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1、,理 论 力 学,2020年7月23日,第一部分 静 力 学,第三章 平 面 任 意 力 系,静力学/第三章：平面任意力系,本章讨论平面任意力系的简化（合成）与平衡 问题。是静力学的重点。原因是： *工程中的许多受力问题可以简化为平面任意力系 *研究平面任意力系的方法具有一般性,平面任意力系的简化的思路 *将力作用面内所有的力移到同一点 *将力系简化（合成）。目的是将力系转化为平面汇交、平面力偶系,引言,静力学/第三章：平面任意力系,在O点作用什么力系才能使二者等效 ?,怎样才能把一个力移到另一个点（不是沿作用线移动），而不改变它对刚体的作用效果？,问题：,静力学/第三章：平面任意力系,F,?
2、,本章的内容主要有,*力的平移定理 *平面任意力系向一点简化 *简化结果讨论 *平面任意力系的平衡条件 *平面平行力系的平衡条件 *物体系统的平衡 *平面简单桁架的内力计算,静力学/第三章：平面任意力系,3 -1 平面任意力系向作用面内一点简化,一. 力的平移定理,作用在刚体上的力可以向刚体上任一点平移，为了不改变原力对刚体的作用效果，平移后需附加一力偶，此力偶的力偶矩等于原力对平移点的矩。,证明：,静力学/第三章：平面任意力系,附加力偶的力偶矩:,即由原力对平移点之力矩决定。,*另外，此定理可看作是将一个力分解为一个力和一个力偶。反之，一个力和一个力偶可以合成为一个力。,即：力向一点平移,
3、得到一个力和一个力偶,力偶的力 偶矩等于原力对平移点之矩.,静力学/第三章：平面任意力系,实例:,攻丝,静力学/第三章：平面任意力系,二、 平面任意力系向一点简化，主矢和主矩,1、 简化 思路：用力的平移定理将各力移至同一点,然后再合成。,将每个力向简化中心O平移,任选一个 简化中心O,其中：,因此：,平面任意力系,平面汇交力系,+ 平面力偶系,静力学/第三章：平面任意力系,向O点简化,平面任意力系,平面汇交力系 + 平面力偶系,合 力 作用于O点,合 力 偶 MO= M,合成：,静力学/第三章：平面任意力系,力系的主矢：,2、力系的主矢和主矩,对O点的主矩：,力系主矢的特点： * 对于给定的
4、力系，主矢唯一； * 主矢仅与各力的大小和方向有关， 主矢与简化中心O 的位置无关。,力系主矩的特点: *力系主矩MO与简化中心O 的位置有关。 因此对于主矩必须指明简化中心。,静力学/第三章：平面任意力系,3、平面任意力系简化的结论,平面任意力系向力作用面内任一点O简化，可得一力和一力偶。该力为该力系的主矢，作用线过简化中心；该力偶的力偶矩等于该力系对简化点O的主矩。,静力学/第三章：平面任意力系,向O点简化,4、平面任意力系简化的步骤,（1）在力作用面内任选一个简化中心O； （2）建立坐标，计算各力在坐标轴上的投影, 得到主矢在坐标轴上的投影,（3） 计算主矢的大小和方向,（4）计算各力对
5、简化中心的矩，从而求出主矩,静力学/第三章：平面任意力系,静力学/第三章：平面任意力系,例 1、为校核重力坝的稳定性，需要确定出在坝体截面上所受主动力的合力作用线，并限制它和坝底水平线的交点E与坝底左端点O的距离不超过坝底横向尺寸的2/3，即 。重力坝取1m长度，坝底尺寸b18 m，坝高 H = 36 m，坝体斜面倾角 70。已知坝身自重W=9.0103 kN，左侧水压F1=4.5103 kN，右侧水压力F2=180 kN,F2力作用线过E点。各力作用位置的尺寸a6.4 m，h10 m，c12 m。试求坝体所受主动力的合力、合力作用线方程，并判断坝体的稳定性。,静力学/第三章：平面任意力系,解
6、：选O为简化中心，建立图示坐标系Oxy。图示 = 90 20。力系向O点简化为,主矩MO,主矢,静力学/第三章：平面任意力系,力系的合力大小FRF R。合力作用线方程由合力矩定理求解,y = 0，得x = 11.40，即合力作用线与坝底交点至坝底左端点O的距离x = 11.40m 。 该重力坝的稳定性满足设计要求。,求合力作用线位置、判定重力坝稳定性,5、平面任意力系简化结果的应用,分析固定端约束的约束力,静力学/第三章：平面任意力系,明显固定端约束有三个待求的未知量,平面任意力系向力作用面内任一点O简化，可得一力和一力偶。,1、 MO 0,此时，原力系与一个力偶等效，合成为合力偶。 在这种情
7、况下，主矩与简化中心的位置无关。,3 -2 平面任意力系的简化结果分析,一、简化结果讨论,静力学/第三章：平面任意力系,问题：,2、 , MO = 0,作用于 点的 是合力吗？,3、 , MO 0,最后可得作用于 点的合力（原力系的合力） 。,这种情况下，可以进一步简化。,d,此时，原力系与一个力等效，该力为原力系的合力，合力作用线过简化中心。,合力作用线位于O点的哪一侧，需由主矩的转向和主矢的方向确定。,静力学/第三章：平面任意力系,即是力平移定理的逆过程。,合力作用线到O点的距离为：,4、 , MO = 0,这是平衡的情况，需专门讨论,5、平面任意力系简化结果小结,(1)合力偶 只有当主矢
8、为零时，才可能为合力偶 (2)合力 当主矢不为零时，可以简化为合力 如主矩为零，则作用于简化中心的主矢即为合力； 如主矩不为零，则可进一步简化为合力 (3)平衡,静力学/第三章：平面任意力系,（1）合力的大小和方向与主矢相同,主矢与简化中心无关； （2）对一给定的力系合力与原力系等效，而主矢不能与原力系等效。,力系的主矢与合力的联系与区别,6、讨论,二、 合力矩定理,定理：,当平面任意力系有合力时，合力对作用面 内任一点的矩等于力系中各分力对同一点 的矩的代数和,即若合力为：,则：,证明：,由平面任意力系简化为合力的情况,有：,而：,所以：,静力学/第三章：平面任意力系,d,3 - 3 平面任
9、意力系的平衡条件和平衡方程,受平面任意力系作用的刚体,平衡,平衡方程,由,平面任意力系的 平衡方程,*平面任意力系有三个独立的方程，可解三个未知量 *投影轴可任选，力矩方程的矩心也可任选,静力学/第三章：平面任意力系,例2、图示构件，主动力及几何尺寸如图。求支座A、B处约束反力 。,解：,取DC为研究对象，受力如图。,分布力用集中力代替：,静力学/第三章：平面任意力系,解：,因为 X 0,主矢 0,可以合成为合力。,合力作用线过A点,合力作用线过B点,合力作用线 过AB连线。,因为 Y = 0,主矢 0，,主矢y轴。,例3 ：已知有一平面任意力系，满足 X 0, Y = 0, A为x轴上的点，
10、B为y轴上的 点，OB=b, 角已知。 求：OA=？,因为,因为,静力学/第三章：平面任意力系,例4：图示机构，P=100kN，M=20kN.m，F=400kN，q=20kN/m, l=1m。求固定端A的约束反力。,解：取ABD为对象，受力图如图示。 其中Fq=1/2q3l=30kN,X=0： FAx+FqFsin600=0,Y=0: FAyPFcos600=0,MAMFql+Fcos600l+Fsin6003l=0,解得：FAx=316.4kN； FAy=300kN MA=1188kN.m (与图示转向相反）,静力学/第三章：平面任意力系, 平衡方程的其它形式,1 二矩式： X = 0,A、
11、B 连线不垂直 于x 轴,A、B、C 三点不 在同一条直线上,附加条件：,附加条件：,2 三矩式：,静力学/第三章：平面任意力系,二矩式的证明：,必要性,即,力系平衡,二矩式成立,由力系平衡,MO0，,则，力系的主矢在任一轴上的投影为零； 对任一点的矩为零。 二矩式成立。,即:,力系平衡,二矩式成立,充分性,则： 力系不可能合成为合力偶， 只可能合成为合力或平衡。,由：,静力学/第三章：平面任意力系,若有合力，则合 力作用线过A点。,若有合力，则合 力作用线过B点。,合力作用线过AB,又因： X = 0 且 x 轴不与AB连线垂直,故必有：合力为零，即力系平衡。,证毕,三矩式的证明类似，请自行
12、证明。,由,由,静力学/第三章：平面任意力系,例5、在例2中，用二距式平衡方程求支座A、B处约束反力 。,解：,取DC为研究对象，受力如图,分布力用集中力代替,静力学/第三章：平面任意力系,3 - 4 平面平行力系的平衡方程,设平面平行力系如图,取y轴与各力平行。,由平面任意力系的平衡方程,其中：,故 ：平面平行力系的平衡方程为：,两个独立的平衡方程，解两个未知量,静力学/第三章：平面任意力系,对于平面平行力系,条件：AB连线不能与各力作用线平行,二矩式平衡方程,静力学/第三章：平面任意力系,例6：起重机自重 P1=700kN, 作用线过塔架中心。最大起重量P2=200kN，最大臂长为12m，
13、轨道间距为4m。平衡荷到塔中心线距离6m。 求：能安全工作时,平衡重P3=?,解：,取整体为研究对象，受力如图,静力学/第三章：平面任意力系,可能的不安全情况 满载时 绕B顺时针翻倒 空载时 绕A逆时针翻倒 不翻倒的条件 不绕B顺时针翻倒的 条件: FA 0,不绕A逆时针翻倒的条件：,问题分析：,FB 0,静力学/第三章：平面任意力系,（1）满载时,由 FA 0 , 得,静力学/第三章：平面任意力系,求解：,（2）空载时,P2 = 0,由：FB 0 ,得,故安全时： 75 kN P3 350 kN,静力学/第三章：平面任意力系,静力学/第三章：平面任意力系,几点讨论：,根据题意选择研究对象,分
14、析研究对象的受力情况，正确地画出其受力图,研究对象与其他物体相互连接处的约束，按约束的性质表示约束反力,正确地运用二力杆的性质和三力平衡定理来确定约束反力的方位,静力学/第三章：平面任意力系,两物体之间相互作用的力要符合作用与反作用定律。,求解过程中，应适当地选取坐标轴。为避免解联立 方程，可选坐标轴与未知力垂直。一矩、二距、三距式形式的平衡方程灵活应用。根据计算结果的正负判定假设未知力的指向是否正确。,3 - 5 物体系统的平衡 静定和超静定问题,物体系统 由若干个物体通过适当的约束相互连接而成的系统,超静定问题的基本概念,对于给定的力系，独立的平衡方程的个数是一定的，当未知力的个数超过独立
15、的平衡方程的个数时，就无法仅由平衡方程解出全部未知力。这种问题称为静不定问题，或超静定问题.,静力学/第三章：平面任意力系,对于超静定问题： 未知约束力数 - 独立平衡方程数 =超静定次数,静定问题,超静定问题（1次）,未知约束力的个数, 独立的平衡方程数, 静定问题,未知约束力的个数, 独立的平衡方程数, 静不定问题；,或超静定问题,静力学/第三章：平面任意力系, 系统静定性的判断,静力学/第三章：平面任意力系,独立的平衡方程数：3 未知力数：3 独立的平衡方程数=未知力数,独立的平衡方程数：3 未知力数：4 未知力数独立的平衡方程数,静定问题,超静定问题,静力学/第三章：平面任意力系,独立的平衡方程数：6 未知力数：6 独立的平衡方程数=未知力数,独立的平衡方程数：6 未知力数：7 未知力数独立的平衡方程数,静定问题,超静定问题,图示物体系统，是否 为静定系统,取整体，受力如图,取AD
