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1、高中数学创新教育中Cabri Geometry的应用研究温岭市二中课题组 郑国令当前信息技术飞速发展，知识经济已见端倪，21世纪的人们已经不可避免的进入了一个信息化的社会。怎样运用现代的教育技术，构建新型的中学数学教学模式，是当前课程改革中的重要内容。二年来，我组走过了组建、培训、研讨、观摩、研究、实践、撰写论文等过程，完成了相关的研究任务，取得了初步的研究成果。一、 问题的提出现代教学理论认为，数学教学过程应该是学生再发现、再创造的过程。虽然教材中的概念、公式、法则、定理等基础知识对人类是已知的，但对于学生来说是未知的，教学中应让学生充分参与概念、法则的形成过程，定理、公式的发现和证明过程，
2、使学生经历观察、比较、分析、综合、抽象、概括、归纳、类比等生动的数学思维活动，在其活动过程中学到知识、形成能力、磨炼意志、提高素质。著名数学家波利亚说：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学，从这个方面看，数学是一门系统的演绎科学，但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像是一门实验性的归纳科学。”数学中的创造都是从猜想开始的，而数学的猜想与数学实验是分不开的。数学猜想往往是在数学实验的基础上，通过观察、分析、归纳而获得的。在数学的“再创造”过程中，数学猜想和数学实验有着同样重要的作用。而Cabri Geometry的计算、测量、绘图、变换、运动等特殊功能，为开展数学实验提供了有效的工
3、具。Cabri Geometry在知识形成过程中的应用的研究主要是研究利用Cabri Geometry改进数学知识形成过程的教学，探索把教学过程设计为学生再发现、再创造的过程，引导学生参与发现、开展数学实验，加深对数学知识的理解，培养学生的创新精神和实践能力。数学知识的应用是培养学生创新精神和实践能力的重要途径，而数学建模是解决实际问题的基本思路和方法。数学建模是从实际问题出发，建立相关的数学模型，把实际问题转化为一个数学问题，通过对这个数学问题的求解，最终获得实际问题的解的方法。Cabri Geometry配合CBL系统和各种传感器（俗称探头）等，可十分方便、迅速地收集现实世界和实验室中的各
4、种数据，并进行形象、直观的分析处理，获得实验结论，因而是数学建模的有效工具。Cabri Geometry在数学知识应用过程中的研究主要是研究Cabri Geometry如何用于数学应用问题的教学及数学建模活动的开展，探索培养学生应用数学的意识和实践能力的有效途径。Cabri Geometry在教学模式的研究主要是研究以现代教育理论为指导，努力发挥现代手持教育技术在教学中的作用，改进中学数学教学过程，构建新的教学模式，推进数学教学改革的深入开展。二、研究过程 第一阶段：教师技术培训。使全体数学教师掌握Cabri Geometry主要功能。A.掌握图形生成。Cabri Geometry可以用来产生
5、、编辑、列印各种图形。Cabri Geometry还提供了二十次曲线作图，为解析几何的教学提供便利。B.掌握动态图形变换。使用Cabri Geometry可以对图形进行平移、旋转、缩放等几何变换，也可以拖动图中的自由点改变图形形状。这些变换过程是连续表现出来的。这种动态图形变换不仅使作图过程变得生动活泼，而且为Cabri Geometry的一些高级功能如动画、轨迹生成、动态数值验证提供了基础。C.掌握几何量测量。Cabri Geometry可以用来测量一幅图形中的距离、角度、面积等几何量，并能够计算这些量的任意代数与初等函数表达式。这一功能可以用来验证几何猜想的正确性，也可以帮助使用者提出猜想
6、。D.掌握用作图形计算机。普通计算机的主要功能是可以对给定的数值进行加、减、乘、除、算术运算并计算初等函数的值。而Cabri Geometry除了这些功能外，主要增加的是初等函数图象显示功能。E.掌握几何定理的自动证明与自动发现。Cabri Geometry产生了最具代表性的定理证明方法：吴方法、面积法、演数据库法、全角法、向量与复数法与Grobner基法。这些方法可以自动证明定理。Cabri Geometry不仅可以自动证明定理，还可以用各种方法自动发现几何图形的丰富性质（包括定理）：数据库与面积法。第二阶段：应用Cabri Geometry初步研究阶段。这一阶段，教师把Cabri Geom
7、etry的应用全面推向课堂，教会学生使用Cabri Geometry，并进行典型引入研究讨论。第三阶段：应用Cabri Geometry深入研究阶段。这一阶段的研究：（1）广泛开展研究课活动；（2）撰写论文和课例。第四阶段：应用Cabri Geometry，学生领域出成果。学校一切教学活动的开展，最后都落实到学生身上，学生的发展和成长是教学活动、课题实验的出发点和落脚点，都要体现在学生身上。应用Cabri Geometry开展数学应用议论文评选，力争浮出有结合数学知识开展研究性学习，有联系生产、生活实际开展数学建模的，较高水平的论文。二、 研究成果通过二年多来，把Cabri Geometry应
8、用于教学活动中后，有利于对学生进行创新意识的培养和实践能力的提高，促进了教学改革的深入开展，主要成果有以下几点：1、 利用Cabri Geometry有利于改进数学知识形成过程的教学。在多年的数学教学中，存在着重结论、轻过程的倾向，这种倾向的产生也有它的客观原因和历史背景，在这种倾向下，对数学知识的教学，常常回答的“是什么”，“是什么的结论”，而对“为什么”确乏阐述，对结论是怎么产生的，产生这个结论的数学思维途径、思维过程、思维方法也往往被忽视，这就限制了学生的数学思维水平的提高。从某种意义上，学生获取了获取知识的思维方法比知道的一些知识更为重要，对学生的终身发展更为有利。把Cabri Geo
9、metry应用于数学教学过程中，有利于揭示数学概念、公式、定理、法则的形成过程，在解决某些数学问题时，有利于启迪学生的思维，让学生去寻找解决问题的途径和方法。案例一：函数y=A的图象。研究该函数的图象，需要揭示A、三个量的取值对该函数图象位置的影响，同时要揭示函数y=sinx,y=sinx,y=Asinx,y=sin(x+)等不同函数之间的图象变换关系，这就要给A、各个不同的取值，作出其图象，让学生进行比较，利用Cabri Geometry计算，作出各种不同的图象，让学生通过观察、分析、比较得出结论。另外，不少老师利用Cabri Geometry去研究一次函数，二次函数，幂函数，指数函数、对数
10、函数、以及有关复合函数的图象和性质，函数图象的有关变换等问题时，有利于揭示知识的形成过程，不但提高学生的直觉思维、形象思维能力，而且提高了学生的抽象概括能力，同时，让学生在获取知识时，也获得了获取知识的思维途径和方法。当然，在中学数学中，凡是涉及到数和形的问题，如函数与图象，复数与几何，曲线与方程，以及解不等式、最值的问题时，都可以显示Cabri Geometry的功能，发挥现代技术的优势，部分教师进行了这方面的探索，这对教师的教育观念的更新也产生了很大的影响。2、 利用Cabri Geometry有利于学生进行自主学习和探究性学习活动，改变学习方式。改变学生的学习方式，是指从单一被动的学习方
11、式向多样化的学习方式转变，其中，自主学习、合作学习和操作实验都是重要的学习方式。操作性学习活动，在教师教导下，让学生利用已学的知识和方法，去研究解决有关问题，主动获取知识，应用旧知识去研究新问题，获取新知识。案例二：关于原函数与反函数交点问题的讨论。在以往教学中，对原函数与反函数的交点问题，认为两曲线有交点时，其交点必须在直线y=x上，事实上这是错误的，如函数f(x)=与反函数f-1(x)=(7-x2)(x0)有三个交点，为A（），B（1，2）C（2，1），显然只有点A在直线y=x上，而B、C两点关于直线y=x对称，以上结论的获得，只有通过Cabri Geometry作出其图象，通过观察分析得
12、出有三个交点，然后再用初等方法加以求解，因此，Cabri Geometry在探究问题的解决时，起了重要的作用。案例三：坐标轴的旋转对函数y=x+的图象及性质问题不少资料上都是研究该函数的最值及其单调性，在研究上都是其示意图，但不少示意图画的是错误的，这就要研究y=x+的图象到底是什么？这是一个探索研究的问题，利用TI图形计算器进行坐标轴的旋转，可知该函数的图象是双曲线，存在两条渐近线x=0和直线y=x，其顶点不是y=x+的最值点，而是与直线y=tg(67.50)x的交点。学生在教师的引导下，利用Cabri Geometry进行自主学习，探究性学习，可以调动学生学习的积极性和主动性，对研究问题，
13、去获取新知识，对更新教育观念，进行教学模式的改革起到积极的作用。3、 利用Cabri Geometry有利于学生开展课外学习活动，提高学习效率。学生开展课外学习活动是当前教育的薄弱环节，但是Cabri Geometry引入教学过程后，对学生的课外活动的开展起了很大的变化。案例四：一节数学活动课在讲到“平均数，方差和标准差”这部分内容时，对数据的计算量较大，过去的教学过程中，只是要求学生掌握解决问题的思想和方法，但是利用Cabri Geometry工具可以帮助学生快速、准确地完成数据统计。数学中的许多问题都需要通过计算加以解决，有些计算进程中学生必须用笔加以完成，但是经常也遇到不少运算对学生讲是
14、重复的机械操作，对学生的学习和能力的提高并没有多少实际意义，这些计算用Cabri Geometry加以解决，对提高学生的学习效率是有意义的，把节省出来的时间，让学生去学习新知识。4、 让学生利用Cabri Geometry开展数学应用活动。学生进行数学应用的活动主要涉及三个方面：（1） 在学习过程中，结合已学的知识进行新探索，开展研究性学习活动。案例五：关于到两点、点线、两线距离存在关系的点的轨迹的研究学生在圆锥曲线的学习过程中，学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义之后，学生会进行一些联想，关于到两点、点线、两线的距离存在关系的点的轨迹是什么？如：“动点到两定点的距离的商（或积）为定值表示什么曲线
15、？”；“动点到两定点的距离的平方和为定值表示什么曲线？”等等一系列的联想，引起了学生的兴趣，学生利用图形计算器把数与形、曲线与方程有机结合，进行一系列的探索并进行了科学的推理判断，提高了学生的学习能力和数学探究能力。（2） 结合生产、生活实际问题，开展数学应用的建模活动。 在数学学习过程中，让学生提出问题，分析和解决问题，进行数学交流，发展学生的数学实践能力。 在这方面学生写了不少论文，如：“上楼梯的数学问题”；“关于电影院座位的安排”；“商场选址的奥妙”；“考试成绩的优化处理”；“对用微波炉爆米花的研究”等，在研究过程中，充分显示Cabui Geometuy的功能应用，有利于数学建模活动的开
16、展。（3）利用数学和相关学科的联系，开展综合研究，解决有关实际问题。一位学生利用TI图开计算器为工具“对草坪喷灌装置进行设置”的研究，写了一篇很有价值的论文，涉及到数学与相关学科方面的知识，对水资源的利用有实际意交。因此，Cabui Geometuy为培养学生创新意识和实践能力提供了广阔的思维活动空间，让学生利用已学的数学知识和方法，能够对客观事物中的数量关系和数学模式作出思考和判断，这对人的发展的起了重要的作用。5、用Cabui Geometuy构建高中数学教学模式（1）运用现代手持教育技术构建中学数学模式的基本原则运用现代手持教育技术构建中学数学模式，首先要以现代的教育教学观念、数学观念、技术观念为指导，探讨教学过程的基本原则。我们认为现代手持教育技术构建教学模式，主体性
