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1、理论力学复习题 计算题题库第一章质点力学点沿空间曲线运动，在点M处其速度为 ，加速度与速度夹角，且。求轨迹在该点密切面内的曲率半径和切向加速度。答：由已知条件得 法向加速度则曲率半径 切向加速度 一点向由静止开始作匀加速圆周运动，试证明点的全加速度和切向加速度的夹角与其经过的那段圆弧对应的圆心角之间有如下关系证明：设点M沿半径为R的圆作圆周运动，t时刻走过的路程为AM=s，速度为，对应的圆心角为。由题设条件知C为常数 积分(b)式得 所以将（c）式代入（a），并考虑，所以质点M的运动方程为 求t=1秒时，质点速度、切向加速度、法向加速度的大小。解：由于 所以有又： 则点M沿半径为R的圆周运动。
2、如果为已知常数），以初始位置为原点，原点初速度为。求点的弧坐标形式的运动方程及点的速度减少一半时所经历的时间。解：设点的初始位置为A。依题意积分上式 得则弧坐标形式的运动方程为当时一质点沿圆滚线的弧线运动，如为常数，则其加速度亦为一常数，试证明之。式中为圆滚线某点P上的切线与水平线（x轴）所成的角度，s为P点与曲线最低点之间的曲线弧长。解：因 故式中=常量（题设）又 而所以故=常数 结论得证设质点沿螺旋线运动，试求质点的速度、加速度和轨道的曲率半径。解：因故所以又所以又所以而小环的质量为m。套在一条光滑的钢索上，钢索的方程式为，试求小环自x=2a处自由滑至抛物线顶点时的速度及小环在此时所受到的
3、约束反作用力。解：小环受力如图示，重力竖直向下，约束力的方向沿着抛物线的法线小环在任意位置P处的运动微分方程为因 而 （s增大而y减小故为负值）（1）式变为 即积分得（因）此即小环自x=2a处自由滑至抛物线顶点时的速度。又 则在抛物线顶点处所以在抛物线顶点处由（2）式知 （因在顶点处）小环在顶点处所受到的约束反作用力为。质点所受的力如恒通过一定点，则质点必在一平面上运动，试证明之。证明：取力通过的定点为坐标原点，则质点的位矢与力共线，则有所以质点的动量矩守恒，即其分量式为由得到由解析几何知识知上式为一平面方程，故质点只能在这个平面上运动。一物体质量m=10kg ,在变力作用下运动。设物体初速度
4、，开始时力的方向与速度方向相同。问经过多长时间后物体速度为零，此前走了多少路程？（知识要点）质点运动学微分方程，质点运动学第二类问题解答：由 得 积分得 再积分 得 由 解得 再代入前式得 S=7.07 m质点作平面运动，其速率保持为常数，试证明速度矢量与加速度矢量正交。证明：采用自然坐标系，由题意知 c为常量于是有又在自然坐标系中所以由于 故 得证动点M以匀速沿轨迹运动，求当时动点M的速度沿x和y分量的大小，以及M的加速度解：由根据求导数得而时（2）代入（1）得整理得代入（2）得又 则即又由数学知识知 而根据微分得 当 时所以有故某力场的力矢为 其中分别为x,y,z轴的单位矢，试证明该力场是
5、否为保守力场，若为保守力场，求出其势能函数。解： +故力场为保守力场。由 （1） 式积分得：对（4）式求偏导数得： 即上式得： 代入（4）式得：对（5）式求偏导数得：即 积分得：代入（5）式得： 取 则所以势能函数为 某力场的力矢为试证明该力场是否为保守力场，若为保守力场，求出其势能函数。解：故力场为保守力场。由 对（1）式积分得：对（4）式求偏导数得：即上式得： 代入（4）式得：对（5）式求偏导数得：即 积分得：代入（5）式得：取 则所以势能函数为已知作用于质点上的力为式上系数都是常数，问这些满足什么条件，才有势能存在？如这些条件满足，试计算其势能。解：要满足势能存在须使力场为保守力场，既力
6、场的旋度为零，所以即 即势能存在满足条件是： 由（1）式积分得（4）式对y偏微分=（2）式得即（5）式积分得（6）式代入（4）式得（7）式对z偏微分=（3）式得即（8）式积分得（9）式代入（4）式得取 则得势能为某力场的力矢为试证明该力场是否为保守力场，若为保守力场，求出其势能函数。解：由于故力场为保守力场由 积分（1）式得（4）式对y偏微分=（2）式得 积分得代（5）入（4）得（6）式对z偏微分=（3）式得 积分得代（7）入（6）得取 则得势能函数为有一质点在xy平面上运动，质点受到的力为，质点在平面上由点A（1,0）沿直线运动到点B（1,1）,求力所作的功解法1：由功的定义计算又所以解法2
7、：由功的定义计算或解法3：由保守力性质计算故力场为保守力场积分（1）式得（4）式对y偏微分=（2）式得 积分得代（5）入（4）得取 则得势能函数为则由保守力与功的关系可知设作用于质点上的力场的力矢为求此质点沿螺旋线运行，自至时力场所作的功解：由保守力性质计算故力场为保守力场积分（1）式得（4）式对y偏微分=（2）式得 积分得代（5）入（4）得（6）式对z偏微分=（3）式得 积分得代（7）入（6）得取 则得势能函数为又由知当时；时则由保守力与功的关系可知有一划平面曲线的点，其速度在y轴上的投影于任何时刻均为常数c，试证明在此情形下，加速度的量值可用下式表示证明1：由 （1）式求导得 （因，故）
8、由此得出 又（2）=（3）得整理得 结论得证证明2： 如图设v与y轴夹角为，则由，故有由图示几何关系知 即又 则有（2）代入（1）得 结论得证33、船得一初速 ，在运动中受到水的阻力，阻力的大小与船速的平方成正比，而比例系数为，其中为船的质量。问经历多长时间船速减为其初速的一半。（15分）解：由题意知 阻力为 则船的运动方程为 即 而时 设船经历时间为时， 积分上式得 即从而得质点M在力的作用下沿x轴作直线运动，在初瞬时，。 求质点的运动方程。解：由 积分 ，得 即 积分 得 已知点的运动方程, 求其轨迹方程, 并自起始位置计算弧长,求出点沿轨迹的运动规律.(1) x=4t-2t2 , y=3
9、t1.5t2(2) x=5cos5t2 , y=5sin5t2(3) x=4cos2t, y=3sin2t解（1）由x=4t-2t2 , y=3t1.5t2.（1）两式相除得所以轨迹方程为是一直线方程得所以速度为全加速度为而切线加速度为，法线加速度由此说明质点作匀减速直线运动。（2） 由x=5cos5t2 , y=5sin5t2.（1）得轨迹方程为是一圆的方程，其半径R=5由（1）式得所以速度为切线加速度为 说明质点作匀加速圆周运动法线加速度为全加速度为（3） 由x=4cos2t, y=3sin2t.（1）得轨迹方程为为一椭圆方程由（1）式得所以速度为全加速度为如图6 -1 所示, 半径为R
10、的车轮在直线轨道上滚动而不滑动, 已知轮心C 的速度是常量u , 求轮缘上一点M 的轨迹, 速度和加速度及轨迹的曲率半径.图6-1解 将M点与地面的接触时的位置作为直角坐标系的原点O , 并建立直角坐标系如图所示, 经过时间t, M 点的坐标为: x = ut - Rsiny = R - Rcos因轮纯滚动, 线段O D 与弧长D M 相等,整理后得运动方程为 从运动方程中消去时间t 后, 得轨迹方程为: .即M 点的轨迹为旋轮线(或摆线) , 速度在x , y 轴上的投影、大小及方向余弦分别为M 点的加速度在x , y 轴上的投影、大小及方向余弦分别为即各点加速度指向轮心又而,由此可求得:
11、证明题证明：质量为m的质量从圆的最高点O由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆周上所需的时间相同。证明：考虑质点在任意一条与过圆心的铅垂线夹角为q 的弦上的运动，则在任意位置的受力如图所示。沿弦的方向用质点动力学基本方程得质点加速度 ，即质点作匀加速运动。考虑到初始条件，不难求得其运动方程为又弦长（从圆顶点滑到圆周上的路程）为质量为m的质量从圆的最高点O由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆周上所需的时间 ，与无关，故质量为m的质量从圆的最高点O由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆周上所需的时间相同。证毕。重为P的小球位于半径为r的光滑球面顶点，小球从静止开始下滑，求小球脱离球面的位置。解：小球运动过程中受力
12、为重力和支持力，只有重力作功，机械能守恒。设球面顶点处为零势能面由机械能守恒定律有故小球在法向方向运动微分方程为小球脱离球面时N=0，所以有（1）代入（2）式有整理有又由几何关系知 （h为自球面顶点起下降高度）得讨论：由以上结论知小球脱离球面位置与小球（质量）无关，当球面不光滑时与小球（质量）有关。可得到运动轨道方程是，此为圆的极坐标方程，所以质点的运动轨道为以a为半径的圆。第二章质点系力学一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为m，炮身及炮车质量和等于M，炮车可以自由地在铁轨上反冲，如炮身与在地面成一角度，炮弹对炮身的相对速度为V，试求炮弹离炮身时对地面的速度及炮车反冲的速度U。解：由于在水平方向（x
13、方向）无外力作用，火药爆炸力为内力，故水平方向动量守恒 即又由相对运动关系知（2）代入（1）得所以如设与水平面夹角为，则讨论：由（4）式知炮车反冲时，由（5）式知重G的物体A带动单位长度的质量为q的软链，以速度向上抛出，如图示。假定软链有足够的长度，求重物所能达到的最大高度。解：取OZ轴铅直向上，O点位于地面。将在空中运动的链条的物体A视为主体。则并入主体的质量元（原先静止于地面）的绝对速度 于是密歇尔斯基方程为因，代入（1）式得用乘上式两端得已知初始条件为时， 所以积分上式得 当时，上升高度正好就是最大值 即某质量为m的质点，其运动方程用矢量式可表达为 ，式中：为质点的矢径，分别为的单位矢。试求：（1） 质点的动能、动量及对坐标原点O的动量矩。（2） 质点对点A（a,b,c）的动量矩。（3） 作用在质点上的力及力的功率。解：（1）动能 动量 动量矩（4） 动量矩（5） 力 功率一人在水平台上走动，此台可通过其中心的铅直轴而旋转，人走的轨迹是以平台中心为圆心，r为半径的圆周，假定人重为p，平台重也为p，其半径也为r，试求当人在平台上走完一周时平台转过的角度。解：以作平台为质点系，受力为重力，方向均向下，与转轴平行，力矩为零。假设平台与转轴接触面光滑无摩擦，故质点系动量矩守恒。在质点系起始时， 在某时刻人相对于平台
