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1、高二数学空中课堂讲义（一）1.如图，在四棱锥中，平面，（I）求证：；（II）求证：设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面?说明理由.2.如图，四棱锥中，平面，为线段上一点，为的中点（I）证明平面；（II）求四面体的体积.【答案】（）见解析；（）（）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为. .9分取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故，所以四面体的体积. 3.如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求点与平面所成的角.【答案】（1）见解析；（2）（2）在平面内作于，因为侧棱底面，所以平面底面，且平面底面，所以平面，所以.又为的中点，所
2、以.所以，且.设点到平面的距离为，又，故.即，所以.即点到平面的距离为.4.已知在四棱锥中，底面是平行四边形，若，（1）求证：平面；（2）若，求四棱锥的体积【答案】(1)见解析;(2).【解析】(1)要证平面平面,只要证平面即可，由可证 ，又，即可证平面；(2) 作，可证平面,由计算即可.（2）作平面平面，且平面平面，平面即由（1）知，底面是菱形，由余弦定理可得，是等边三角形，又在中，由余弦定理，故在中，则5.如图（1），等腰直角三角形的底边，点在线段上，于，现将沿折起到的位置（如图（2）（1）求证：；（2）若，,求点与平面所成角的正弦值【答案】（1）见解析；（2）.试题解析： （1） . 又
3、平面.平面，.（2） 由（1）知，且，所以平面.连结.在中，由余弦定理得，,. 设点到平面的距离为，则由得，所以，所以. 6.如图，四棱锥的底面为矩形，点在底面上的射影在上，分别是的中点.（I）证明：平面；（II）在边上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（I）证明见解析；（II）存在，理由见解析.【解析】（I）点在底面上的射影在上，即面面，又,所以要证得平面，只要证明证明与交线垂直即可；（II）直接证明平面比较困难，可做出一个辅助平面，通过证明该辅助平面与平面的平行，利用面面平行的性质，来证明平面，从而求得的值.试题解析：（I）在矩形中，且是的中点，=, =
4、,即. 由题可知面面，且交线为，面. 7.在四棱锥中， 平面，为的中点，.（1）求证：平面；（2）若为的中点，求证；（3）若为的中点，求到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）取中点，构造平面，只要证平面平面即可，由三角形的中位线定理可证，在平面内，通过内错角相等即，可证明，可证结论成立； （2） 到平面的距离为，求出三棱锥的体积和三角形的面积，通过等体积转换即，即可求出距离.（2）,为的中点, ，平面，.平面.又平面.即为三棱锥的高.，得，从而,在中，.于是，设到平面的距离为，由即，解得，故到平面的距离为.8.如图，在直角梯形中，是的中点，将沿折起，使得面.（1）求证：平面平面；（2）若是的中点，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.（2）ADBC，又BC平面PBC，AD平面PBC，所以AD平面PBC.点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离又PDDC，E是PC的中点，DEPC. 由(1)知有AD底面PCD，所以有ADDE.由题意得ADBC，故BCDE.于是，由BCPCC，可得DE底面PBC.DE，PC2，又AD底面PCD，ADCP，ADBC，ADBC. SPEBSPBCVAPEBVDPEBDESPEB.
