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1、2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,1,第2章 抽样分布 Sample Distribution,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,2,2.1 总体与样本 2.2 抽样分布 2.3 统计量分位数 2.4 抽样分布定理 2.5 中心极限定理,本章内容,2 抽样分布,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,3,2.3 统计量分位数 Statistic Fractile,2 抽样分布,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,4,2.3 统计量分位数,(1)事件概率作统计量观察值的下标,统计量X 观察值x 事件Xx 观察值加下标x 概率P(Xx
2、)=,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,6,(3)统计量观察值表为x便于应用,解决两类问题： 已知x求事件Xx的概率 已知概率反求观察值x,x蕴含统计量观察值x、随机事件Xx、事件概率三方面的信息,2.3 统计量分位数,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,7,(4)分布函数F(x)与x的关系,x蕴含统计量观察值x、事件Xx、概率、事件Xx、分布函数F(x)等五方面的信息,2.3 统计量分位数,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,8,(5)分位数定义,若统计量X的观察值x与事件Xx、事件概率之间的关系由下式确定：,则称x为X的上侧分位数，简称分位
3、数或分位点，称为尾概率(tail probability)。,2.3 统计量分位数,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,9,2.3.1 Z统计量分位数 Z-Statistic Fractile,2.3 统计量分位数,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,10,(1)Z统计量分位数z,设ZN(0,1)表征标准正态统计量，若Z的分位数记作z，则分位数z、事件Zz、尾概率、事件Zz、分布函数(z)五者满足下面的关系：,2.3.1 Z统计量分位数,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,11,(1)Z统计量分位数z,2.3.1 Z统计量分位数,z蕴含 统计量观
4、察值z 事件Zz 概率 事件Zz 分布函数F(z) 五方面的信息,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,12,(3)分位数z的对称性,2.3.1 Z统计量分位数,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,13,(4)查表确定分位数z,查正态分布表计算下面的4个分位数：,2.3.1 Z统计量分位数,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,14,2.3.2 2统计量分位数 Chi-Square-Statistic Fractile,2.3 统计量分位数,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,15,2.3.2 2统计量分位数,(1)2统计量分位数2(
5、n),设22(n)，并2统计量分位数记作2(n) 则分位数2(n)、事件22(n)、尾概率、事件22(n)、分布函数F2(n)五者满足下面的关系：,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,16,2.3.2 2统计量分位数,(1)2统计量分位数2(n),2(n)蕴含 观察值2(n) 事件22(n) 概率 事件22(n) 分布函数F(2(n) 五方面的信息,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,17,2.3.2 2统计量分位数,(2)查表确定分位数2(n),查卡方分位数表确定下面4个分位数：,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,18,2.3.3 T统计量分
6、位数 T-Statistic Fractile,2.3 统计量分位数,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,19,2.3.3 T统计量分位数,(1)T统计量分位数t(n),设Tt(n)，并T统计量分位数记作t(n) 则分位数t(n)、事件Tt(n)、尾概率、事件Tt(n)、分布函数Ft(n)等五者之间满足下面的关系：,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,20,2.3.3 T统计量分位数,(1)T统计量分位数t(n),t(n)蕴含 观察值t(n) 事件Tt(n) 概率 事件Tt(n) 分布函数Ft(n) 五方面的信息,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分
7、布,21,2.3.3 T统计量分位数,(2)分位数t(n)的对称性,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,22,2.3.3 T统计量分位数,(3)查表确定分位数t(n),查T分位数表确定下面4个分位数：,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,23,2.3.4 F统计量分位数 F-Statistic Fractile,2.3 统计量分位数,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,24,2.3.4 F统计量分位数,(1)F统计量分位数F(n1,n2),设FF(n1,n2)，F统计量分位数记作F(n1,n2) 则分位数F(n1,n2)、事件FF(n1,n2)、
8、尾概率、事件FF(n1,n2) 、分布函数FF(n1,n2)等五者之间满足下面的关系：,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,25,2.3.4 F统计量分位数,(1)F统计量分位数F(n1,n2),F(n1,n2)蕴含 观察值F(n1,n2) 事件FF(n1,n2) 概率 事件FF(n1,n2) 函数FF(n1,n2) 五方面的信息,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,26,2.3.4 F统计量分位数,(2)分位数F(n1,n2)的反对称性,F统计量的分位数等于自由度对调后1-分位数的倒数 两分位数下标之和等于1,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布
9、,27,2.3.4 F统计量分位数,(2)分位数F(n1,n2)的反对称性,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,28,2.3.4 F统计量分位数,(3)查表确定分位数F(n1,n2),查F分位数表确定下面4个分位数：,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,29,2.3.4 F统计量分位数,(3)查表确定分位数F(n1,n2),2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,30,2.4 抽样分布定理 Sample Distribution,几个正态总体抽样 统计量所服从的分布,2 抽样分布,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,31,2.4 抽样
10、分布定理,设任意总体X的期望E(X)=和方差Var(X)=2 设X1,X2,Xn是来自总体X的简单随机样本 则样本均值的期望和方差为：,(1)任意总体样本均值的期望和方差,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,32,(2)正态总体样本均值及分布,定理一：设X1,X2,Xn是正态总体N(,2)的样本，则样本均值服从期望为方差为2/n的正态分布：,2.4 抽样分布定理,引用任意样本均值的期望为方差为2/n； 再引用教材第3章第5节例1结论“正态随机变量之和仍然是正态分布”，定理得证。,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,33,(2)正态总体样本均值及分布,2.4 抽样
11、分布定理,与总体X的期望和方差2相比较，样本均值统计量的期望仍为，而方差却减小到2/n,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,34,(3)正态总体样本方差及分布,2.4 抽样分布定理,定理二：设X1,X2,Xn是正态总体N(,2)的样本，则对样本均值及方差有下述结论：,(a),其中：,定理二的证明详见教材P172的附录,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,35,(3)正态总体样本方差及分布,2.4 抽样分布定理,示例,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,36,(4)正态总体近似标准化样本均值及分布,样本均值减去它的期望再除以它的标准误称作样本均值的
12、近似标准化变换,定理三：设X1,X2,Xn是总体XN(,2)的样本， 和S2分别是样本均值和样本方差，则,2.4 抽样分布定理,Standard Error,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,37,(4)正态总体近似标准化样本均值及分布,2.4 抽样分布定理,定理三的推证：,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,38,(4)正态总体近似标准化样本均值及分布,2.4 抽样分布定理,示例,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,39,(5)正态总体两独立样本均值差及分布,定理四： 设X1,X2,Xn1是总体XN(1,12)的样本； 设Y1,Y2,Yn2是
13、总体YN(2,22)的样本； 两样本相互独立且有下述统计量：,2.4 抽样分布定理,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,40,则当12=22时，近似标准化样本均值差是T统计量，且服从自由度为n1+n2-2的t分布：,其中复合方差,(5)正态总体两独立样本均值差及分布,2.4 抽样分布定理,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,41,(5)正态总体两独立样本均值差及分布,2.4 抽样分布定理,定理四的推证：,引用任意样本均值的期望为方差为2/n； 再引用教材第3章第5节例1结论“正态随机变量之和仍然是正态分布”，则：,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分
14、布,42,因均值差为正态统计量，则它的标准化变换为Z统计量且服从N(0,1)分布：,(5)正态总体两独立样本均值差及分布,2.4 抽样分布定理,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,43,依据卡方分布可加性可将两样本方差组合成2统计量并服从自由度n1+n2-2的2分布：,根据t分布定义构建T统计量并得其分布：,(5)正态总体两独立样本均值差及分布,2.4 抽样分布定理,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,44,(5)正态总体两独立样本均值差及分布,2.4 抽样分布定理,展开T统计量并化简，得T统计量表达式：,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,45
15、,(5)正态总体两独立样本均值差及分布,2.4 抽样分布定理,展开T统计量并化简，得T统计量表达式：,其中：,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,46,(5)正态总体两独立样本均值差及分布,2.4 抽样分布定理,示例,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,47,(6)正态总体两独立样本方差比及分布,2.4 抽样分布定理,定理五： 设X1,X2,Xn1是总体XN(1,12)的样本； 设Y1,Y2,Yn2是总体YN(2,22)的样本； 两样本相互独立且有下述统计量：,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,48,则下面样本方差比除以总体方差比为F统计量，并
16、服从F(n1-1,n2-1)分布：,特别地当12=22=2时，样本方差比服从F(n1-1,n2-1),(6)正态总体两独立样本方差比及分布,2.4 抽样分布定理,(6)正态总体两独立样本方差比及分布,2.4 抽样分布定理,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,50,(6)正态总体两独立样本方差比及分布,2.4 抽样分布定理,示例,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,51,2.5 中心极限定理 Central Limit Theorem,2 抽样分布,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,52,2.5 中心极限定理,2.5.1 独立同分布 中心极限定理 Central Limit Theorem,2020/7/24,王玉顺：数理统计02_抽样分布,53,2.5.1 独立同分布中心极限定理,问题的提出,案例：一批钢产品的强度服从期望为14、方差为4的未知分布，每箱容量为100件该产品，问：(1)每箱产品的平均强度超过14.5的概率有多少？(2)每箱产品的平均强度超过期望14的概率有多少？,问题
