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1、 高中数学专题讲座：圆锥曲线选讲（下） -徐春阳1.圆锥曲线的定义：定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与|FF|不可忽视。若|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。例1-1：方程表示的曲线是_（答：双曲线的左支）2.圆锥曲线的标准方程 标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程：（1）椭
2、圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时1（）。方程表示椭圆的充要条件是ABC0，且A，B，C同号，AB。例2-1:已知方程表示椭圆，则的取值范围为_（答：）；2-2:若，且，则的最大值是_，的最小值是_（答：）(2)双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：1（）。方程表示双曲线的充要条件是ABC0，且A，B异号。例2-3：是双曲线的一条渐近线，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_（）；(3)抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。3.圆锥曲线焦点位置的判断 首先化成标准方程，然后再判断：（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。例3-1：已知
3、方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒：(1)在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； (2)在椭圆中，最大，在双曲线中，最大，。4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：范围：焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其
4、中长轴长为2，短轴长为2；（2）双曲线（以（）为例）：范围：或；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；两条渐近线：。（3）抛物线（以为例）：范围：；焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；准线：一条准线；例4-1：设，则抛物线的焦点坐标为_（答：）；5、点和椭圆（）的关系：（1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上1；（3）点在椭圆内6直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：直线与椭圆相交；直线与双曲线相交，但直线
5、与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。例6-1：若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_（答：(-,-1)）；6-2：直线ykx1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_（答：1，5）（5，+）；6-3：过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若AB4，则这样的直线几条？（3）；（2）相切：直线与椭圆
6、相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；（3）相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。例6-4：过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有_（答：2）；6-5：过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_ （）；6-6：过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，若4，则满足条件的直线有_条（3）；6-7：求椭圆上的点到直线的最短距离（答：）；6-8：直线与双曲线交于、两点。当为何值时，、分别在双曲线的两支上？当为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：；）；6-9：抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到轴的距离为_（答：2）
7、；7、弦长公式 若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则，若弦AB所在直线方程设为，则。例7-1：过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ABO重心的横坐标为_（答：3）；8、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。例8-1：如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ）；8-2：试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称）；
8、 特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！9、了解下列结论（1）双曲线的渐近线方程为；（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）双曲线方程为参数，0）。例9-1：与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为_（答：）（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；（4）若抛物线的焦点弦为AB，则 ； （5）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点。10、动点轨迹方程：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立之间的关系；例10-1：
9、已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程（答：或）；待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。例10-2：线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为（答：）；定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；例10-2：由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，APB=600，则动点P的轨迹方程为（答：）；10-3：点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是
10、_（答：）；10-4：一动圆与两圆M：和N：都外切，则动圆圆心的轨迹为（答：双曲线的一支）；代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；例10-5：动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为_ （答：）；参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。例10-6过抛物线焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB中点M的轨迹方程是_1双曲线的一条渐近线方程为，则_.5. ； 2已知双曲线（，）满足，且双曲线
11、的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为_3. 已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，若经过的直线与椭圆相交于、两点，则的周长等于 ； 4. 双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m= 5、双曲线的焦点到渐近线的距离等于 126某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中、是过抛物线焦点的两条弦，且其焦点，点为轴上一点，记，其中为锐角求抛物线方程；如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求的大小？（1） 由抛物线焦点得,抛物线方程为 （2） 设，则点 所以，既解得 同理： “蝴蝶形图案”的面积令, 则, 时,即“蝴蝶形图案”的面积为87已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，且点在椭圆上（1）求椭圆的方程；2）设是椭圆长轴上的一个动点，过作方向向量的直线交椭圆于、两点，求证：为定值（1） 因为的焦点在轴上且长轴为，故可设椭圆的方程为（）因为点在椭圆上，所以解得所以，椭圆的方程为（2）设（），由已知，直线的方程是，由 （*） 设，则、是方程（*）的两个根，所以有， 所以，（定值） 所以，为定值
