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1、在空间：一个自由质点位置需要3个独立参数，即自由质点在空间有3个自由度。 在平面：需要2个独立参数，即质点有2个自由度。 受到运动约束：质点自由度数将减少。 完整约束：约束方程中不含速度项； 稳定（定常）约束：约束方程中不显含时间t 若具有n个质点的质点系，有s个完整约束方程：, 3-1 自由度和广义坐标,则：n个质点的质点系总自由度数为：,描述质点系在空间位置的独立参数，称广义坐标； 完整系统，广义坐标数目等于自由度数目。,由无重刚杆与小球构成平面摆，做定轴转动，摆长为l，是具有1个质点的平面质点系，自由度为2，有1个约束方程：,用一个独立参数表示。,若质点限定在半球面上运动，球半径为R，是
2、具有1个质点的空间质点系，自由度数为3，有1个约束方程：,自由度数为：,通常用2个独立参数和表示,自由度数为：,用q1、q2、qN表示质点系广义坐标： 对完整约束质点系，各质点坐标可表示为广义坐标的函数。,进行变分计算：,设n个质点组成质点系受s个双面约束,为广义虚位移。虚位移用广义坐标表示。,同理：,设：,则：,它的量纲由对应的广义虚位移而定。,为广义虚位移,称为广义力,k为线位移， Qk 量纲是力的量纲； k为角位移， Qk 量纲是力矩的量纲。,由于广义坐标都是独立的，广义虚位移是任意的。 上式成立必须满足：,质点系的平衡条件是所有的广义力都等于零,质点系具有N个自由度，有N个广义力，则有
3、N个平衡方程是互相独立的，可联立求解质点系的平衡问题 。 大多数工程机构只有一个自由度，这只需要列出一个广义力等于零的平衡问题。,广义力求解方法有两种：,法1.,给质点系一个广义虚位移不等于零，而其它（N-1）个广义虚位移等于零。,法2.,质点系在势力场中，质点系上的主动力都为有势力，则势能应为各质点坐标的函数，总势能为V表示为：,虚功为：,虚位移原理表达为：,在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件为质点系的势能在平衡位置处的一阶变分为零。,用广义坐标表示质点系位置。在势力场中，质点系势能可表示为广义坐标函数，总势能为V为：,广义力为：,在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是势能对于
4、每个坐标的偏导数分别等于零。,平衡条件为：,法3:,（314）,即：在势力场中具有理想约束的质点系的平衡条件是势能对于每个广义坐标的偏导数分别等于零。,在稳定平衡的平衡位置处，系统势能具有极小值,在不平衡位置上，系统势能具有极大值,对于随遇平衡，系统在某位置附近其 势能是不变的，所以其附近任何可能 位置都是平衡位置。,稳定平衡,不稳定平衡,对于一个自由度系统，系统具有一个广义坐标q,因此系统势能可以表示为q的一元函数，,即,当系统平衡时，,根据式（314），,在平衡位置处有,如果系统处于稳定平衡状态，则在平衡位置处。系统势能 具有极小值，即系统势能对广义坐标的二阶导数大于零。,上式是一个自由度
5、系统平衡的稳定性判据。,对于多自由度系统平衡的稳定性判据可参考其他书籍。,例1 复合摆机构， A、B点位置作用力F1 ,F2， F. 。用广义坐标表示A、B点位置，求平衡时作用力F1 ,F2， F与1，2关系。,解：方法 1： 1）取整个系统为研究对象，A,B 2个质点具有4个自由度。 两个约束方程：,该质点系自由度数为：4-2=2,可以用2个独立参数。,表示,2）用广义坐标表示A,B,（4）虚位移原理：,直接计算：,方法 2：,不变，给 虚位移,不变，给 虚位移,选题,设有一质点系由n个质点组成，质点系中第i个质点质量为mi，作用在该质点上的主动力的合力为Fi，约束反力的合力为FNi . 如
6、果假想地加上该质点的惯性力FIi=-miai，由达朗贝尔原理，Fi 、Fni、 FIi构成平衡力系。整个质点系应组成平衡力系，质点系具有理想约束. 应用虚位移原理，得到：,3-3 动力学普遍方程,在理想约束的条件下，质点系的各个质点在任一瞬时所受的主动力和惯性力在虚位移上所作的虚功和等于零。 称为动力学普遍方程。,得到：,例1 图示滑轮系统，动滑轮上悬挂质量为m1的重物，绳子绕过定滑轮后悬挂质量m2重物，滑轮和绳子重量以及轮轴摩擦忽略不计，求m2重物下降的加速度。,解： （1）取整个系统为研究对象，（2）受力分析 系统的主动力为：m1g、 m2g,2）给系统虚位移s1 和s2,惯性力为：,设m
7、2重物下降的加速度为a2， 设m1重物下降的加速度为a1。,代入加速度和虚位移关系得到：,3）动力学普遍方程：,选题,例3-5 如图二相同圆轮半径皆为R，质量皆为m，轮可绕O轴转动，二轮相连绳铅直时，轮中心C的加速度。,解： （1）取系统为研究对象 （2）力分析： 作用的主动力mg,（3）设轮的角加速度为1 轮的角加速度为2,轮惯性力偶：MI=J11 轮I 惯性力偶：MI=J22 惯性力：FI=maC,4)加虚位移： 轮： 轮I ：,I 轮定轴转动,II 轮平面运动 取B为基点,5) 动力学普遍方程：,由虚位移的任意性：,解得：,选题, 3-4 第一类拉格朗日方程,设n个质点组成质点系受s个双
8、面约束,设：,由动力学普遍定理：,第一类拉格朗日方程,例3-6 如图所示的运动系统中，可沿光滑水平面移动的重物M1的质量为m1；可在铅直面内摆动的摆锤M2的质量为m2。两个物体用无重杆连接，杆长为l。求此系统微幅摆动的周期。,解： 1）取整个系统为研究对象。选取坐标轴如图所示，则M1和M2的坐标各为x1、y1和x2 、y2。 2）运动分析： 系统受到水平面和刚性杆的约束，有2个约束方程。,约束方程微分，消去,当系统各质点的虚位移不独立时，要找到虚位移之间的关系不方便。 动力学普遍方程用独立的广义坐标表示，可推导出第二类拉格朗日方程，这种方法便于求解非自由质点系的动力学问题。 设一质点系由n个质
9、点组成，系统具有s个完整理想约束，具有N=3n-s个自由度。用q1、q2、qn表示系统的广义坐标。 设系统中第i个质点的质量为m1，矢径为 ri，矢径ri可表示为广义坐标和时间的函数：, 3-5 第二类拉格朗日方程,由质点系普遍方程：,上式第一项又可以表示为：,注意：这里不是研究平衡问题，所以Qk不一定为零。,代入上式第二项得:,对于完整约束的系统，其广义坐标是相互独立的。 所以广义坐标的变分是任意的，为使上式成立，必须有：,这是具有N个方程的方程组，其中第二项与广义力对应，称为广义惯性力。 表明广义力与广义惯性力相平衡，是达朗伯原理的广义坐标表示。 对广义力做如下变换,1.证明：,进一步简化
10、，先证明两个等式,对时间求导数,其中,是广义坐标和时间的函数，而不是广义速度的函数。,再对 求偏导数：,得证,在完整约束下,对某qj求偏导数,2.证明 ：,由此得证,其中,为质点系的动能,该方程组中方程式的数目等于质点系的自由度数，每一个方程都是二阶常微分方程。,得,上式称为拉格朗日方程,于是拉格朗日方程可写成,上式就是保守系统的拉格朗日方程。 记L=T-V，L称为拉格朗日函数或动势。,如果作用在质点系上的主动力都是有势力，则广义力Qk可写成,拉格朗日方程用动势L =T-V表示,拉格朗日方程是解决具有完整约束的质点系动力学问题的普遍方程，是分析力学中重要的方程。 拉格朗日方程的表达式非常简洁，
11、应用时只需计算系统的动能和广义力； 对于保守系统，只需计算系统的动能和势能。,因为势能是坐标的函数,解： 1）取系统为研究对象 此系统具有一个自由度。 以物块平衡位置为原点，取x为广义坐标如图。 2）以平衡位置为重力势能零点，系统在任意位置x处的势能为,例 6 如图所示的系统中，A轮沿水平面纯滚动，轮心以水平弹簧联于墙上，质量为m1的物块C以细绳跨过定滑轮B联于A点。A、B二轮皆为均质圆轮，半径为R，质量为m2。弹簧刚度为k，质量不记。当弹簧较软，在细绳能始终保持张紧的条件下，求此系统的运动微分方程。,0为平衡位置弹簧伸长量。,2）运动分析；,B轮角速度为,A轮质心速度为,A轮角速度为,物块速
12、度为,此系统的动能为：,3）代入拉格朗日方程,4）系统的运动微分方程为,得,注意,系统的动势为：,选题,例7 如图所示的运动系统中，可沿光滑水平面移动的重物M1的质量为m1；可在铅直面内摆动的摆锤M2的质量为m2。两个物体用无重杆连接，杆长为l。求此系统微幅摆动的周期。,解： 1）取整个系统为研究对象。选取坐标轴如图所示，则M1和M2的坐标各为x1、y1和x2 、y2。 2）运动分析： 系统受到水平面和刚性杆的约束，所以具有两个自由度。,3）拉格朗日方程列出系统的微分方程。 系统的动能为：,选x1和为广义坐标，则有：,其中：,选M1在水平面上而M2在最低处为系统的零势能位置，则系统的势能为：,
13、代入拉格朗日方程,如果M2摆动很小，则可近似地认为,且可忽略高阶小量，上式可改写为,解为 ：,圆频率为 ：,摆动周期,如果m1远大于m2，则M1的位移x1将很小，M2的摆动周期将趋近于普通单摆的周期：,选题, 3-6 拉格朗日方程的初积分,对于保守系统，在一定条件下，可以直接给出初积分的一般形式。,1.能量积分,若系统所受到的约束均为定常约束，,则式（34）中不显含时间t，,从而,（327）,为关于 的二次齐次函数，,其中,是广义坐标的函数，,称为广义质量，,容易证明,（328）,上式也称为关于齐次函数的欧拉定理，,注意势能V不含 项，,从而,将式（326b）对k求和,（329）,积分上式，,
14、有,这就是保守系统的机械能守恒定律。,也称为保守系统中拉格朗日方程的能量积分。,2.循环积分,如果拉格朗日函数L中不显含某广义坐标 ，,则称该坐标为循环坐标，此时,从而有,上式称为拉格朗日方程的循环积分。,如果引入广义动量,则有,式（331a）也称为广义动量守恒,例 3-9：图表示一个均质圆柱体，可绕其垂直中心轴自由转动，圆柱 表面上刻有一倾角为的螺旋槽，今在槽中放一小球M ，自静止开 始沿槽下滑，同时使圆柱体绕轴线转动，设小球质量为 ，圆柱体 的质量为 ，半径为R，不计摩擦。,求：当小球下降的高度为h时，小球相对于圆柱体的速度以及 圆柱体的角速度。,解：,小球与圆柱体组成的系统是具有两个自由
15、度的系统，,并具有稳定、完整、理想约束，,因为系统所受的主动力是重力，,所以是保守系统。,取圆柱体的转角 ，和沿螺旋槽方向的弧坐标s为广义坐标。,取小球为动点，,圆柱体为动系，,利用点的速度合成公式，,则小球的动能为,圆柱体的动能为,系统的动能为,可见此时动能T是广义速度 和 的二次齐次函数。,若选择小球起点为零势能点。,则系统势能V可表示为,系统的拉格朗日函数为：,由于L中不显含时间t和广义坐标 ，,系统有能量积分和循环积分，,于是我们有两个一次积分式,将动能和势能表达式代入上式得,（a）,（b）,将初始条件t=0时,，代入上式,得 ，,由此，,从式（a）中解得,（c）,代入式（b），,并令 ，,得,由此得小球相对于圆柱体的速度为,（d）,再由式（c）得圆柱体转动的角速度为,
