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1、1 本质本质:随机变量即为定义在上的一个单值函数随机变量即为定义在上的一个单值函数. 第二章随机变量及其概率分布第二章随机变量及其概率分布 1.定义定义 设设,若对其中每一个基本事件都有 唯一的实数与之对应 若对其中每一个基本事件都有 唯一的实数与之对应,则 称 为 则 称 为随机变量随机变量, 或记为或记为X. )( X)( X 1 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数 ., YX其他表示随机变量的符号其他表示随机变量的符号: 例例2 某车站每隔某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车分钟开出一辆公共汽车,旅客 在任意时间到达车站 旅客 在任意时间到达车站,表示该旅客的候车时间表示该旅客的候车
2、时间. 候车时间候车时间 Y 0, 10 E1 :掷硬币掷硬币 = = tail 0 head 1 X例例1 二、随机变量的分布函数 定义 二、随机变量的分布函数 定义 设设X是随机变量是随机变量, x 任意实数任意实数,则称则称 )()(xXPxF=为为X的分布函数的分布函数. 分布函数可以表示分布函数可以表示X在任何区间的概率在任何区间的概率 比如比如: )( 1 xF )()(xXPxF = = )()( 12 xFxF = = )(1 2 xF = = )( 2 xXP = = )( 1 xXP = = )( 21 xXxP = )(1 2 xXP )()( 12 xXPxXP = =
3、 )()( 12 xXxXP 2.对任意实数有对任意实数有 分布函数的性质分布函数的性质 . 1)()(0 . 1=xXPxF )()(xXPxF= ).()()( 1221 xFxFxXxP= )(, 2121 xxxx 4. F(x)是右连续的函数是右连续的函数,即即 )(xF = =)(P . 0 = =+ + )( . 3 F )(limxF x+ = = + )(limxXP x , 1 )(lim)(xFF x = = = = )(limxXP x = =)( P = =+ + )0(xF= = + + )(limtF xt 2 5. F(x)是单调不减函数是单调不减函数,即即 )
4、.()( 2121 xFxFxx )0 注注: 例题以后讲例题以后讲 =)()( ( 12 xFxF)( 21 xXxP因为 时 因为 时, 2 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布 1. 定义定义 若某个随机变量的全部可能值是若某个随机变量的全部可能值是有限个 或 有限个 或无限可列个无限可列个,则称之为则称之为离散型随机变量离散型随机变量. 一、离散型随机变量及其概率分布一、离散型随机变量及其概率分布 2.概率分布律概率分布律:是对离散型随机变量概率的全面 描述 是对离散型随机变量概率的全面 描述. 概率分布律提供的信息概率分布律提供的信息 1.离散型随机变量离散型随机变量
5、X的所有可能值的所有可能值. 2.各个值处的概率各个值处的概率. 0 0.1 0.3 0.6 x P(x) 12 概率分布律的三种表现形式概率分布律的三种表现形式 XX1X2XK P(X) P1P2PK 3. 图图 1. 公式公式2 , 1 , 0,)( 3 5 2 3 3 = k C CC kXP kk 2. 图表图表 2.概率分布律概率分布律:设离散型随机变量设离散型随机变量X的所有 可能值为 的所有 可能值为xk(k=1,2,),且取各个值的概 率为 且取各个值的概 率为P(X=xk)=pk,且有且有 ), 2 , 1( 1 )2L= kpk 称称P(X=xk)=pk(k=1,2,)为为
6、X的概率分布律的概率分布律. , 0 )1 k p 1. 根据分布律求事件的概率根据分布律求事件的概率. 常见的问题常见的问题 2. 根据题目求分布律根据题目求分布律. 3. 根据分布律求分布函数根据分布律求分布函数. 4. 根据分布函数求分布律根据分布函数求分布律. 3 例例 在掷一颗骰子的试验中在掷一颗骰子的试验中,X表示出现的 点数 表示出现的 点数, 则则X的概率分布为的概率分布为 X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 则则P(2.9X5.5)= P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=1/2 例例 一汽车途中需经过一汽车途中需经过3盏信号灯
7、盏信号灯.每盏灯 以 每盏灯 以1/2的概率允许或禁止车的通过的概率允许或禁止车的通过. X=该 汽 车 首 次 停 下 时 通 过 的 路 口的个数 该 汽 车 首 次 停 下 时 通 过 的 路 口的个数.求求: X的分布律的分布律. 解解:依题意依题意, X可取值可取值 P(X=0)= Ai =第第i个路口遇红灯个路口遇红灯, i=1,2,3 设设 路口路口1路口路口2路口路口3 0, 1, 2, 3. P(A1)=1/2, 8 1 2 1 2 1 2 1 = X=该汽车首次停下时通过的路口的个数该汽车首次停下时通过的路口的个数. 路口路口1路口路口2路口路口3 路口路口1 路口路口2
8、路口路口3 Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红灯, i=1,2,3设设 4 1 2 1 2 1 = )1(XP= =)( 21A AP = )2(XP= =)( 321 AAAP 路口路口1路口路口2路口路口3 即 不难看到 即 不难看到 . 1)( 3 0 = = = i iXP X=该汽车首次停下时通过的路口的个数该汽车首次停下时通过的路口的个数 Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红灯, i=1,2,3设设 X0123 Pk1/21/41/81/8 8 1 2 1 2 1 2 1 = = = )3(XP= =)( 321 AAAP 当时当时, 当时当时, 当时当时, 例例 设随机变量设随机变
9、量X分布律如下分布律如下 解解: . 11 103 . 0 00 )( = = x x x xF X01 P0.30.7 求求X的分布函数的分布函数. 01 xxx 00 x= = = =)()(xXPxF 0.3 10 x= = = =)()(xXPxF= = = )0(XP 1 1 x= =)()(xXPxF= = =+=+=)1()0(XPXP 所以所以 分布函数图形如下 分布函数为 分布函数图形如下 分布函数为 = = x x x xF 11 103 . 0 00 )( F(x) x 1 1 0.3 0 4 例例 设设X的概率分布律如下的概率分布律如下,求求X的分布函数的分布函数. =
10、 = 2 21 10 0 )( x x x x xF 解解 X012 P0.40.350.25 0 0.4 0.75 1 (1)离散型随机变量的分布函数是分段函数离散型随机变量的分布函数是分段函数,分 段区间是由 分 段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间的取值点划分成的左闭右开区间; (2)函数值从函数值从0到到1逐段递增逐段递增,图形上表现为阶梯 形跳跃递增 图形上表现为阶梯 形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的 对应概率值 取值区间中新增加点的 对应概率值. 由此可见由此可见 例例 设设X的分布函数如下的分布函数如下,求求X的概率分布律的概率分布律
11、. = = 51 537 . 0 312 . 0 10 )( x x x x xF 解解 X P -1 3 5 0.20.5 0.3 4 常见的离散型随机变量及其分布常见的离散型随机变量及其分布 1. (0-1)分布分布 1 , 0,)1()( 1 = kppkXP kk X10 P(X)p1-p 适用于只有两个试验结果的的随机试验适用于只有两个试验结果的的随机试验. 或 若 或 若X的分布律为 则称 的分布律为 则称X服从服从参数为参数为p的的(0-1)分布分布. 若若X的可能值为的可能值为0,1,2,n,且分布律为且分布律为 ., 1 , 0,)(nkqpCkXP knkk n L= 则称
12、则称X服从服从参数为参数为n, p的二项分布或贝努利 分布 的二项分布或贝努利 分布,记作记作XB(n, p). 2. 二项分布二项分布 . 1, 10 =+=+ )( )( XPX 3.泊松分布泊松分布 则称则称X服从服从参数为参数为的泊松分布的泊松分布. :平均个数平均个数 , 2 , 1 , 0, ! )(L= k k e kXP k 其中其中 = = = = 0 ! k k k e = = e e 性质性质0)(. 1 = = kXP . 1 )(. 3 0 kXP= = = = = = 0 ! . 2 k k k e = = , 1 0 k 最大最大,这里 是整数 不是整数 这里 是
13、整数 不是整数 6 例例4.2 已知某电话交换台每分钟收到的呼叫 次数服从 已知某电话交换台每分钟收到的呼叫 次数服从参数为参数为4的泊松分布的泊松分布,求求 1) 每分钟恰有每分钟恰有6次呼叫的概率次呼叫的概率; 2)每分钟有每分钟有5次以上呼叫的概率次以上呼叫的概率. )4( PX = )6()1XP = )5()2XP 解解: X=每分钟收到的呼叫次数每分钟收到的呼叫次数, = = !k e k = = ! 6 4 46e 1042. 0 )5()0(1= =XPXPL )5(1 XP 2148. 0= = 二项分布和泊松分布的关系二项分布和泊松分布的关系 设是常数设是常数,n是正整数是
14、正整数.若若,0 = = n np ! )1(lim k e ppC k kn n k n k n n = 即即n很大很大,Pn很小时很小时,二项分布近似服从泊松分布二项分布近似服从泊松分布. 泊松定理泊松定理 则对任一固定的非负整数则对任一固定的非负整数k,有有 (n=20, Pn pp k = = = 1 1 )1( k k pp 1= = )1(1 1 p p= p p 1 . 1, 1 0 = = = = q q a aq k k q qa aq nn k k = = = = 1 )1( 1 0 3 连续型随机变量及其概率分布连续型随机变量及其概率分布 设设F(x)是是X的分布函数的分布函数,若有非负可积函数若有非负可积函数f(x), 对任意对任意x,有有 = x dttfxXPxF)()()( 则称则称X为连续型随机变量为连续型随机变量,f(x)为为X的的概率密度函数概率密度函数. 一、连续型随机变量及其概率分布一、连续型随机变量及其概率分布 可见连续型随机变量的分布函数可见连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数是连续函数. = =1即即 , 2 1 22 )1(sin 2 0 )( + = + = x xxA x xF 例例1.2 P39 ).0( XP 求求A使使F(x)连续连续, 解解: , 222 = = =
