《第2讲 直线、平面平行和垂直的判定与性质（知识点串讲）（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第2讲 直线、平面平行和垂直的判定与性质（知识点串讲）（解析版）（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二讲直线、平面平行垂直的判定与性质【知识梳理】1直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)la，a，ll性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行线线平行)l，l，blb2判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)(3)利用面面平行的性质定理(，aa)(4)利用面面平行的性质(，a，a，aa)【考点精炼】考点一：直线与平面平行的判定例1、(2019陕西西安调研)如图所示，四边
2、形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：APGH.证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点，又M是PC的中点，APOM.又MO平面BMD，PA平面BMD，PA平面BMD.平面PAHG平面BMDGH，且PA平面PAHG，APGH.练习、如图所示，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的中点(1)证明AD1平面BDC1；(2)证明BD平面AB1D1.证明(1)D1，D分别为A1C1与AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形，C1D1DA，C
3、1D1DA，四边形ADC1D1为平行四边形，AD1C1D.又AD1平面BDC1，C1D平面BDC1，AD1平面BDC1.(2)连接D1D.BB1平面ACC1A1，BB1平面BB1D1D，平面ACC1A1平面BB1D1DD1D，BB1D1D.又D1，D分别为A1C1AC中点，BB1DD1，四边形BDD1B1为平行四边形，BDB1D1.又BD平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，BD平面AB1D1.练习、如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CDAB.求证：四边形EFGH是矩形证明CD平面EFGH，而平面EFGH平面BCDEF，CDEF.同理H
4、GCD，EFHG.同理HEGF，四边形EFGH为平行四边形，CDEF，HEAB，HEF为异面直线CD和AB所成的角又CDAB，HEEF.平行四边形EFGH为矩形【知识梳理】3.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行面面平行)a，b，abP，a，b性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，a，bab4.判定面面平行的四种方法(1)利用定义，即证两个平面没有公共点(不常用)(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)(4)利用平面平
5、行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)【考点精炼】考点二：平面与平面平行的判定与性质例2、(2019年南宁月考)如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面(2)E，F分别是AB，AC的中点，EFBC.EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1GEB且A1GEB，四边形A1EBG是平行
6、四边形，A1EGB.又A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.又A1EEFE，A1E，EF平面EFA，平面EFA1平面BCHG.变式探究在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1平面AC1D.证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，四边形A1ACC1是平行四边形，M是A1C的中点，连接MD，D为BC的中点，A1BDM.A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，DM平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1BD，四边形BDC1D1为平行四边形，DC1BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，DC1平面A1BD1.又DC1DMD，DC1
7、，DM平面AC1D，平面A1BD1平面AC1D.训练、如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点(1)求证：BE平面DMF；(2)求证：平面BDE平面MNG.证明(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为ABE的中位线，所以BEMO，又BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DEGN，又DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为ABD的中位线，所以BDMN，又MN平面MNG，BD平面MNG，所以BD平面MNG，又DEBDD
8、，DE平面BDE，BD平面BDE，所以平面BDE平面MNG.【知识梳理】5、重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a，a，则.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a，b，则ab.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若，则.【考点精炼】考点三：与线面平行相关的命题真假判断例3(2019山东日照月考)若m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A 若，m，则mB若m，nm，则nC若m，n，m，n，则D若m，m，n，则mn【答案】D对于A，若，m，则m或m，故A错误；对于B，若m，nm，则n或n或n与相交，故B错误；对于C，若m，n，m，n，则或、相交，故
9、C错误；对于D，若m，m，n，由线面平行的性质定理，可得mn，故D正确练习(全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()【答案】AA项，作如图所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QDAB.QD平面MNQQ，QD与平面MNQ相交，直线AB与平面MNQ相交B项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ.C项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ.D项，作如图所示的辅助线，则ABCD
10、，CDNQ.ABNQ.又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，AB平面MNQ.【知识梳理】6直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab7证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”(4)利用面面垂直的性质定理8证明线线垂直的常用
11、方法(1)利用特殊图形中的垂直关系(2)利用等腰三角形底边中线的性质(3)利用勾股定理的逆定理(4)利用直线与平面垂直的性质【考点精炼】考点四：直线与平面垂直的判定与性质例4(2019湖南六校联考)已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下列给出的条件中一定能推出m的是()A且mB且mCmn且nDmn且【答案】C由线面垂直的判定定理，可知C正确练习、（2019年潍坊月考）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置OD.求证：DH平面ABCD.证明由已知得ACBD，ADCD.又由A
12、ECF得，故ACEF.因此EFHD，从而EFDH.由AB5，AC6得DOBO4.由EFAC得.所以OH1，DHDH3.于是DH2OH2321210DO2，故DHOH. 又DHEF，而OHEFH，且OH，EF平面ABCD，所以DH平面ABCD.【知识梳理】9平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交， 如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直l10.面面垂直的两种证明方法(1)定义法：利用
13、面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决【考点精炼】考点五：面面垂直的判定与性质练习、(北京卷)如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点(1)求证：PABD；(2)求证：平面BDE平面PAC；(3)当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积(1)证明因为PAAB，PABC，所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC，所以PABD.(2)证明因为ABBC，D为AC的中点，所以BDAC.由(1)知，PABD，所以BD平面PAC，所以平面BDE平面PAC.(3)解因为PA平面BDE，平面PAC平
