《第3讲 等差数列及其前n项和（专题测试）（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第3讲 等差数列及其前n项和（专题测试）（解析版）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、必修5 第3讲 等差数列及其前n项和（专题测试）参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1（2020宜昌模拟）我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等的若干段时，其重量从粗到细构成等差数列若将该金杖截成长度相等的20段，则中间两段的重量和为（）A斤B斤C斤D斤【解析】解：现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤假定该金杖被截成长
2、度相等的20段时，其重量从粗到细构成等差数列则等差数列an中，S44，S20S162，解得，d，则中间两段的重量和为：a10+a112a1+19d2+19（）（斤）故选：C【点睛】本题考查等差数列的两项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（2020大连一模）设Sn为等差数列an的前n项和，若a4+a512，则S8的值为（）A14B28C36D48【解析】解：Sn为等差数列an的前n项和，a4+a512，S841248故选：D【点睛】本题考查直角三角形三边长的比的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3（2020春静海区校级期中）在公比q为
3、整数的等比数列an中，Sn是数列an的前n项和，若a1+a418，a2+a312，则下列说法错误的是（）Aq2B数列Sn+2是等比数列CS8510D数列Bx|xA且x2A是公差为2的等差数列【解析】解：由题设条件知：，解得：或q为整数，故选项A说法正确；S2n+12，Sn+22n+1，数列Sn+2是等比数列，故选项B说法正确；又S8292510，故选项C说法正确；故选：D【点睛】本题主要考查等比数列基本量的运算，属于基础题4（2020广州模拟）已知an是等差数列，a35，a2a4+a67，则数列an的公差为（）A2B1C1D2【解析】解：an是等差数列，a35，a2a4+a67，解得a11，d
4、2数列an的公差为2故选：D【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5（2020兴宁区校级模拟）设等差数列an的前n项和为Sn，a44，S945，a10（）A20B10C44D55【解析】解：等差数列an的前n项和为Sn，a44，S945，解得a11，d1，a101+910故选：B【点睛】本题考查等差数列的第10项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6（2020丹东一模）中国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为一十五尺”，则该女子第六日所织（）
5、A5尺B6尺C7尺D8尺【解析】解：由题意可得，7a1+21d28且a1+d+a1+4d+a1+7d15，解可得，a1d1，a6a1+5d6故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式在实际问题中的应用，属于基础试题7（2020广西模拟）等差数列an中，已知a1+a910，则a3+a4+a5+a6+a7（）A5B10C15D25【解析】解：等差数列an中，已知a1+a9102a5，a55，则a3+a4+a5+a6+a75a525，故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题8（2020深圳二模）在等差数列an中，Sn为其前n项的和，已知3a85a13，且a10，若Sn取
6、得最大值，则n为（）A20B21C22D23【解析】解：由题意3a85a13，化简得：3（a1+7d）5（a1+12d），又a10，a1d，d0，Snna1+ddn220dnn20为对称轴，即n20时，Sn有最大值故选：A【点睛】本题是一个最大值的问题，主要是利用等差数列的性质与等差数列的前n项和的公式以及结合二次函数的性质来解题9（2019春武汉期中）已知等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，若，则的值为（）ABCD【解析】解：依题意，数列an、bn是等差数列，设Snkn（n+2），（k0），则Tnkn（n+1），所以故选：A【点睛】本题考查了等差数列的前n项和与二次函数的关系、等差
7、数列的通项与前n项和的关系属于中档题10（2020茅箭区校级模拟）记等差数列an的前n项和为Sn，若Sk10，Sk5，Sk+112（k2），则S2k（）A67B77C60D50【解析】解：设等差数列an的公差为d，若Sk10，Sk5，Sk+112（k2），（k1）a1+d0，ka1+d5，（k+1）a1+d12，化为：k，a12d7，代入ka1+d5，解得：k5，a13，d2，则S2kS1010（3）+260故选：C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二填空题（共4小题）11（2020吴兴区校级模拟）已知等差数列an满足：a10，a4，a5是方程x
8、2+mx10（mR）的两根，数列的前n项和为Sn，于是当Sn最大时，n4，的取值范围是（，1）【解析】解：a4，a5是方程x2+mx10（mR）的两根，a4+a5m，a4a510，于是当Sn最大时，则有首项a1大于0，公差d小于0，an为递减的等差数列，所以a40，a50所以n4时Sn最大，即a1+3d0，a1+4d0，所以3da14d，所以43，设x，4x3，所以+，y+单调递减，所以y（，1），所以的取值范围是（，1）故答案分别为：4，（，1）【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12（2020茂名一模）已知数列an满足an0，且lgan
9、，lgan+1，lgan+2成等差数列，若a3a4a6a74，则a5【解析】解：由题意可得，lgan+lgan+22lgan+1，即，即数列an为等比数列，由等比数列的性质可得，a3a4a6a74，an0，则a5故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础试题13（2019秋安徽期末）周髀算经中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为15.5尺【解析】解：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、
10、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列an，冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，解得d1，a115.5冬至的日影子长为15.5尺故答案为：15.5尺【点睛】本题考查等差数列的首项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14（2019春兴宁区校级期中）等差数列an的前n项和为Sn，且a26，a3+a627，设Tn，若对于一切正整数n，总有Tnt成立，则实数t的取值范围是）【解析】解：设公差为d，由题意得：，联立解得a13，d3an3+3（n1）3nSnTn，Tn+1Tn，当n3时，TnTn+1，且T1
11、1T2T3Tn的最大值为若对于一切正整数n，总有Tnt成立，则实数t的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三解答题（共3小题）15（2019西湖区校级模拟）设an是首项为a1，公比为q的等比数列，且a11（）若a1，a2，a3成等差数列，求数列an的通项公式；（）Sn为数列an的前n项和，当q2时，令bnlog2（Sn+1），求证：数列bn是等差数列【解析】解：（）an是首项为a1，公比为q的等比数列，且a11a1，a2，a3成等差数列，2a2a1+a3，2q1+q2，解得q1，数列an的通项公式an1（
12、）Sn为数列an的前n项和，当q2时，2n1，bnlog2（Sn+1）n，bn+1bnn+1n1数列bn是等差数列【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等差数列的证明，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题16（2019新课标）记Sn为等差数列an的前n项和已知S9a5（1）若a34，求an的通项公式；（2）若a10，求使得Snan的n的取值范围【解析】解：（1）根据题意，等差数列an中，设其公差为d，若S9a5，则S99a5a5，变形可得a50，即a1+4d0，若a34，则d2，则ana3+（n3）d2n+10，（2）若Snan，则na
13、1+da1+（n1）d，当n1时，不等式成立，当n2时，有da1，变形可得（n2）d2a1，又由S9a5，即S99a5a5，则有a50，即a1+4d0，则有（n2）2a1，又由a10，则有n10，则有2n10，综合可得：n的取值范围是n|1n10，nN【点睛】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式，涉及数列与不等式的综合应用，属于基础题17（2020肥城市模拟）已知公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，a12a92，S618（1）求an的通项公式；（2）求Sn的最大值及对应n的大小【解析】解：（1）设an的公差为d，且d0由，得a1+4d0，由S618，得，解得a18，d2an的通项公式为an102n，nN*（2）由（1），得n2+9nnN*，当n4或n5时，Sn有最大值为20【点睛】本题主要考查等差数列的基础知识，考查了方程思想、函数思想的应用，本题属中档题 11 / 11
