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1、北京师范大学“十五”“211工程”重点学科建设项目之五数学与系统科学学科建设项目可行性研究报告一、 总论(一) 项目名称：数学与系统科学(二) 项目定义：以随机数学、复杂性研究与智能控制为中心，并与基础数学、计算机科学、统计物理、信息技术、经济学、管理科学等学科交叉渗透。在科学研究与人才培养两方面推动有关学科的发展。(三) 项目所属领域：属于数学、应用数学和系统科学的交叉领域。(四) 建设单位：北京师范大学数学系与管理学院。(五) 可行性报告编制的依据：国家计委、教育部、财政部关于“十五”期间加强“211工程”项目建设的若干意见、一委两部“十五”“211工程”中央专项资金分配方案及“211工程
2、”部际协调小组办公室的有关部署；北京师范大学“十五”发展规划纲要和北京师范大学“十五”发展规划行动计划。(六) 主要建设内容：1. 建设“随机数学研究中心”；2. 建设“复杂性研究中心”；3. 建设“模糊系统与模糊信息研究中心”和“复杂系统智能控制实验室”；4. 建设“基础数学研究中心”；5. 外文图书期刊；6. 学术交流与访问进修；7. 队伍建设与人才培养。(七) 项目建设组织及项目负责人：项目负责人为王梓坤院士与陈木法教授，主要成员包括陆善镇教授、方福康教授、李洪兴教授及他们所带领的研究集体。涵盖这些研究集体的二级学科有：概率论与数理统计学科 (国家级重点学科，承担国家创新研究群体科学基金
3、项目和杰出青年基金项目)、应用数学学科 (博士点)、基础数学学科 (博士点)、系统理论(国家级重点学科) 和系统科学 (一级学科博士学位授权点)。二、项目建设意义和必要性数学，作为基础科学的基础，早已确立了在科学研究和技术发展中的重要地位。随着科学的发展与技术进步，作为数学的重要分支，随机数学的重要性受到了越来越广泛的认同。不仅在科学研究 (包括数学的研究) 中使用随机数学的思想和工具已成为一种潮流，而且“随机性”早已融入了人们的日常生活 (如每天的天气预报都在使用“概率”一词)。目前，加强对国民进行“随机性”的教育已成为国内、外教育界的共识，如初步的概率统计知识已被纳入中、小学教育的课本中。
4、在国际上，随机数学的普及与研究工作受到广泛重视，许多世界数学强国都拥有国际化的随机数学中心 (如美国Cornell大学、英国剑桥大学、法国巴黎六大、日本京都大学、俄国科学院信息传输问题研究所等)。这些研究中心每年都选择面向世界的研究课题，开展国际学术研讨与交流，成为推动随机数学与相关学科发展的重要力量。可见，为把我国建成世界数学强国，普及和发展随机数学是极为必要的，为此我们需要建设自己的世界性的随机数学中心。随机数学的实用部分 (如数理统计方法) 在科学研究与社会调查等各方面的应用比较容易被大家接受。为增强该项目的说服力，我们列出随机数学在数学的基础理论研究中的几项重要应用：1. Atiyah
5、-Singer指标定理这是近几十年来数学的重大成就之一，1984年J.M. Bismut给出了概率证明。基于他的概率想法，E. Getzler于两年后给出了一个简单的分析证明，只用了7页纸。有了这么简短的证明，其内涵也就清楚了。2. 亚椭圆型的Hrmander定理P. Malliavin于1976年使用随机方法证明了线性PDE中的一条大定理，即Hrmander定理。之后发展出系统的随机变分学理论，被称为Malliavin分析。该理论已成为无穷维分析的研究基础。3. 完全非线性方程的Krylov-Safonov估计首先由N.V. Krylov使用概率方法得到，目前已有分析证明。该估计是非线性方程
6、发展的里程碑。数学与系统科学共同构成了自然科学、工程控制科学、经济学和管理科学等其他学科的基础，Science杂志在1999年曾发表专辑阐述复杂性科学对众多学科的可能影响和进展。由于复杂性理论和分析方法在解决复杂系统的问题上的前景和威力，复杂性被包括斯蒂芬霍金在内的众多著名科学家誉为“21世纪的科学”，在全球引起一场关于复杂性研究的科学竞争。欧洲、美国、澳大利亚和日本都已建立复杂性研究中心。由于复杂性研究在生命、生态、气象气候、地形地貌、资源环境、人口和社会经济等系统中的贡献，中国科学家竞赛之初就已加入，多次召开以复杂性为主题的国际会议，建立系统科学一级学科，国家自然基金委员会还建立了复杂性研
7、究专项基金并提出了复杂性研究计划以资助复杂性科学的研究，在“十五攻关”项目中国可持续发展信息共享系统的开发研究中设立了利用复杂性理论开展工作的子课题生态系统评价和人力资本信息共享研究。尽管中国科学家已经有了一些工作，但是还需要国家的重点支持，集中优势力量形成一支有较大国际影响的复杂性研究的队伍,以促进有关学科的发展，同时为国家制定政策提供有力的智力支持。针对复杂系统的智能控制是不确定性数学 (包括随机数学与模糊数学)与计算机科学的交叉领域，有着广泛的应用前景。数学与计算机科学的密不可分早已形成共识，例如计算机科学的奠基人是数学家冯诺依曼 (Von Neumann，他也是复杂性研究的先驱)，控制
8、论的奠基人是数学家维纳 (N. Wiener)。数学对控制论发展的作用似乎胜过数学对计算机科学发展的作用。反过来，控制论的发展又强有力地刺激数学的发展。世界数学联盟秘书长著名数学家P.A. Griffiths在一次会议中以“二十一世纪科学和数学的趋势”为题作了一个重要报告，指出“目前的时代显然是一个黄金时代. 其原因之一是数学开始与科学和工程非常密切地相互作用。这种相互作用促使科学得到新的视野，也促使数学得到根本性的进步，”。总之，以随机数学、复杂系统与智能控制为中心并着力向其它学科交叉渗透为指导思想来立项，有利于推动数学与系统科学在基础研究与应用两方面的发展。本项目以三个强有力的研究群体为支
9、撑，同时得到来自全校相关研究集体的大力支持。下面就四个方面进一步阐明本项目的意义与可行性。(一) 随机数学以北师大的概率论研究群体为主要力量。该群体获国家创新研究群体基金、973项目和国家杰出青年基金资助。他们拥有40年的传统和三代人的工作积累，在粒子系统、跳过程、耦合理论与应用、随机分析与应用、超过程等领域获得了一批标志性成果，受到国内、外同行专家的广泛引用与好评。一些成果被国际学者作为重要文献和基本工具反复引用，并被以贡献者的姓氏命名。相当多的工作属于概率论、统计物理、分析和几何的交叉领域，为学科之间的渗透发展起到推动作用。从下面所列出的国际同行的部分评价，可以看出该研究集体的国际影响与学
10、术地位：1. 关于陈木法专著 (1986年北京师范大学出版社；1992年世界科学出版社) 的评价(1) Rachev (Zbl. Math. 753, 1993)：作者是中国杰出的概率论与随机过程专家，创立了一个中国的马氏过程学派。(2) T.M. Liggett (Math. Review, 1994)：作者所领导的在北京的一个学派致力于交互作用粒子系统的构造与遍历理论的研究 该书不仅是该研究领域概率学家的有益参考书，也是对概率论国际交流的一个贡献。(3) R. Durrett (SIAM Review, Book Reviews, 1993): 陈的书包括了广泛的且不被其它文献涵盖的论题。
11、如果你对交互作用粒子系统有兴趣，这本书应该在你的书柜中。(4) C. Maes与S.B. Shlosman (1993)，P.A. Ferrair (2000)，T. Seppalainen (2002) 和T.M. Liggett (1994, 1997, 1999) 等人，多次将陈书列为交互作用粒子系统研究中的标准参考书。(5) 陈木法有三项成果被写进W.J. Anderson (1991) 的总结性专著。他关于反应扩散过程的构造被R. Durrett等人称为“陈氏构造”。2. 关于耦合理论及应用(1) C. Meise (J. Appl. Probab. 1999)：陈 (指陈木法，下同
12、) 所发明的距离方法(2) L. Miclo (Markov Proc. Rel. Fields, 1999)：陈的耦合与距离方法，新型Cheeger不等式(3) K. Burdzy与W.S. Kendall (Ann. Appl. Probab. 2000)：如何鉴别耦合方法的好坏？陈对这一问题作了贡献，他提出了“最优耦合”的概念(4) L.M. Wu (preprint, 2002)：对于若干重要情形，陈得到定理1.3的谱隙，这自然引导出下述问题。追随陈关于谱隙估计的重要工作。陈，陈和王得到了谱隙精确估计，下述结果启发于他们的工作。对于生灭过程，陈使用耦合方法和Wasserstein距离，
13、得到了的新的变分公式，覆盖了先前众多估计并提供了新估计。命题8.6中关于的变分公式在很大程度上仿照陈关于的变分公式。(5) R. Bhattacharya (Ann. Appl. Probab. 1999)：在最近的研究马氏过程收敛速度的估计的重要的方法中，我们提及Chen and Wang (1994, 1997) (指陈木法和王凤雨，下同) 和Diaconis and Saloff-Coste (1996) 中的方法。(6) Stochastic Proc. Appl. 审稿报告 (Wang 2002)：I enjoyed reading and strongly recommend th
14、e publication of (7) E.P. Hsu在专著“Stochastic Analysis on Manifolds”(AMS. Providence, R.I. 2002) 中介绍了陈木法与王凤雨关于第一特征值估计的工作。他在一个书评中 (Math. Review, 2002) 写到：another pair of Chinese mathematicians, M.F. Chen and F.Y. Wang, succeeded in giving a highly motivated probabilistic proof (of Zhong-Yangs estimate)
15、。3. 关于新型Harnack不等式 (也被称作Wangs Harnack inequality)(1) PTRF的审稿报告 (1997)：我以极大的兴趣阅读该文，感到非常有趣。最重要的方面是给出了log-Sobolev常数与维数无关的下界，否定了F.R.K. Chung和S.-T. Yau的一个猜测。结果是新的和原创的。我愿意强烈地推荐这篇文章(2) S. Aida (JFA, 1998)：我们证明半群超有界的核心是基于王 (指王凤雨) 的工作 (指新型Harnack不等式)。(3) M. Ledoux (LNM. 1755, Springer-Verlag)：我们的论证基于F.-Y. Wa
16、ng新近的一个结果。王给出了Harnack-type不等式，导出与维数无关的估计(4) S.G. Bobkov, I. Gentil, M. Ledoux (J. Math. Pures Appl. 2001)：这些结果的证明依赖于Bakry-Emery方法以及Wangs Harnack不等式(5) S. Aida and H. Kawarbi (1999)：Wangs dimension free Harnack inequality (6) D. Bakry, M. Ledoux, Z. Qian (preprint)：F.-Y. Wang 43 (的结果) 在我们的研究中扮演非常重要角色。(7) 把该不等式称为Wangs Harnack inequality
