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1、第7讲 基本不等式（专题测试）参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1（2020黔东南州模拟）若log2x+log4y1，则x2+y的最小值为（）A2B2C4D2【解析】解：因为log2x+log4ylog4x2+log4ylog（x2y）1，x2y4（x0，y0），则x2+y24，当且仅当x2y2时等号成立，则x2+y的最小值为4故选：C【点睛】本题考查了对数的运算法则与基本不等式的性质应用，属于基础题2（2020春西城区校级月考）已知a0，b0，a+b1，若，则+的最小值是（）A3B4C5D6【解析】解：a0，b0，a+b1，若，+a+b+1+3+3+25，当且仅当，也即当ab时，+取最
2、小值5故选：C【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题3（2020温岭市校级模拟）若正实数a，b，满足a+b1，则+的最小值为（）A2B2C5D4【解析】解：根据题意，若正实数a，b，满足a+b1，则+32+35，当且仅当b3a时等号成立，即+的最小值为5；故选：C【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意基本不等式的形式，属于基础题4（2019秋南城县校级期末）已知正数x，y满足x+y1，且m，则m的最大值为（）ABC2D4【解析】解：根据题意，正数x，y满足x+y1，则+（y+1）+4+（x+1）+4（+）5，又由+（+）（x+1）+（y+1）8+，当且仅当xy时等号成立，
3、则（+）55，即的最小值为，若m，则m的最大值为；故选：B【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意对的变形，属于基础题5（2020大观区校级模拟）如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的（）A最小长度为8B最小长度为4C最大长度为8D最大长度为4【解析】解：设BCa，CDb，则ab4，所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为2a+b2a+，当且仅当2a即a时取等号，此时长度取得最小值4故选：B【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题6（2019秋淮安期末）函数y2x+（x1）的最小值是（）A2B4
4、C6D8【解析】解：因为y2x+（x1），2（x1）+26，当且仅当2（x1）即x2时取等号，此时取得最小值6故选：C【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题7（2020德阳模拟）已知x，y为正实数，则的最小值为（）ABCD3【解析】解：x，y为正实数，+（1+）121413，当且仅当即x3y时“”成立，故选：D【点睛】本题考查了基本不等式的性质，注意应用性质的条件，本题是一道基础题8（2019秋常州期末）在下列函数中，最小值是2的是（）A（xR且x0）BCy3x+3x（xR）D）【解析】解：当x0时，y0，排除A，lgx在1x10无解，大于2，但不能等于2，排除Bsinx在
5、0x上无解，）大于2，但不能等于2，排除D对于函数y3x+3x，令3xt，则t0，yt+22，（当且仅当t1，即x0时取等号）y3x+3x的最小值为2故选：C【点睛】本题考察了均值定理求函数最值的方法，解题时要牢记口诀一“正”，二“定”，三“等号”，并用此口诀检验解题的正误9（2020浙江模拟）对于c0，当非零实数a，b满足4a22ab+4b2c0，且使|2a+b|最大时，的最小值为（）ABC2D2【解析】解：4a22ab+4b2c0，（a）2+，由柯西不等式得，（a）2+22+（）22（a）+b2|2a+b|2故当|2a+b|最大时，有，ab，c10b2，+（）2（）22，b时，取得最小值为
6、2故选：C【点睛】本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于中档题10（2019秋龙岩期中）已知实数a，b满足a24lnab0，cR，则（ac）2+（b+2c）2的最小值为（）ABCD【解析】解：x代换a，y代换b，则x，y满足：x24lnxy0，即yx24lnx（x0），以x代换c，可得点（x，2x），满足2x+y0因此求（ac）2+（b+2c）2的最小值，即为求曲线yx24lnx上的点到直线2x+y0的距离的最小值的平方设直线2x+y+m0与曲线yx24lnxf（x）相切于点P（x0，y0），f（x）2x，则f（x0）2x02，解得x01，切点为P（1，1）点P到直线2x+y0的距
7、离d，则（ac）2+（b+c）2的最小值为（）2故选：B【点睛】本题考查了利用导数研究曲线的切线性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，问题转化是解题的关键，属于中档题二填空题（共4小题）11（2020全国卷模拟）已知实数x，y满足y2x0，则的最小值为【解析】解：设t，由题意知t2，则t+，令f（t）t+，t2，f（x）10，f（t）在t2上单调递增，f（t）f（2），故答案为：【点睛】本题考查导数求最值，使用不等式求最值时，注意取等号时的条件，属于中档题12（2020嘉兴模拟）已知正实数x，y满足x+2y3，则xy的最大值为，的最小值为2【解析】解：正实数x，y满足x+2y3，
8、由基本不等式可得，3x+2y2，当且仅当x2y时取等号，则xy，即最大值；2，故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑13（2020和平区模拟）已知a0，b0，当（a+4b）2+取得最小值为8时，a+b【解析】解：因为a0，b0，所以a+4b，当且仅当a4b时取等号，所以（a+4b）216ab，则（a+4b）2+8，当且仅当即a1，b时取等号，此时取得最小值8，a+b故答案为：8，【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关于是在两次基本不等式的应用中等号成立条件的检验14（2020汉中一模）已知函数f（x）loga（x+3）1（a0且a1）
9、的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+40上，其中mn0，则的最小值为【解析】解：由f（x）loga（x+3）1知，f（x）过定点A（2，1）因为点A在直线mx+ny+40上，所以2m+n4，又mn0，所以m0，n0，所以，当且仅当，即m，n3时取等号，所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了函数过定点问题和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属中档题三解答题（共3小题）15（20203月份模拟）已知实数x、y、z满足x2y+z4（1）求x2+y2+z2的最小值；（2）若yx+z，求xz的最大值【解析】解：由柯西不等式可得（x2y+z）212+（2）2+12（x2+y2+z2
10、），x2+y2+z2，当且仅当且x2y+z4即x，y，z时取等号，故x2+y2+z2的最小值，（2）由yx+z及x2y+z4可得x+z4，因为x2+z22xz，（x+z）24xz，即xz4，当且仅当xz2时取等号，此时xz取得最大值4【点睛】本题主要考查了利用基本不等式及柯西不等式求解最值问题，属于基础试题16（2019秋葫芦岛期末）设a，b是正实数，求证：（1）若a+2b1，求a2+b2的最小值；（2）若a2+4b21，求的最大值【解析】解：（1）法 一：由得，0b，于是a2+b2（12b）2+b25b24b+1，当b时，a2+b2取得最小值为，法二：（a2+b2）（12+22）（ a+2b
11、）21，当且仅当a时等号成立，此时a2+b2的最小值为；（2）法一：（）2a2+（2b）2（）2+124，当且仅当2b时等号成立，因为a，b是正实数，所以的最大值为2，法二：设acos，bsin，0，cos+sin2sin（+），+，当+时sin（+）max1，的最大值为2，【点睛】本题主要考查了利用不等式的性质求解最值或范围，要注意多种解法的灵活应用17（2019秋南山区校级期末）已知正实数x，y满足等式2x+5y20（1）求ulgx+lgy的最大值；（2）若不等式+4m恒成立，求实数m的取值范围【解析】解：（1）因为x0，y0，由基本不等式，得又因为2x+5y20，所以，xy10，当且仅当，即时，等号成立此时xy的最大值为10所以ulgx+lgylgxy1g101所以当x5，y2时，ulgx+lgy的最大值为1；（2）因为x0，y0，所以，当且仅当，即时，等号成立所以的最小值为不等式恒成立，只要，解得所以m的取值范围是【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值及不等式的恒成立与最值的相互转化关系的应用 11 / 11
