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1、8.3 单步法的收敛性和稳定性,8.3.2 单步法的稳定性,8.3.1 单步法的收敛性,8.3.1 单步法的收敛性,数值解法的基本思想就是要通过某种离散化方法，将微分方程转化为某种 差分方程（例如，（8.1.8）式）来求解。这种转化是否合理，还要看差分方程 的解 ，是否收敛到微分方程的准确解 。,定义8.3 对于任意固定的 ，若对于初值问题（8.1.1）的显式 单步法（8.1.8）产生的近似解 ，均有 ，则 称该方法是收敛的。 在定义中， 是固定的点，当 时有 ，n不是固定的。显 然，若方法是收敛的，则在固定点 处的整体截断误差 趋 于零。下面给出方法收敛的条件。 定理8.1设初值问题（8.1
2、.11）的单步法（8.1.8）是p阶的（ ），且函数满足对y的Lipschitz条件即存在常数 ，使,对一切 成立，则方法（8.1.8）收敛，且 。,因为（8.1.8）是p阶的，所以存在 ，当 时有 。 再用 的Lipschitz条件有,为了方便，记 ，即有 。由此可推得,利用关系式,（8.3.1）,8.3.2 单步法的稳定性,对于一种收敛的相容的差分方程，由于计算过程中舍入误差总会存在，我们 需要讨论其数值稳定性。一个不稳定的差分方程会使计算解失真或计算失败。 为了讨论方便起见。将（8.1.1）中的 在解域内某一点 作 Taylor展开并局部线性化，即,现在讨论显式Euler法的稳定性。将显
3、式Euler法用于试验方程（8.3.2），有 。当 有舍入误差时，其近似值为 ，从而有 。令 ，得到误差传播方程。,令 ，只要 ，则显式Euler方法的解和误差都不会恶性 发展，即 时，显式Euler方法是稳定的，即是条件稳定的。 对于梯形方法，应用于试验方程后，有,同理，有误差方程 ，其中 。 因此当 时，梯形方法是稳定的。,定义8.5 若（8.3.3）式中的 ，则称对应的单步法是绝对稳定的。在复 平面上， 满足 的区域，称为方法的绝对稳定区域，它与实轴的交 称为绝对稳定区间。,一些单步法的 表达式和它们的绝对稳定区间列于表8-4。从表中可见， 隐式方法比显式方法的绝对稳定性好。,解 本题 分别为-1，-2，-4。有表8-4可知，当 时，该方法 才稳定，计算结果列于表8-5,由表8-5可见，h=1和h=2时，计算结果确实稳定，h=4时，结果发散。此外，h为1的计算精度比h为2的计算精度高。因为h 越小，方法的截断误差越小。但若h过分小的话，计算步数非常多，其累积误差会增加。所以，实际计算时，应选取合适的步长，常常采用自动变步长的R-K方法。,
