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1、学 海 无 涯 1 阶段性测试题阶段性测试题 万有引力与航天 制卷：潘兴华 满分：100 分 时间：60 分钟 一、选择题（共 6 小题，每小题 8 分，共 48 分。在每小题给出的四 个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对 得 8 分，选对而不全得 4 分，有选错或不答的得 0 分） 1、已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的 6 倍。若某 行星的平均密度为地球平均密度的一半， 它的同步卫星距其表面的高 度是其半径的 2.5 倍，则该行星的自转周期约为（ ） A6 小时 B. 12 小时 C. 24 小时 D. 36 小时 解析： 地球的同步卫星的周期为 T1=24
2、 小时，轨道半径为 r1=7R1， 密度 1。 某行星的同步卫星周期为 T2， 轨道半径为 r2=3.5R2， 密度 2。 根据牛顿第二定律和万有引力定律分别有 1 2 1 1 2 1 3 111 ) 2 ( 3 4 r T m r RGm = 2 2 2 2 2 2 3 222 ) 2 ( 3 4 r T m r RGm = 两式化简得12 2 1 2 = T T小时 2、一物体静置在平均密度为的球形天体表面的赤道上。已知万有 引力常量，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天 学 海 无 涯 2 体自转周期为( ) 1 2 4 () 3G 1 2 3 () 4 G 1 2 () G
3、 1 2 3 () G 解析： 赤道表面的物体对天体表面的压力为零，说明天体对物体的 万 有 引 力 恰 好 等 于 物 体 随 天 体 转 动 所 需 要 的 向 心 力 ， 有 3 2 2 4 2 3 GR m mR RT = ，化简得 3 T G =，正确答案为 D。 3、为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国于 2011 年 10 月发射第一颗火星探测器“萤火一号” 。假设探测器在离火星表面 高度分别为 1 h和 2 h的圆轨道上运动时，周期分别为 1 T和 2 T。火星可视 为质量分布均匀的球体， 且忽略火星的自转影响， 万有引力常量为 G。 仅利用以上数据，可以计算出( ) A
4、火星的密度和火星表面的重力加速度 B火星的质量和火星对“萤火一号”的引力 C火星的半径和“萤火一号”的质量 D火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力 解析：由于万有引力提供探测器做圆周运动的向心力，则有 2 1 2 11 2 () () Mm GmRh RhT =+ + ； 2 2 2 22 2 () () Mm GmRh RhT =+ + ，可求得火 星的质量 2323 12 22 12 4()4()RhRh M GTGT + =和火星的半径 2 2 3 21 1 2 2 3 1 1 T hh T R T T = ， 学 海 无 涯 3 根据密度公式得： 3 3 3 4 4 3 MM
5、M VR R =。在火星表面的物体有 2 Mm Gmg R =，可得火星表面的重力加速度 2 GM g R =，故选项 A 正确。 4、 a 是地球赤道上一幢建筑， b 是在赤道平面内作匀速圆周运动、 距地面 9.6 6 10m 的卫星，c 是地球同步卫星，某一时刻 b、c 刚好位 于 a 的正上方（如图甲所示） ，经 48h，a、b、c 的大致位置是图乙中 的 （取地球半径 R=6.4 6 10m， 地球表面重力加速度 g=10m/ 2 s，=10） ( ) 解析： b、c 都是地球的卫星，共同遵循地球对它们的万有引力提 供向心力，是可以比较的。a、c 是在同一平面内有相同奇偶奥速度转 动的
6、，也是可以比较的，在某时刻 c 在 a 的正上方，则以后永远在正 上方。对 b 有 2 2 2 b bb GMm mR RT = ，GM=R2，化简得 36 3 5 26 2 (16 10 ) 22102 10 10 (6.4 10 ) b b R Ts gR = = 在 48 小时内 b 转动的圈数为 48 3600 20000 b t n T =8.64， 所以 B 正确。 5、2009 年 5 月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务 后，在 A 点从圆形轨道进入椭圆轨道，B 为轨道上的一点，如 图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( ) 学 海 无 涯 4 A在轨道上经过
7、 A 的速度小于经过 B 的速度 B在轨道上经过 A 的动能小于在轨道上经过 A 的动能 C在轨道上运动的周期小于在轨道上运动的周期 D在轨道上经过 A 的加速度小于在轨道上经过 A 的加速度 解析：逐项判断 A根据开普勒定律，近地点的速度大于远地点的速度，A 正确； B由 I 轨道变到 II 轨道要减速，所以 B 正确； C根据开普勒定律，c T R = 2 3 ， 12 RR ，所以 12 TT 。C 正确； D根据 2 R GM a =,应等于，D 错误； 本题选 ABC。本题考查万有引力和开普勒定律 6关于人造地球卫星及其中物体的超重、失重问题，下列说法正 确的是（ ） A. 在发射过
8、程中向上加速时产生超重现象 B.在降落过程中向下减速时产生失重现象 C.进入轨道时作匀速圆周运动，产生失重现象 D.失重是由于地球对卫星内物体的作用力减小而引起的 答案：AC 学 海 无 涯 5 二、填空题（每空 3 分，共 18 分） 7、一颗人造地球卫星离地面高Rh3=（R为地球的半径） 。若已知地 地球表面的重力加速度为g，则卫星做匀速圆周运动的速度是 _，角速度是_，周期是_，若已知地球的质 量为M，万有引力常量为G，则卫星做匀速圆周运动的速度是 _，角速度是_，周期是_。 答案： 三、计算题（本题共 3 小题，共 34 分。解答应写出必要的文字说明、 方程式和重要的演算步骤。只写出最
9、后答案的不能得分，有数值计算 的题，答案中必须明确写出数值和单位。 ） 8、 （10 分）宇宙中一个星球的质量约为地球的质量的 9 倍，半径约 为地球的半径的一半。若从地面上高为h处平抛一个物体，射程为 60m，那么在该星球上，从同样高度以同样的初速度平抛同一个物体， 射程是多大？ 答案：10m 9、 （10 分）假设地球自转速度达到使赤道上的物体能恰好“飘”起 来试计算此时地球上的一天等于多少小时？(地球半径R6.4 10 6m，g10 m/s2) 答案： 1.4 h 解析：赤道上的物体受到的地球引力等于向心力， 即GMm R 2m4 2 T 2R GM R R GM R GM g R R
10、g gR 3 3 3 16 , 8 1 , 4 , 16 , 8 1 , 4 学 海 无 涯 6 又GMm R 2mg 解得：T2 R g23.14 6.410 6 10 s5024 s 1.4 h. 10、 （14 分）如下图，质量分别为 m 和 M 的两个星球 A 和 B 在 引力作用下都绕 O 点做匀速周运动，星球 A 和 B 两者中心之间距离 为 L。已知 A、B 的中心和 O 三点始终共线，A 和 B 分别在 O 的两 侧。引力常数为 G。 求两星球做圆周运动的周期。 在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看 成上述星球 A 和 B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为 T
11、1。但在 近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的 运行周期 T2。已知地球和月球的质量分别为 5.98 1024kg 和 7.35 1022kg 。求 T2与 T1两者平方之比。 （结果保留 3 位小数） 解析： A 和 B 绕 O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提 供向心力，则 A 和 B 的向心力相等。且 A 和 B 和 O 始终共线，说明 A 和 B 有相同的角速度和周期。因此有 RMrm 22 =，LRr=+，连立解得L Mm m R + =，L Mm M r + = 学 海 无 涯 7 对 A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得L mM M T m L GMm + = 2 2 ) 2 ( 化简得 )( 2 3 mMG L T + = 将地月看成双星，由得 )( 2 3 1 mMG L T + = 将月球看作绕地心做圆周运动， 根据牛顿第二定律和万有引力定 律得L T m L GMm 2 2 ) 2 ( = 化简得 GM L T 3 2 2= 所以两种周期的平方比值为 01. 1 1098. 5 1035. 71098. 5 )( 24 2224 2 1 2 = + = + = M Mm T T
