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1、等比数列性质一、选择题1.已知数列成等差数列, 成等比数列,则的值为( )A、 B、 C、或 D、2.等比数列中,为方程的两根,则的值为( ) 5.等比数列的各项均为正数,且18,则( ) A12 B10 C8 D26.是公差不为0的等差的前项和,且成等比数列,则等于 ( )A. 4 B. 6 C.8 D.107.公差不为零的等差数列的前项和为,若是与的等比中项,则等于A、28 B、32 C、36 D、408.等比数列的前项和为,若,则公比为( ) A.1 B.1或1 C.或 D.2或29.已知等比数列an 的公比为2,前4项的和是1,则前8项的和为 A 15 B17 C19 D 21二、填空
2、题13.设等比数列的前n项和为。若,则= 15.等比数列的公比, 已知=1,则的前4项和= 16.等比数列的前项和=,则=_.三、解答题17.(2006全国卷理)设数列的前项的和,()求首项与通项;()设,证明:3.解: ()由 Sn=an2n+1+, n=1,2,3, , 得 a1=S1= a14+ 所以a1=2.再由有 Sn1=an12n+, n=2,3,4,将和相减得: an=SnSn1= (anan1)(2n+12n),n=2,3, 整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 因而数列 an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=44n1=
3、 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, ,()将an=4n2n代入得 Sn= (4n2n)2n+1 + = (2n+11)(2n+12) = (2n+11)(2n1) Tn= = = ( )所以, = ) = ( ) 8.(2006安徽理)数列的前项和为,已知()写出与的递推关系式,并求关于的表达式;()设,求数列的前项和。8.解:由得:,即,相加得:,又,所以,当时,也成立。()由,得。而,所以,对成立。由,10.(2005山东文)已知数列的首项前项和为,且(I)证明数列是等比数列;(II)令,求函数在点处的导数10.解:由已知可得两式相减得,即从而当时,,所
4、以又所以,从而故总有,又,从而,即数列是以为首项,2为公比的等比数列;(II)由(I)知因为所以从而=-=.例题2. (2007年二次月考)设数列的前n项和为Sn,若是首项为1,各项均为正数且公比为q的等比数列. (1)求数列的通项公式; (2)试比较的大小,并证明你的结论.解析:()是各项均为正数的等比数列. 当n=1时,a1=1, 当。()当n=1时, 当当q=1时,当当综上可知: 当n=1时,当 若 若点评:本题考查了等比数列的基本知识,还要注意分类讨论。考点二:求数列的通项与求和例题3. (2007年5月湖北省十一校).已知数列中各项为:个个 12、1122、111222、 (1)证明
5、这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. (2)求这个数列前n项之和Sn . 解析:先要通过观察,找出所给的一列数的特征,求出数列的通项,进一步再求和。答案:(1) 个记:A = , 则A=为整数 = A (A+1) , 得证 (2) 点评:本题难点在于求出数列的通项,再将这个通项“分成” 两个相邻正数的积,解决此题需要例题4. (云南省2007年第一次高中毕业生复习统一检测) 已知是数列的前n项和,并且=1,对任意正整数n,;设). (I)证明数列是等比数列,并求的通项公式; (II)设的前n项和,求.解析:(I)两式相减:是以2为公比的等比数列, (II)而 点评:本题利用转化思想将递推关
6、系式转化成我们熟悉的结构求得数列的通项,第二问求和用到裂项的办法求和。考点三:数列与不等式的联系例题5.(2007年5月莆田四中)已知为锐角,且,函数,数列an的首项. 求函数的表达式; 求证:; 求证:解析:本题是借助函数给出递推关系,第(2)问的不等式利用了函数的性质,第(3)问是转化成可以裂项的形式,这是证明数列中的不等式的另一种出路。答案:解: 又为锐角 都大于0 , , 又 点评:把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想,本题中的第(3)问不等式所给的式子更具有一般性。例题7.(2007年5月2007浙江省五校) 已知函数,数列满足, ; 数列满足, .求证:()() ()若则
7、当n2时,.解析:第(1)问是和自然数有关的命题,可考虑用数学归纳法证明;第(2)问可利用函数的单调性;第(3)问进行放缩。答案:解: ()先用数学归纳法证明,.(1)当n=1时,由已知得结论成立;(2)假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0x1时,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在上连续,所以f(0)f()f(1),即0. 故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.又由, 得,从而.综上可知()构造函数g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0.因为,所以,即0,从而() 因为 ,所以, , 所以 , 由()知:, 所以= ,因为, n2, 所以
8、 = .由 两式可知: .点评:本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题,属于难题,复习时应引起注意。考点四:数列与函数、向量、概率等的联系例题8.(四川省南充高级中学2008届十月份月考)无穷数列的前n项和,并且(1)求p的值;(2)求的通项公式;(3)作函数,如果,证明:解析:(1),且p1,或若是,且p1,则由,矛盾故不可能是:,且p1由,得又,(2),当k2时,n3时有对一切有:(3),故又故点评:本题是函数、不等式的综合题,是高考的难点热点。例题8.(2007年5月徐州市)已知函数f(x)=,设正项数列满足=l, (1)写出、的值; (2)试比较与的大小,并说明理由;(3)设
9、数列满足=,记Sn=证明:当n2时,Sn(2n1)分析:比较大小常用的办法是作差法,而求和式的不等式常用的办法是放缩法。解:(1),因为所以(2)因为所以,因为所以与同号,因为,即(3)当时,所以,所以 点评:本题是函数、不等式的综合题,是高考的难点热点。例题12. (2007年5月宁波市三中) 已知数列中, (1)求;(2)求数列的通项; (3)设数列满足,求证:分析:条件中有类似于前n项和的形式出现,提示我们应该考虑anSnSn1(n2)解:(1)(2) 得即:,所以所以(3)由(2)得:,所以是单调递增数列,故要证:只需证若,则显然成立若,则所以因此:所以所以 点评:与数列相关的不等式证明通常需要“放缩”,而放缩的“度”尤为关键,本题中这种拆分方法是数学中较高要求的变形.答案一、选择题1.A2.B3.B4.B5.B6.C7.B8.B9.A10.B11.C12.D 13.314.-115.16.三、解答题20.解析:(1)由已知为常数.故数列为等差数列,且公差为 (先求也可) 4分(2)因,又,所以由由. 8分(3)因当时,所以时,; 又可验证是时,;时,. 12分