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1、第四章 需求理论本章研究消费者个人需求和市场总需求的变化规律。对于消费者个人需求，主要讨论价格和收入的变化对需求的影响，尤其是要讨论收入效应和替代效应问题。对于市场总需求，主要讨论三个方面的问题：总需求是否还是价格和收入的函数？总需求能否揭示一种消费者偏好？总需求有什么社会福利意义？通过对这些问题的研究，总需求的性质和变化规律便可可得到揭示。本章的讨论仍在商品空间中进行，即假定市场上共有种可供选择的商品。第一节 集值映射集值映射是研究需求的基本工具，是经济学研究中发展起来的一套经济分析方法。上一章中讨论的预算集合同价格与收入之间的对应关系，以及需求集合同价格与收入之间的对应关系，都是集值映射的
2、典型事例。所谓集值映射，是指集合与元素(点)之间的某种对应关系，或者说是一种取值为集合的映射。具体来说，设和是两个集合，如果对于种的任何一个元素，都有的一个子集与之对应，则这种对应关系就称为从到的集值映射，并记作。为了方便起见，今后我们把集值映射也简称作集映。对于这个概念，我们可作两个方面的理解。首先，通常所说的映射或函数都是单值映射或单值函数，即对于自变量的每一种取值，与之对应的因变量的值是唯一的；集值映射则实际上是多值映射，即对于自变量的每一种取值，与之对应的因变量的值是可能有多个。其次，也可把集值映射这种多值映射看成是一种单值映射，即把看成是的幂集的元素，这样一来，就变成了从到的单值映射
3、。因此，集值映射也可记作。 图4-1 集值映射的图像集值映射还可看作是乘积集合的子集。具体来讲，确定了的一个子集，这个子集称为集值映射的图像(如图4-1所示)。显然，不同集映的图像是不同的。集映确定以后，其图像也就唯一确定下来。反过来，只要图像得以确定，集映也就唯一确定了。因此，可把集映与其图像等同看待。对于集值映射，如果对任何，都有，则称为对应。所以，对应是取值为非空集合的集映，也是人们更为感兴趣的集值映射。在集值映射下，的子集的像集是指集合：定义设与都是拓扑空间，集映叫做：(1) 闭(紧、凸)集值的集映，如果对任何,都是的闭(紧、凸)子集；(2) 在点处上半连续，如果对于中任何包含的开集，
4、都存在的邻域使得；(3) 上半连续的集映，如果对任何, 都在处上半连续；(4) 在点处下半连续，如果对中任何与相交的开集，都存在的邻域使得；(5) 下半连续的集映，如果对任何, 都在处下半连续；(6) 在点处连续，如果在点处既上半连续，又下半连续；(7) 连续的集映，如果对任何, 都在处连续；(8) 闭集映，如果的图像是积空间的闭子集；(9) 开集映，如果的图像是积空间的开子集。集映的上半连续性和下半连续性都是函数连续性概念的推广，上半连续性说的是不会突然彭胀，下半连续性说的是不会突然收缩。关于的集映连续性，下面三个定理是基本的和重要的。定理1. 设和都是拓扑空间，且为Hausdorff空间。
5、又设是闭集值的集映，且包含在的某紧子集当中。则上半连续的充分必要条件是为闭集映。定理2. 设是第一可数空间，是Hausdorff空间，是集映，为某个给定的点，在该点处的值是闭集，且存在的邻域使得包含在的某紧子集当中。则在处上半连续的充分必要条件是：对任何及任何序列和，当且时，。定理3. 设和是第一可数空间，是对应，为给定的点。则在处下半连续的充分必要条件是：对于任何及中任何收敛于的序列，存在中收敛于的序列满足。推论. 设和都是拓扑空间，且为Hausdorff空间，为闭集值的闭集映，为某个给定的点。如果存在的邻域使得包含在的某紧子集当中，则在处上半连续。这个推论直接从定理1得到，它比定理1可能更
6、为有用。定理2和定理3分别是集值映射的上、下半连续性的极限形式，因而也是很有用的，为研究集值映射提供了极大的便利。第二节 需求的连续性根据消费最优化确定的需求，是由价格因素与收入因素共同决定的。当这两个因素发生变化时，需求自然会发生变化。需求变动的第一个规律，就是当价格和收入变化不大时，需求也不会发生很大的变化，即需求是随价格和收入连续变动的。一.预算的连续性预算的连续性是需求连续性的基础。没有预算的连续性，就很难保证当价格和收入的变化很小时，需求的变化也很小。因此，为了考察需求的变动规律，需要先来考察消费预算的变化规律。命题1. 设消费集合是商品空间的非空闭子集，则预算集映是闭对应。证明：预
7、算集映是对应，这是明显的事实。以下来证明是闭集映，即证明的图像是的闭子集。为此，设为中的任一序列，且。为了证明是闭集，只需证明(即,也即)。事实上，从立即可知。在此式两边取极限即可得到：。故。命题2. 设消费集合是的下有界非空闭子集，则预算集映上半连续。证明：注意，预算对应是闭集值的闭集映。因此，可应用上一节中的推论来证明本命题。为此，设为任一给定的点。为了说明在点处的上半连续性，只需要找出的一个邻域，使得包含在的某个有界闭子集当中。的下有界性告诉我们，存在向量满足且对一切成立。令则是的邻域。令，其中定义如下：易见，是的有界闭子集(从而是紧子集)。我们指出：。事实上，对任何及，注意，我们有：由
8、此可知，即，从而。这就证明了。既然任意给出，因此。的上半连续性得证。命题3. 设消费集合是的凸子集，则预算集映下半连续。证明：任意给定，我们来证明在处下半连续。注意，和都是第一可数空间，且是对应，因此可应用定理3来证明在处的下半连续性。为此，设且是中任一收敛于的序列。根据定理3，我们只需找到中收敛于的序列使得。显然，。我们按照和两种情形，分别来找这个序列。情形1: 此时，从及可知，存在自然数使得对一切成立。于是，对任何自然数, 当时，任意取定一点；当时，令。显然，且。情形2：此时，从知，存在满足。注意，因此，存在自然数使得和对一切成立。现在，对任何的自然数, 当时，任意取定一点；当时，令，其中
9、。容易看出：(1) 对一切成立； (2) ；(3) 当时，且；(4) 当时，。可见，且。总之，不论是情形1还是情形2，我们都在中找到了某个收敛于的序列使得。于是，在处的下半连续性得证。既然是任意给定的，因此是上半连续的集映。命题2和命题3告诉我们：预算集映的连续性. 在假设HC下，预算集映是连续对应。这就是说，消费集合的非空下有界闭凸性既保证了消费预算不会随价格与收入变化而突然彭胀，又保证了消费预算不会随价格与收入的变化而突然收缩。二需求的连续性现在，我们考察需求的连续性问题。根据第三章第四节关于马歇尔需求的讨论可知，在连续的偏好下，需求集映是对应。实际上，需求集映还是闭集映，即下面命题所述。
10、命题4. 设消费集合是商品空间的下有界非空闭凸子集，偏好关系是连续的。则需求对应是闭集值的闭集映。证明：对于任何，是闭集这一事实是比较容易说明的，其依据是的闭性和中任何两个方案之间的误差异性。下面来证明是闭集映，即证明是的闭子集。为此，设是中的任一序列，并且收敛于某点。我们来证明，即欲证明，也即要证明且对一切成立。注意，并且预算对应上半连续(命题2)。因此，。再注意，预算对应还是下半连续的(命题3)。因此，对于任何的，都存在中的序列满足且。既然，因此。偏好的连续性保证了可在此式两边取极限，于是。这就说明，即。可见，是的闭子集。命题5(需求集映的连续性). 设消费集合是商品空间的下有界非空闭凸子
11、集，偏好关系是连续的。则需求对应上半连续。证明：由于命题4，我们可应用第一节中的推论来证明本命题。设任意给定。我们在证明命题2的时候，曾经找到了的一个邻域使得包含在的某个有界闭子集当中。由于，因此这个邻域也必然使得包含在的这个有界闭子集当中。既然是闭集值的闭集映，根据第一节中的推论便知在处上半连续。而是任意给定的，于是是上半连续的集映。命题5得证。从上一章的讨论可知，在连续的严格凸偏好假设下，理性消费者的需求映射得到了良好的定义(well defined)，即对于任何，需求向量是唯一确定的。不仅如此，从命题5可知需求映射(需求函数)还是连续的(即下面的命题6所述)。因此，只要价格与与收入的变化
12、很小，需求的变化也就很小。命题6(需求映射的连续性). 在假设HC和假设HP下，需求映射是连续映射。第三节 需求的可微分性本节研究需求函数的可微分变化规律，即需求的变化率问题。我们的讨论将在假设HC和HP下进行，并且还要使用效用函数。事实上，需求函数的可微分性同效用函数的拟凹性关系密切，因此本节要进一步讨论效用函数的性质。这里，我们先假定效用函数服从假设HU并且严格拟凹。在这些假定下，消费者的需求向量由价格和收入唯一确定，这就唯一确定下来了消费者的需求映射。对于，。其中的便是商品的需求函数。对于，效用函数在处的二阶偏导数矩阵，称为在处的海森(Hessian)矩阵。在假设HU之下，海森矩阵是对称
13、矩阵。今后，为了方便起见， 把在处的梯度记为。一效用函数的强拟凹性效用函数的拟凹性蕴含着海森矩阵具有某种良好性质，或者说，任何一点处的无差异曲面必然在该点处的切平面的上方。因此，从切平面上看，切点是效用函数在切平面上的最大值点，即切点是切平面上效用最大的点。这就是下面命题所述的事实。命题1. 设消费集合是商品空间的凸子集，效用函数是拟凹的，在处可微，且。对于任何，(1) 如果，那么；也即，如果，那么；(2) 如果, 那么；也即，如果，那么；(3) 进一步，当效用函数严格拟凹并且时，如果，那么；也即，如果，那么。证明：任意给定。(1) 设。的拟凹性保证了对一切成立，从而即，这就证明了(1)。(2
14、) 设。既然，存在的邻域使得, 从而也存在使得。效用函数的拟凹性保证了，而的连续性又保证了存在的邻域（即以为中心的一个开球）使得且对于任何，都有。显然，我们可以在中选取一个符合下列条件的点：对每个，当时，；当时，。对于这样选定的点，从可知。既然，从(1)的结论可知，从而。注意，因此。而，于是。(2)得证。(3) 设严格拟凹，且。令。效用函数的严格拟凹性保证了，于是从(2)的结论可知。将代入此式即可得到，(3)得证。命题2. 设消费集合是的凸子集，效用函数拟凹，在点处二阶可微，并且。则对于任何，都有。这里，“”表示矩阵的转置运算，集合是无差异曲面在点处的切平面。证明：设是命题中给定的点，这意味着
15、存在正实数满足，其中是以为中心、为半径的开球。现在，设是切平面上的任一点。如果，那么是明显的。以下设。于是，必然存在一个正实数，使得且。记，并对每个实数，令。显然，对于任何，都有成立，从而有成立（因为）。这说明，命题1(2)的条件得到满足，因此对一切成立。定义函数如下：。则从上面的讨论知，是在上的最大值点，而且在上二阶可微。根据函数最大值二阶必要条件可知，(这是因为，假如，那么便为的极小值，出现矛盾)。计算可知，结果，。命题得证。效用函数的拟凹性或严格拟凹性，都不足以保证需求函数的可微性。为了用微分法分析消费者需求的变动情况，需要把上述命题中得到的不等式换为严格不等式，即提出效用函数的强拟凹性概念。定义. 设效用函数严格拟凹，在内部二阶可微。叫做在点处强拟凹，是指且对任何,，都有。如果在内部的每个点处都是强拟凹的，则称是强拟凹的效用函数。效用函数的强拟凹性实际上只与消费者的偏好有关，而与二阶可微效用函数的具体选择无关。事实上，对于等价的效用函数与来说，从第三章第3节的讨论可知，存在严
