合
2、而成的。 （2）y=sin3x是由y=sinu,u=3x复合而成的。 （3）y=3cos1+x2是由y=3cosu,u=r,r=1-x2复合而成的。例2：复合函数的定义域问题若函数的定义域是0，1，求的定义域；若的定义域是-1，1，求函数的定义域；已知定义域是，求定义域要点1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的 解答：函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数函数的定义域是0，1，B=0,1，即函数的值域为0，1，即，函数的定义域0，函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数的定义域是-1，1，A=-1,1，即-1，,即的值域是-
3、3，1，的定义域是-3，1要点2：若已知的定义域为，则的定义域就是不等式的的集合；若已知的定义域为，则的定义域就是函数 的值域。函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数的定义域是-4，5),A=-4,5)即，即的值域B=-1，8）又是由到上的函数与B到C上的函数复合而成的函数，而,从而的值域的定义域是1，）练习：1，已知f(x)的定义域为0，1,求f(2x-1)的定义域。2，已知f(2x-1)的定义域为0，1,求f(x)的定义域。3，已知f(x+3)的定义域为，,求f（2x-5）的定义域。说明： 已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知中
4、间变量的的取值范围，即，。通过解不等式求得的范围，即为的定义域。已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：若已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知复合函数直接变量的取值范围，即。先利用求得的范围，则的范围即是的定义域,即使函数的解析式形式所要求定义域真包含的值域，也应以的值域做为所求的定义域，因为要确保所求外含数与已知条件下所要求的外含数是同一函数，否则所求外含数将失去解决问题的有效性。2求有关复合函数的解析式，例6已知 求；已知 ，求例7已知 ，求； 已知，求要点3：已知求复合函数的解析式，直接把中的换成即可。已知求的常用方法有：配凑法和换元法。配凑法就是在中把关于变量的表达式先凑成整体
5、的表达式，再直接把换成而得。换元法就是先设，从中解出（即用表示），再把（关于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接换成即得，这种代换遵循了同一函数的原则。例8已知是一次函数，满足，求；已知，求要点4： 当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。 若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法 求函数的解析式。已知满足某个等式，这个等式除是未知量外，还出现其他未知量，如、等，必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出。解析式的求法 练习1. 代入法例1、，求2. 待定系数法例2、二次函数满足，且的两实根平方和为10，图像过点，求解析式3. 换元法例3、，求
6、解析式4. 配凑法（用于二次函数较多）例4、，求解析式5. 消元法（构造方程组法，赋值法）例5、2，求解析式6. 利用函数的性质求解析式例6、已知函数是定义在区间上的偶函数，且时，(1)求解析式(2)若矩形顶点在函数图像上，顶点在x轴上，求矩形面积的最大值例7、已知函数是定义在R上的周期函数，周期，函数是奇函数，又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值，最小值为-5（1）证明：（2）试求，的解析式（3）试求在上的解析式复合函数的值域换元法：（1） 求函数；的值域 分式法求的值域。例1、（指、对数函数作内层函数）己在函数（1）求函数的值域（2）若时，函数的最小值为和最大值例2、（
7、耐克函数）求函数的值域【变式训练】求函数的值域例3、（其它函数复合）求函数的值域二、复合函数的性质1、复合函数在区间上的单调性：（同增异减）,增减性相同时, 为增函数,增减性相反时, 为减函数.求复合函数单调区间的步骤是：(1)求函数的定义域；(2)用换元法把复合函数分解成常见函数；(3)求各常见函数的单调区间；(4)把中间变量的变化区间转化成自变量的变化区间；(5)按复合函数单调性的规律，求出复合函数的单调区间例8、 求下列函数的单调区间： y=(x24x+3)2例9、求复合函数的单调区间 例10、求y=的单调区间和最值。例11、 求y=的单调区间。例12、 求y=1/（x24x+3）的单调
8、区间。2、复合函数的奇偶性若函数的定义域都是关于原点对称的,那么由的奇偶性得到的奇偶性的规律是:函数奇偶性奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数偶函数偶函数即当且仅当和都是奇函数时,复合函数是奇函数.（与奇数偶数的乘法类似）若f（x）=x3, g(x)=x2+1判断以下函数奇偶性：A.f(x）*g（x)B.f(g(x)C.g(f(x)课后作业：1、若函数定义域为，则函数的定义域为 2、已知函数定义域为R，则实数的取值范围是 3、已知，则= 4、已知，则= 5、已知函数的图像与函数的图像关于点A(0,1)对称（1）求函数的解析式（2）若，且在区间上的值不小于6，求实数的取值
9、范围6、设是定义在R上的函数，且满足，当时，求时的解析式7、的定义域为R,则求的取值范围8、已知函数,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性单调性。9、求函数的值域。10、求函数在上的值域。总结：复合函数的构成；设函数，则我们称是由外函数和内函数复合而成的复合函数。其中被称为直接变量，被称为中间变量。复合函数中直接变量的取值范围叫做复合函数的定义域，中间变量的取值范围，即是的值域，是外函数的定义域。有关复合函数的定义域求法及解析式求法：定义域求法：求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式（由解）；求外函数的定义域只要求中间变量的值域范围（由求的值域）。已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域，必须先
10、求出外函数的定义域。特别强调，此时求出的外函数的定义域一定是前一个复合函数的内函数的值域。解析式求法：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法四：外函数解析式其本身决定定义域的主要依据有： 当为整式或奇次根式时，R； 当为偶次根式时，被开方数不小于0（即0）； 当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0； 当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。 当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。 分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。 由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求 对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。 对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。
