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1、专题四 数列 第一讲 等差、等比数列的概念与性质,一、主干知识 1.等差数列的定义： an为等差数列_(nN*，d为常数). 2.等比数列的定义： an为等比数列_(其中nN*,an0,q为不为零 的常数).,an+1-an=d,3.等差、等比中项： (1)若x,A,y成等差数列A为x，y的等差中项2A=_. (2)若x,G,y成等比数列G为x,y的等比中项G2=_. 4.数列an的前n项和Sn与通项an的关系式： an=,x+y,xy,Sn-Sn-1,二、必记公式,a1+(n-1)d,(n-m)d,a1qn-1,qn-m,2.(2013安徽高考改编)设Sn为等差数列an的前n项和， S8=4
2、a3,a7=2，则a9=_. 【解析】由S8=4a38a1+ d=4(a1+2d);由a7=-2 a1+6d=-2,联立解得a1=10,d=-2,所以a9=a1+8d=10-16=-6. 答案：-6,3.(2013江西高考改编)等比数列x，3x+3，6x+6，的第四项等于_. 【解析】因为等比数列的前三项为x，3x+3，6x+6，所以(3x+3)2=x(6x+6)， 即x2+4x+3=0，解得x=-1或x=-3. 当x=-1时，3x+3=0不合题意，舍去.故x=-3. 此时等比数列的前三项为-3，-6，-12.所以等比数列的首项为-3，公比为2，所以等比数列的第四项为-324-1=-24. 答
3、案：-24,4.(2013南通模拟)各项均为正数的等比数列an中，a2-a1=1,当a3取最小值时，数列an的通项公式an=_. 【解析】设公比为q,依题意a1q-a1=1,a1= (q1), a3=a1q2= (当且仅当q=2时取等号)，a1=1,所以an=2n-1. 答案：2n-1,5.(2013北京高考)若等比数列an满足a2a4=20，a3a5= 40，则公比q=_；前n项和Sn=_. 【解析】 所以a2+a4=2a1+8a1=20,所以a1=2， 答案：2 2n+12,6.等比数列an的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=. 【解析】由S3=-3S2可得a1+a2+a3=-
4、3(a1+a2), 即a1(1+q+q2)=-3a1(1+q) 化简整理得q2+4q+4=0,解得q=-2. 答案：-2,热点考向 1 等差(比)数列的基本运算 【典例1】(1)(2013新课标全国卷改编)设等差数列an的 前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=_. (2)(2013湖北高考)已知等比数列an满足： |a2-a3|=10,a1a2a3=125 求数列an的通项公式; 是否存在正整数m,使得 若存在,求m的最 小值;若不存在,说明理由,【解题探究】 (1)an与Sn的关系是什么? 提示：an=Sn-Sn-1(n2) (2)怎样求等比数列an的首项a1和公
5、比q? 提示：把已知条件用a1,q表示出来,解方程(组)即可,求 的关键点 ()如何判断数列 的类型? 提示：可根据an先求出 再判断数列类型 ()怎样确定 与1的关系? 提示：根据 的表达式判断,【解析】(1)由已知得，am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3， 因为数列an为等差数列，所以d=am+1-am=1，又因为Sm= =0，所以m(a1+2)=0，因为m0，所以a1=-2， 又am=a1+(m-1)d=2，解得m=5 答案：5,(2)设等比数列an的公比为q,则由已知可得 解得 或 故an= 3n-1，或an=-5(-1)n-1,若an= 3n-1，则 故 是首项为
6、公比为 的等比数列， 从而 若an=(5)(1)n1，则 故 是首项为 公比为1的等比数列，,从而 故 综上，对任何正整数m，总有 故不存在正整数m，使得 1成立,【方法总结】等差(比)数列基本运算中的关注点 (1)基本量. 在等差(比)数列中,首项a1和公差d(公比q)是两个基本量. (2)解题思路. 求公差d(公比q):常用公式an=am+(nm)d(an=amqnm); 列方程组: 若条件与结论的联系不明显时,常把条件转化为关于a1和d(q)的方程组求解,但要注意消元及整体计算,以减少计算量.,【变式训练】设递增等差数列an的前n项和为Sn,已知a3=1,a4 是a3和a7的等比中项.
7、(1)求数列an的通项公式. (2)求数列an的前n项和Sn. 【解析】(1)在递增等差数列an中，设首项为a1，公差为d (d0), 因为,解得 所以an=-3+(n-1)2=2n-5. (2) 所以Sn=n2-4n.,热点考向 2 等差(比)数列的性质 【典例2】(1)(2013天津模拟)等差数列an中,如果a1+a4+a7 =39,a3+a6+a9=27,数列an前9项的和为_. (2)(2013三门峡模拟)在等比数列an中，若a3a5a7a9a11=243, 则 的值为_.,【解题探究】 (1)根据a1+a4+a7=39能求的项是_,根据a3+a6+a9=27能求的项是 _. (2)由
8、a3a5a7a9a11=243可求的项是_，a92与a11之间的关系是 _.,a4,a6,a7,a92=a7a11,【解析】(1)由a1+a4+a7=39,得3a4=39,a4=13. 由a3+a6+a9=27,得3a6=27,a6=9. 所以 答案：99,(2) 在等比数列an中，a3a5a7a9a11=243. 因为a3a11=a5a9=a72， 所以a75=243, 所以a7=3. 结合等比中项的性质可知 答案：3,【互动探究】本例题(1)中条件不变,试求a2+a5+a8的值. 【解析】由本题解析知a4=13,a6=9, 所以a2+a5+a8=3a5=,【方法总结】等差(比)数列的性质盘
9、点,【变式备选】(2013南京模拟)设数列an是公差不为0的等差数列，Sn为其前n项和，若a12+a22=a32+a42,S5=5，则a7的值为_.,【解析】设an的公差为d,则d0. 因为a12+a22=a32+a42,所以a32-a12+a42-a22=0. 即(a3-a1)(a3+a1)+(a4-a2)(a4+a2)=0, 2d(a1+a2+a3+a4)=0. 又因为d0，所以a1+a2+a3+a4=0，S5=5,a5=5. S5= =5a3=5,所以a3=1. 而2a5=a7+a3，所以a7=9. 答案：9,热点考向 3 等差(比)数列的判定与证明 【典例3】(2013无锡模拟)已知各
10、项均为正数的两个数列an 和bn满足： (1)设 求证：数列 是等差数列. (2)若数列an是等比数列，试证其公比等于1.,【解题探究】 (1)要证数列 是等差数列,只需用定义法证明 . (2)证明公比等于1的切入点: 三者的大小关系是 ;,根据得到an+1的范围是 ; 本题直接证明不易证,故由想到可用_法证明等比数列 an的公比等于1.,反证,【证明】(1)因为 所以 所以 所以 所以数列 是以1为公差的等差数列.,(2)因为an0,bn0, 所以 (*)， 设等比数列an的公比为q，由an0知q0，下面用反证法证 明q=1. 若q1则 所以当 时，,与(*)矛盾. 若0q1,则 所以当 时
11、， an+1=a1qn1，与(*)矛盾. 所以综上所述，q=1.,【方法总结】判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法 (1)定义法：对于n1的任意自然数，验证 为同 一常数. (2)通项公式法. 若an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d或an=kn+b(nN*),则数列an为等 差数列; 若an=a1qn-1=amqn-m或an=pqkn+b(nN*),则数列an为等比数列.,(3)中项公式法. 若2an=an-1+an+1(nN*,n2),则数列an为等差数列; 若an2=an-1an+1(nN*,n2),则数列an为等比数列.,【变式训练】已知数列an中,Sn是其前n项和,并且Sn
12、+1=4an+2(n=1,2,),a1=1, (1)设bn=an+1-2an(n=1,2,),求证:数列bn是等比数列. (2)设cn= (n=1,2,),求证:数列cn是等差数列. (3)求数列an的通项公式及前n项和.,【解析】(1)由Sn+1=4an+2,Sn+2=4an+1+2,两式相减,得Sn+2-Sn+1=4(an+1-an),即an+2=4an+1-4an, 所以an+2-2an+1=2(an+1-2an). 又bn=an+1-2an,所以bn+1=2bn 已知S2=4a1+2,a1=1,a1+a2=4a1+2, 解得a2=5,b1=a2-2a1=30 由和得,数列bn是首项为3
13、,公比为2的等比数列,且bn=32n-1.,(2)因为 所以 = 故数列cn是首项为 公差为 的等差数列， 且,(3)因为 所以 当n2时,Sn=4an-1+2=2n-1(3n-4)+2; 当n=1时,S1=a1=1也适合上式. 综上可知,数列an的前n项和Sn=2n-1(3n-4)+2.,【典例】已知数列a1,a2,a30,其中a1,a2,a10是首项为1,公差为1的等差数列;a10,a11,a20是公差为d的等差数列;a20,a21,a30是公差为d2的等差数列(d0). (1)若a20=40,求d. (2)试写出a30关于d的关系式,并求a30的取值范围. (3)续写已知数列,使得a30
14、,a31,a40是公差为d3的等差数列,依次类推,把已知数列推广为无穷数列.提出同(2)类似的问题(2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?,等差(比)数列的综合问题,【解题探究】 (1)a10的双重身份是什么? 提示:a10是公差为1的等差数列的第十项,也是公差为d的等差数列的第一项. (2)a30关于d的函数类型是什么? 提示:二次函数. (3)试用d表示a40,由此你能想到用什么方法得到一般结论? 提示:a40=a30+10d3=10(1+d+d2+d3);可用归纳推理得到一般结论.,【解析】(1)由题意可得a10=10,a20=10+10d=40, 所以d=3. (2)a
15、30=a20+10d2=10(1+d+d2) = 当d(-,0)(0,+)时，a307.5,+). (3)所给数列可推广为无穷数列,其中a1,a2,a10是首项为1,公差为1的等差数列,当n1时,数列a10n,a10n+1,a10(n+1)是公差为dn的等差数列.,研究的问题可以是:试写出a10(n+1)关于d的关系式,并求出a10(n+1) 的取值范围.研究的结论可以是:由a40=a30+10d3=10(1+d+d2+d3), 依次类推可得:a10(n+1)=10(1+d+dn) = 当d0时，a10(n+1)的取值范围为(10,+).,【方法总结】等差(比)数列的综合问题的常见类型及解法
16、(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便. (2)等差(比)数列与函数、方程、不等式等的交汇问题，求解时用等差(比)数列的相关知识，将问题转化为相应的函数、方程、不等式等问题求解即可.,【变式备选】已知在直角坐标系中,An(an,0),Bn(0,bn)(nN*),其中数列an,bn都是递增数列. (1)若an=2n+1,bn=3n+1,判断直线A1B1与A2B2是否平行. (2)若数列an,bn都是正项等差数列,设四边形AnBnBn+1An+1的面积为Sn(nN*).求证:数列Sn是等差数列.,【解析】(1)由题意A1(3,0)，B1(0,4)，A2(5,0)，B2(0，7)
